1.2.1 Tehtävä 1 | MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi

Todistetaan, että neljällä jaolliset luvut ovat kahdella jaollisia lukuja. Muotoillaan tehtävä ensin seuraavasti. Olkoon \(A\) parillisten lukujen joukko ja \(B\) neljällä jaollisten lukujen joukko. Osoita, että \(B \subseteq A\). Osajoukoksi todistaminen etenee aina tietyn mallin mukaan. Rakennetaan tässä tehtävässä todistus pala palalta.

Kysymys 1 1 piste Todistuksen alussa pitää ilmoittaa, että käsittelemme mielivaltaista alkiota siitä joukosta, jota olemme todistamassa osajoukoksi toiselle joukolle. Mielivaltaisella tarkoitetaan sitä, että alkio on mahdollisimman yleinen, eli siihen ei kohdistu lisäehtoja. Miten se ilmoitetaan?

Oletetaan, että \(x \in A\).

Oletetaan, että \(x \in B\).

Oletetaan, että \(x \subseteq A\).

Oletetaan, että \(x \subseteq B\).

Kysymys 2 1 piste Mihin lopputulokseen pitää päätyä, että voidaan olla varmoja siitä, että kaikki neljällä jaolliset alkiot (joita edellisessä kohdassa otettu mielivaltainen alkio edustaa) ovat myös parillisia alkioita?

\(x \in A\)

\(x \in B\)

\(x \subseteq A\)

\(x \subseteq B\)

Kysymys 3 1 piste Ensimmäisessä kohdassa tehtiin alkiota \(x\) koskeva oletus. Miten tämä oletus voidaan muotoilla uudelleen siten, että ilmaistaan jaollisuus halutulla luvulla?

\(x = 2k\) jollekin \(k \in B\)

\(x = 2k\) jollekin \(k \in \Z\)

\(x = 4k\) jollekin \(k \in A\)

\(x = 4k\) jollekin \(k \in \Z\)

Kysymys 4 1 piste Miten nyt alkio \(x\) voidaan esittää?

\(x = 2(2k)\) jollekin \(2k \in A\)

\(x = 2(2k)\) jollekin \(2k \in B\)

\(x = 2(2k)\) jollekin \(2k \in \Z\)

\(x = 2(2k)\) jollekin \(4k \in \Z\)

Koska viimeisen kohdan muotoiset alkiot \(x\) ovat parillisia (muista, että sulkuihin kirjoitetun alkion on oltava kokonaisluku, jotta \(x\) olisi parillinen), niin päädytään toisen kohdan johtopäätökseen. Niinpä mikä tahansa neljällä jaollinen luku on nyt osoitettu parilliseksi luvuksi.

Sinulle on todennäköisesti ilman todistustakin päivänselvää, että neljällä jaolliset luvut ovat parillisia. Tämän tehtävän onkin tarkoitus olla yksi ensimmäisistä näkemistäsi esimerkeistä sille, millaisella päättelyllä matematiikassa asioita todistetaan. Todistuksista enemmän luvussa Todistusmenetelmiä.

Tehtävä 1

Tehtävän tiedot