$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Matemaattisen todistamisen perusteita

Aiemmin on jo todistettu useita lauseita liittyen esimerkiksi joukkoihin ja summamerkintään. Lauseet ilmaisevat mielenkiintoisia matemaattisia tosiasioita ja niitä voidaan hyödyntää esimerkiksi sovelluksissa. Jotta lauseiden väittämää voidaan pitää totena, niin se täytyy perustella, eli todistaa. Todistukset voivat olla lähes triviaaleja tai hyvinkin monimutkaisia, mutta pääasia on, että oletuksista lauseen väittämään saadaan muodostettua perustelujen ketju, jonka jokaisen vaiheen oikeellisuudesta voidaan vakuuttua.

Vaikka tässä materiaalissa todistaminen onkin pienessä osassa on hyvä tutustua todistamisen perusteisiin ainakin seuraavista syistä:

• Todistusten seuraaminen syventää ymmärrystä todistettavasta tuloksesta ja eri tulosten välisistä yhteyksistä.
• Vaikka aikoisit vain soveltaa jotakin tulosta, voit joutua perustelemaan miksi tulosta voi käyttää. Tämä perustelu voi olla jo itsessään pieni todistus.
• Toisinaan tarvitaan tulosta, joka muistuttaa jo jotain olemassa olevaa. Tällöin uuden tuloksen voi mahdollisesti perustella vanhan tuloksen todistusta muokkaamalla.
• Todistukset usein sisältävät ajatusrakenteita, jotka ovat sovellusten kannalta jopa tärkeämpiä kuin itse tulos.
• Loogista ajattelua, jossa asia palastellaan osiin ja perustellaan vaihe vaiheelta, tarvitaan muuallakin kuin matematiikassa.

Lauseiden muotoilusta

Matematiikassa lauseet ovat usein muotoa, jossa tehdään oletuksia ja niistä seuraa jokin ominaisuus. Tällainen lause voidaan esittää loogisena seurauksena $p \Rightarrow q$, jossa $p$ edustaa oletuksia ja niistä seuraa johtopäätös $q$. Esimerkiksi lause ”Jos $n$ parillinen kokonaisluku, niin $n^2$ on parillinen” on looginen seuraus, joka voidaan kirjoittaa muodossa

$$(n\in\Z)\land(n \text{ on parillinen})\Rightarrow (n^2 \text{ on parillinen}).$$

Lauseet voivat olla muodoltaan myös sellaisia, että halutaan osoittaa kaksi ominaisuutta yhtäpitäviksi, eli että ominaisuudet ovat voimassa täsmälleen samaan aikaan. Tällöin kyseessä on looginen ekvivalenssi $p \Leftrightarrow q$. Kuten muistetaan, tämä voidaan ekvivalenssilain nojalla muotoilla myös samaan aikaan voimassa olevina seurauksina $p \Rightarrow q$ ja $q \Rightarrow p$. Esimerkkinä lauseesta, joka on looginen ekvivalenssi on ”Itseisarvo $|x-1|$ on itseisarvoltaan pienempää kuin $1$, jos ja vain jos $x\in(0,2)$” tai matematiikan merkinnöin lyhyesti

$$|x-1|<1 \Leftrightarrow x\in(0,2).$$

Toisinaan oletusten ja johtopäästösten näkeminen voi olla hankalaa. Esimerkiksi lauseessa ”luvun kaksi neliöjuuri ei ole rationaaliluku” ei näytä olevan annettu oletuksia ollenkaan. Ottamalla huomioon sen, että positiivisen luvun $y$ neliöjuuri $x$ on sellainen positiivinen luku, joka voidaan kirjoittaa muodossa $x^2=y$, niin väite voidaan kirjoittaa muodossa

$$((x\in\R)\land (x^2=2))\Rightarrow (x \notin \Q).$$

Lauseen kirjoittaminen loogisena seurauksena tai ekvivalenssina voi selventää sitä, mitä oletetaan ja mikä on todistettava väite. Tämä ei kuitenkaan ole välttämätöntä, jos vain olet selvillä mitä olet todistamassa.

Todistuksen kirjoittamisesta

Joskus johtopäätös on ilmiselvä oletusten seuraus. Usein näin ei kuitenkaan ole ja oletusten ja johtopäätöksen väliin on kehitettävä todistus, joka on aukoton päätelmien ketju, jossa jokaisen välivaiheen oikeellisuudesta on helppo vakuuttua. Onkin sanottu, että todistus on jono trivialiteetteja. Tosin se mikä on triviaalia matematiikan professorille on sitä tuskin juuri alaan tutustuvalle opiskelijalle. Tämän vuoksi hyvä todistus ottaa huomioon niin lukijan kuin sen, missä yhteydessä se esitetään. Yleisenä nyrkkisääntönä matematiikan kursseilla voisi sanoa, että kirjoita todistus siten kuin selittäisit asian opiskelukaverillesi. Todistusta kirjoittaessa voi käyttää luonnollista kieltä (kts. Lause 1.3.6) tai esittää asian hyvinkin kompaktisti matemaattisia merkintöjä ja tuloksia käyttäen (kts. Lause 1.2.8). Usein kuitenkin esitys, jossa käytetään sekä luonnollista kieltä että matemaattisia merkintöjä, on helppolukuisin (kts. Lause 1.4.5).

Todistuksen löytäminen

Todistuksen löytämiseen ei ole mitään yksinkertaista tapaa ja samalle tulokselle voi olla hyvinkin erilaisia todistuksia. Usein todistuksen löytäminen vaatii useita yrityksiä ja erehdyksiä. On kuitenkin tiettyjä yleisiä todistusmenetelmiä, joiden avulla todistuksessa voi päästä alkuun. Esitellään seuraavaksi näitä menetelmiä. Kaikki niistä eivät aina käy jonkin tietyn väitteen todistamiseen, ja joillakin on hyvin rajatut soveltuvuusalueet. Tämän vuoksi on tärkeää osata valita oikea menetelmä oikeassa tilanteessa.

1. Suora todistus. Oletusten ja aikaisempien tulosten perusteella tehdään päätelmiä, jotka johtavat suoraan väitteeseen.
2. Epäsuora todistus. Epäsuorassa todistuksessa ajatellaan, että oletus $p$ pitää paikkansa ja pohditaan sitä mahdollisuutta, että samanaikaisesti väite ei pitäisikään paikkaansa, eli olisi voimassa vastaoletus $\neg q$. Jos nämä kaksi tietoa yhdessä johtavat johonkin ristiriitaan, niin päätellään että vastaoletusta ei olisi saanut tehdä, eli että $\neg q$ on epätosi. Niinpä johtopäätöksen $q$ on oltava tosi, eli väite on saatu osoitettua todeksi.
3. Väitteen todistaminen tai kumoaminen esimerkin avulla. Jos on todistettava muotoa $\exists x : p(x)$ oleva lause, niin riittää esittää yksi esimerkki alkiosta $x$, jolla on ominaisuus $p$. Jos puolestaan on todistettava muotoa $\forall x : p(x)$ oleva lause vääräksi, niin negaation vaihtosäännön nojalla riittää esittää yksi esimerkki alkiosta $x$, jolla ei ole ominaisuutta $p$. Tätä kutsutaan vastaesimerkiksi. Huomaa, että kvanttoriin $\forall$ liittyvää väitettä ei voi todistaa oikeaksi yhden esimerkkialkion avulla, vaan pitää jotenkin käydä läpi kaikki ne alkiot, joille asia väitetään todeksi. Yleensä tämä ei tapahdu käymällä alkioita läpi yksitellen, vaan esitetään koko joukkoa edustava yleinen alkio muuttujia käyttäen ja todistetaan asia sille.
4. Induktiotodistus. Käsitellään myöhemmin.

Seuraavaksi esitellään joitakin esimerkkejä mainituista todistusmenetelmistä.

Esimerkki 1.5.1

Osoita, että $x^2 + x + 1 > 0$ aina, kun $x > 0$.

Piilota/näytä todistus

Nyt oletuksena on, että $x > 0$ ja halutaan osoittaa, että $x^2 + x + 1 > 0$. Tehdään suora todistus. Reaaliluvun neliö on aina positiivinen, eli $x^2 > 0$, ja lisäksi $1 > 0$. Nyt siis $x^2 + x + 1 > 0$ kolmen nollaa suuremman reaaliluvun summana.

Esimerkki 1.5.2

Olkoon $n$ kokonaisluku. Osoita, että jos $n^2$ on parillinen, niin $n$ on parillinen.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan epäsuoralla todistuksella. Tehdään siis vastaoletus, että $n$ ei ole parillinen ja pyritään ristiriitaan joko oletuksen $n^2$ on parillinen tai jonkin muun tunnetun tosiasian kanssa. Jos $n$ on pariton kokonaisluku, niin löydetään sellainen kokonaisluku $k$, että $n = 2k + 1$. Tällöin

$$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1,$$

missä $2k^2 + 2k \in \Z$. Siis myös $n^2$ on pariton kokonaisluku, mikä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että $n^2$ on parillinen.

Seuraavassa esimerkissä käsitellään haastavampaa epäsuoraa todistusta. Esimerkissä näkyy myös tyypillinen matemaattisen tekstin rakenne, jossa todistuksessa käytetään hyväksi aiemmin todistettuja tuloksia.

Esimerkki 1.5.3

Osoita, että $\sqrt{2}$ on irrationaaliluku.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan väite epäsuoralla todistuksella. Tehdään vastaoletus, jonka mukaan $\sqrt{2}$ on rationaaliluku. Tällöin $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ joillakin $m, n \in \Z$ ja $n \not= 0$. Oletetaan lisäksi, että $\frac{m}{n}$ on supistetussa muodossa, eli luvuilla $m$ ja $n$ ei ole yhteisiä tekijöitä.

Neliöimällä nähdään, että $2 = \frac{m^2}{n^2}$, eli $m^2 = 2n^2$. Tässä $n^2 \in \Z$, joten luku $m^2$ on parillinen. Edellisen esimerkin nojalla nyt myös luku $m$ on parillinen, eli $m = 2k$ jollakin kokonaisluvulla $k$. Mutta nyt $m^2 = 4k^2 = 2n^2$, eli $n^2 = 2k^2$, missä $k^2 \in \Z$. Siis $n^2$, ja siten myös $n$ on parillinen.

On osoitettu, että luvut $m$ ja $n$ ovat parillisia, ja täten niillä on yhteinen tekijä $2$. Mutta oletuksen nojalla luvuilla $m$ ja $n$ ei ole yhteisiä tekijöitä, joten tämä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä ja $\sqrt{2}$ on irrationaaliluku.

Järjestä epäsuoran todistuksen osat oikeaan järjestykseen. Todistuksessa käytetään hyväksi tietoa, että kolmion kulmien summa on aina $\pi$ (radiaania). Aloita ristiriitaan tähtäävä epäsuora todistus aina kirjoittamalla väitteen negaatio eli vastaoletus.

Väite: Kolmiolla on korkeintaan yksi suora kulma.

Todistus:

1. Tällöin $\alpha=\frac{\pi}{2}$ rad ja $\beta=\frac{\pi}{2}$ rad.

2. Merkitään kolmion $ABC$ kulmia kirjaimilla $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$.

3. Näin ollen kulman $\gamma$ suuruus on $\gamma=0$, joka on ristiriidassa sen kanssa, että $ABC$ on kolmio.

4. Sovitaan, että näistä kulmista suoria kulmia ovat ainakin $\alpha$ ja $\beta$.

5. Oletetaan vastoin väitettä, että kolmiolla $ABC$ on vähintään kaksi suoraa kulmaa.

6. Kolmion kulmien summa on

   $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\gamma=\pi+\gamma=\pi.$$

Anna vastauksesi numerot 1–6 oikein järjestettynä merkkijonona. Jos esimerkiksi uskot, että todistuksen vaiheet ovat jo oikeassa järjestyksessä, vastaa 123456.

Kysymys 1

Syötä vastauksesi tähän.

Esimerkki 1.5.4

Tutki, onko $a^2 - 3ab + b^2 \geq 0$ aina, kun $a, b \geq 0$.

Piilota/näytä ratkaisu

Valitaan $a = b = 1$, jolloin $a^2 - 3ab + b^2 = -1 < 0$. On löydetty vastaesimerkki, joka osoittaa lauseen $\forall a \geq 0 \ \forall b \geq 0 : a^2 - 3ab + b^2 \geq 0$ epätodeksi.

Kumoa seuraavat virheelliset väitteet löytämällä yksittäinen alkio vastaesimerkiksi.

Väite: Funktion $f(x)=2x+4$ kuvaaja ei leikkaa $x$-akselia.

Vastaesimerkki: Kuvaaja leikkaa $x$-akselin pisteessä $(x,0)$, jossa $x=\underline{\phantom{-2}}$.

Kysymys 1

Syötä sopiva luku $x$ tähän.

Väite: Polynomin $2x^2+12x+18$ nollakohdat eivät ole kokonaislukuja.

Vastaesimerkki: Jos $x=\underline{\phantom{-3}}$, niin $2x^2 + 12x + 18 = 0$.

Kysymys 2

Syötä sopiva luku $x$ tähän.

Väite: Jos suorakulmaisen kolmion kahden sivun pituudet ovat $5$ ja $13$, ei kolmannen sivun pituus voi olla kokonaisluku.

Vastaesimerkki: Jos kolmannen sivun pituus on $\underline{\phantom{12}}$, niin Pythagoraan lauseen nojalla voidaan muodostaa suorakulmainen kolmio.

Kysymys 3

Syötä vastaesimerkiksi sopiva kokonaisluku.

Huomautus 1.5.5

Tee huolellisesti ero todistettavan väitteen ja oletusten välille! Loogista seurausta $p \Rightarrow q$ ei ole mahdollista todistaa olettamalla lause $q$ ja osoittamalla jokin yleinen totuus. Pohdi, miksi seuraava esimerkin 1.5.4 ”todistus” on virheellinen.

Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b \geq 0$, jolloin myös $ab \geq 0$. Kirjoittamalla $a^2 - 3ab + b^2 \geq 0$ nähdään, että

$$0 \leq a^2 - 3ab + b^2 + ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2.$$

Tässä $(a - b)^2 \geq 0$ riippumatta lukujen $a$ ja $b$ valinnasta, eli tulos on todistettu. $\boxtimes$

Palautusta lähetetään...