$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu

Määritelmä 4.2.3 ei riitä työkaluksi matemaattiseen päättelyyn. On tarpeen määritellä täsmällisemmin, mitä tarkoitetaan sillä, että funktion $f$ arvot $f(x)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua $a$.

Määritelmä 4.5.1

Olkoon reaalifunktio $f$ määritelty jossakin pisteen $a$ punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla $f$ on raja-arvo (limit) $L\in\R$ pisteessä $a$, jos jokaista $\varepsilon>0$ kohti löydetään sellainen $\delta>0$, että $|f(x)-L|<\varepsilon$ aina, kun $0<|x-a|<\delta$, eli

$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.$$

Tällöin merkitään

$$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$$

Huomautuksen 1.4.2 mukaisesti $|x-y|$ tarkoittaa lukujen $x$ ja $y$ etäisyyttä. Huomaa, että määritelmän ehdossa esiintyvän epäyhtälöketjun $0<|x-a|<\delta$ vasen puolikas eli $0<|x-a|$ viittaa siihen, että $x \not= a$. Pisteessä $a$ etsittävän raja-arvon kannalta ei siis ole väliä, mikä funktion arvo $f(a)$ on pisteessä $a$ tai onko funktio $f$ edes määritelty kyseisessä pisteessä.

Pohditaan sitten määritelmän ehdon muita osia. Ehdon pitää olla voimassa jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle $\varepsilon$. Luku $\varepsilon$ esiintyy ehdossa lukujen $f(x)$ ja $L$ välisen etäisyyden $|f(x)-L|$ ylärajana. Vastaavasti luku $\delta$ on ehdossa yläraja lukujen $x$ ja $a$ etäisyydelle $|x-a|$. Ehto sanoo, että valittiinpa $\varepsilon > 0$ kuinka hyvänsä (oleellisesti: kuinka läheltä nollaa hyvänsä), niin voimme löytää jonkin sellaisen valitusta luvusta $\varepsilon$ riippuvan positiivisen luvun $\delta$, että kun piste $x$ on korkeintaan luvun $\delta$ etäisyydellä pisteestä $a$, säilyy funktion arvo $f(x)$ korkeintaan luvun $\varepsilon$ etäisyydellä luvusta $L$. Kun tätä varsin monimutkaista ehtoa pohtii tarkemmin, niin huomaa, että se käytännössä muotoilee matemaattisen täsmällisesti intuitiivisen luonnehdinnan raja-arvolle, eli funktion arvo $f(x)$ saadaan kuinka lähelle arvoa $L$ tahansa, kun muuttuja $x$ on riittävän lähellä pistettä $a$.

Selvennetään vielä määritelmän lukujen $\varepsilon$ ja $\delta$ suhdetta toisiinsa kuvan avulla. Alla olevassa kuvassa valittua lukua $\varepsilon$ vastaa sellainen luku $\delta$, että kun $x$ on välillä $(a-\delta, a+\delta)$, säilyvät funktion kuvaajalle punaisella merkityt arvot $f(x)$ välillä $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$. Koska funktion arvolla pisteessä $a$ ei ole raja-arvon kannalta väliä, sen poissaoloa tarkastelusta esitetään valkoiseksi jätetyllä pisteellä.

Ehdon pitää määritelmän mukaisesti toimia jokaiselle positiiviselle luvulle $\varepsilon$. Voit miettiä tai jopa itsellesi piirtää, mitä kuvassa muuttuu, jos luvun $\varepsilon$ sijasta olisikin valittu pienempi luku, esimerkiksi $\frac{\varepsilon}{2}$. Jotta funktion $f$ raja-arvo olisi $L$, täytyisi pystyä löytämään jokin $\delta_1$, jotta väli $(L-\frac{\varepsilon}{2}, L+\frac{\varepsilon}{2})$ sisältäisi kaikki ne funktion arvot $f(x)$, joilla $x \in (a-\delta_1, a+\delta_1)$.

Määritelmää voisi siis ajatella eräänlaisena kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla $f$ raja-arvo $L$ kun muuttuja $x$ lähestyy lukua $a$. Aloittava pelaaja $E$ ”epäilijä” valitsee aina luvun $\varepsilon$ ja toinen pelaaja $U$ ”uskoja” luvun $\delta$. Pelaaja $E$ voittaa mikäli pelaaja $U$ ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa $\delta$. Pelaaja $U$ voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja $\delta$.

Määritelmän käytön yhteydessä käytetään usein sanotaan, että $\varepsilon$ valitaan mielivaltaisesti tai saadaan mielivaltaisen pieneksi. Tällä käytännössä tarkoitetaan, että käsitellään kaikkia ja erityisesti pieniä luvun $\varepsilon$ arvoja kerralla. Lukujen $\varepsilon$ ja $\delta$ yhteys esitetään yleensä niin, että ajatellaan luvun $\delta$ olevan muuttujaan $\varepsilon$ liittyvä funktio ja sanotaan, että luku $\delta$ valitaan jollain tavalla, esimerkiksi ”valitaan $\delta = \sqrt{\varepsilon}$”.

Esimerkki 4.5.2

Osoita, että $\lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1$, kun $f(x) = 3x + 7$.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon $\varepsilon > 0$ mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen $\delta > 0$, että olettamalla $0 < |x - (-2)| < \delta$ saadaan perusteltua rajaus $|f(x) - 1| < \varepsilon$. Pyritään kirjoittamaan lauseketta $|f(x) - 1|$ sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke $|x - (-2)| = |x + 2|$.

$$|3x + 7 - 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3|x + 2|$$

Valitaan $\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0$ ja oletetaan, että $0 < |x + 2| < \delta$. Tällöin edellisen nojalla

$$|f(x) - 1| = 3|x + 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,$$

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 4.5.3

Osoita, että $\lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3$, kun $f(x) = x^2 + 3x - 7$.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon $\varepsilon > 0$ mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen $\delta > 0$, että olettamalla $0 < |x - 1| < \delta$ saadaan perusteltua ehto $|f(x) + 3| < \varepsilon$. Pyritään jälleen tuomaan $|x - 1|$ näkyviin lausekkeessa $|f(x) + 3|$.

$$|x^2 + 3x - 7 + 3| = |x^2 + 3x - 4| = |(x - 1)(x + 4)| = |x - 1||x + 4|$$

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle $\delta$ voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi $1$. Jos tiedetään, että $\delta \leq 1$, niin rajauksen $|x-1|<\delta$ jälkeen on oltava $0 < x < 2$. Mutta tämän vuoksi $4 < |x + 4| < 6$, eli

$$4|x - 1| < |x - 1||x + 4| < 6|x - 1|.$$

Valitaan $\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{6}, 1\right\}$ ja oletetaan, että $0 < |x - 1| < \delta$. Tällöin

$$|f(x) + 3| = |x - 1||x + 4| < 6|x - 1| < 6\delta \leq 6 \cdot \frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon,$$

mikä todistaa väitteen.

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

$$\lim_{x \to 4} 8x-20 = 12.$$

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla $\delta$ riipuu luvusta $\varepsilon$, mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen $|f(x)-L|$ sellaisessa muodossa, jossa esiintyy $|x-a|$.

Kysymys 1

Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun $\delta$ selvittämiseen?

$|8x-12-4|=|8x-16|=|8x-8 \cdot 2|=8|x-2|$

$|8x-20-12|=|8x-32|=|8x-8 \cdot 4|=8|x-4|$

$|8x+20-4|=|8x+16|=|8x+8 \cdot 2|=8|x+2|$

$|8x-20-4|=|8x-24|=|8x-8 \cdot 3|=8|x-3|$

Kysymys 2

Miten aloitetaan todistus? Olkoon $\varepsilon>0$. Valitaan

$\delta=\frac{\varepsilon}{4}$,

$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$,

$\delta=\frac{\varepsilon}{8}$,

$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$.

Kysymys 3

Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että $x$ kuuluu punkteerattuun ympäristöön

$0<|x-2|<\delta$,

$0<|x-3|<\delta$,

$0<|x-4|<\delta$,

$0<|x+2|<\delta$.

Kysymys 4

Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa

käytetään muuttujaa $x$,

muuttujan $x$ etäisyys halutusta luvusta on pienempi kuin $\delta$,

muuttujan $x$ etäisyys halutusta luvusta on suurempi kuin $0$,

etäisyysfunktiolla on sekä ala- että yläraja.

Kysymys 5

Tällöin pätee

$|f(x)-L|=\cdots<8\delta=\varepsilon$,

$|f(x)-L|=\cdots<4\delta=\varepsilon$,

$|f(x)-L|=\cdots<3\delta=\varepsilon$,

$|f(x)-L|=\cdots<2\delta=\varepsilon$.

Kysymys 6

Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan $\delta$:n etäisyydellä raja-arvopisteestä $4$ on vain sellaisia lukuja $x$, joilla funktion arvo $f(x)$ on väitetystä raja-arvosta $12$ korkeintaan etäisyydellä $\varepsilon$,

olipa $\delta$ miten pieni hyvänsä,

olipa $\varepsilon$ miten pieni hyvänsä,

vaikka $\delta$ olisi todella suuri luku,

vaikka $\varepsilon$ olisi todella suuri luku.

Nyt raja-arvojen laskusäännöt voidaan todistaa nojautuen raja-arvon täsmälliseen määritelmään. Todistetaan näistä esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo. Koska $\varepsilon$–$\delta$-todistustekniikka on haastava aihe, voit ottaa todistuksen seuraamisen matemaattisena haasteena.

Esimerkki 4.5.4

Osoita, että jos $\lim\limits_{x\to a}g(x)=M$ ja $\lim\limits_{x\to M}f(x)=f(M)$, niin $\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)$.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon $\varepsilon>0$. Tavoitteena on löytää sellainen luku $\delta > 0$, että

$$\abs{f(g(x))-f(M)} < \varepsilon \qquad \text{aina, kun} \qquad 0<\abs{x-a} <\delta.$$

Merkitään selkeyden vuoksi ulkofunktion $f$ muuttujaa kirjaimella $y$.

Koska raja-arvon $f(M)$ oletetaan olevan olemassa, on raja-arvon määritelmän perusteella olemassa sellainen $\delta_1>0$, jolle

(1) $$\abs{f(y) - f(M)} < \varepsilon \qquad \text{aina, kun} \qquad 0 < \abs{y - M} < \delta_1.$$

Vastaavasti raja-arvon $M$ oletetun olemassaolon vuoksi voidaan löytää jokin $\delta_2 > 0$, jolle

$$\abs{g(x) - M} < \delta_1 \qquad \text{aina, kun} \qquad 0 < \abs{x - a} < \delta_2.$$

Yllä olevalla rivillä on käytetty luvun $\varepsilon$ sijaan lukua $\delta_1$, sillä määritelmän ehdon pitää olla voimassa kaikilla nollaa suuremmilla luvuilla, siis myös luvulla $\delta_1$.

Valitsemalla $\delta = \delta_2$ saadaan aikaan se, että kun $0 < \abs{x-a} < \delta$, niin $\abs{g(x) - M} < \delta_1$. Merkitään $y=g(x)$. Määritelmän yhteydessä kerrottiin, että ehdossa $0<|y-M|<\delta_1$ raja-arvon selvittämisen kannalta oleellista on se, että myös epäyhtälöketjun vasen puolikas on voimassa. Tarkastetaan kuitenkin varmuuden vuoksi, mitä tapahtuu, jos $|y-M|=0$ eli $y=M$. Sellaisissa pisteissä $x$, joissa $y=g(x)=M$, on voimassa

$$\abs{f(g(x))-f(M)} = \abs{f(M)-f(M)} = 0 < \varepsilon.$$

Kaikissa muissa pisteissä, eli silloin kun $0<|g(x)-M|=|y-M|<\delta_1$, tiedetään kohdan (1) perusteella, että

$$\abs{f(g(x)) - f(M)} = \abs{f(y)-f(M)} < \varepsilon.$$

Siispä kummassakin tapauksessa oletuksesta $0 < \abs{x-a} < \delta$ seuraa se, että

$$\abs{f(g(x)) - f(M)} < \varepsilon.$$

Näin ollen raja-arvon määritelmän mukaisesti $\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)$.

Raja-arvon määritelmällä voidaan myös osoittaa, ettei raja-arvoa ole olemassa.

Esimerkki 4.5.5

Osoita, että raja-arvoa $\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}$ ei ole olemassa.

Piilota/näytä ratkaisu

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan $\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}$ on olemassa. Merkitään tätä raja-arvoa luvulla $L$, ja osoitetaan, että tämä oletus johtaa väistämättä ristiriitaan.

Raja-arvon määritelmän mukainen ehto raja-arvon $L$ olemassaololle koskee kaikkia positiivisia reaalilukuja $\varepsilon$. Näin ollen luku $L$ ei olekaan raja-arvo, jos löydetään jokin luku $\varepsilon > 0$, jolle määritelmän mukaista lukua $\delta > 0$ ei ole olemassa. Täytyy siis löytää sellainen luku $\varepsilon > 0$, että millä tahansa luvulla $\delta > 0$ löytyy jokin luku $x_0$, jolla on voimassa

$$0 < |x_0-0| = |x_0| < \delta, \qquad \text{mutta silti} \qquad \left|\sin\frac{1}{x_0} - L\right| \geq \varepsilon.$$

On tärkeää huomata, että funktion $\sin\frac{1}{x}$ kuvaaja heilahtelee voimakkaasti arvojen $1$ ja $-1$ välillä, kun $x \to 0$. Tämän havainnon perusteella voidaan raja-arvon määritelmässä valita $\varepsilon = 1$ riippumatta siitä, mikä raja-arvo $L$ on. Olkoon jatkossa $\delta$ jokin mielivaltainen positiivinen luku.

Nyt joko $L \geq 0$ tai $L < 0$. Oletetaan ensin, että $L \geq 0$. Määritetään seuraavaksi, millä muuttujan $x$ arvoilla $\sin\frac{1}{x} = -1$.

$$\sin\frac{1}{x_0} = -1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{1}{x_0} = \frac{3\pi}{2}+2\pi n \qquad \Longleftrightarrow \qquad x_0 = \frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n},$$

missä $n$ on jokin kokonaisluku. Jotta vielä $0< |x_0| < \delta$, pitää olla $n > \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\pi\delta}+\frac{3}{2}\right)$.

Tällöin vaikka $0< |x_0| < \delta$, saadaankin

$$\left|\sin\frac{1}{x_0} - L\right| = |-1-L| = |1+L| = 1+L \geq 1 = \varepsilon,$$

eli raja-arvon määritelmän ehto ei toteudu millään positiivisella reaaliluvulla $\delta$. Näin ollen luku $L$ ei ole funktion $\sin\frac{1}{x}$ raja-arvo. Siispä välttämättä $L < 0$, ja tämä tapaus jätetään lukijalle pohdittavaksi. Vastaavasti voidaan osoittaa, että tällöinkään luku $L$ ei toteuta raja-arvon määritelmää. Tämä puolestaan on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa, eli alkuperäinen väite on tosi.

Palautusta lähetetään...