$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot

Monissa sovelluksissa esiintyy tiettyjä funktioiden $e^x$ ja $e^{-x}$ kombinaatioita, joille annetaan omat nimensä käsittelyn helpottamiseksi.

Määritelmä 1.8.1

Hyperbolinen sini $\sinh$ ja hyperbolinen kosini $\cosh$ ovat reaalifunktioita, joiden lausekkeet ovat

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\qquad\text{ja}\qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$$

Hyperbolinen tangentti $\tanh$ on näiden suhde

$$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}.$$

Kaikkien hyperbolisten funktioiden määrittelyjoukoksi käy koko reaalilukujen joukko $\R$. Funktioiden kuvaajat on hahmoteltu kuvaan. Hyperbolisen sinin arvojoukko on $\R$, hyperbolisen kosinin $[1,\infty)$ ja hyperbolisen tangentin $(-1,1)$.

Esimerkki 1.8.2

Ratkaise yhtälö $\sinh x=3$.

Ratkaisu

Hyödynnetään hyperbolisen sinin määritelmää ja lavennetaan lausekkeella $e^x$.

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^{2x} - 1}{2e^{x}} = 3.$$

Koska $e^{x} \not= 0$, yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $e^{2x} - 6e^x - 1 = 0$, joka on toisen asteen polynomiyhtälö muuttujanaan $e^{x}$. Täten

$$e^x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = 3 + \sqrt{10},$$

eli $x=\ln(3+\sqrt{10})\approx1{,}8184$.

Hyperbolisille funktioille on voimassa monia samantapaisia kaavoja kuin trigonometrisille funktioille, kuten

$$\begin{split}\begin{aligned} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\left(e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})\right) = 1. \end{aligned}\end{split}$$

Ne on helppo johtaa tarvittaessa määritelmiin perustuvalla suoralla laskulla.

Ketjukäyräksi eli katenaariksi nimitetään kahden tukipisteen varaan ripustetun taipuisan ketjun tai köyden muotoa. Seuraavan funktion kuvaaja on ketjukäyrä

$$f(x)=\frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}).$$

Question 1

Missä toisessa muodossa voit esittää tämän funktion?

$f(x)=\frac{a}{2}\cosh{\frac{x}{a}}$

$f(x)=\frac{a}{2}\sinh{\frac{x}{a}}$

$f(x)=a\cosh{\frac{x}{a}}$

$f(x)=a\sinh{\frac{x}{a}}$

Question 2

Missä $xy$-tason pisteessä $(x,y)$ yllä annetun funktion $f$ kuvaajan huippu (usein nimenomaan minimikohta) sijaitsee?

$(0,a)$

$(a,0)$

$(0,-a)$

$(-a,0)$

Joskus halutaan, että huippu voi sijaita myös jossain muualla kuin koordinaattiakselilla. Hiukan yleisempi muoto funktiolle, jonka kuvaaja on katenaari, on

$$g(x)=f(x-\alpha)+\beta.$$

Question 3

Sijoitus $x-\alpha$ muuttujan $x$ paikalle tarkoittaa, että funktioon $f$ verrattuna funktion $g$ kuvaajan huippu on siirtynyt luvun $\alpha$ verran. Mihin suuntaan siirtymä tapahtuu, kun $\alpha > 0$? (Huomaa sijoituksessa miinusmerkki ennen lukua $\alpha$.)

ylöspäin

alaspäin

vasemmalle

oikealle

Question 4

Luvun $\beta$ lisäys tarkoittaa myös, että funktioon $f$ verrattuna funktion $g$ kuvaajan huippu on siirtynyt luvun $\beta$ verran. Mihin suuntaan siirtymä tapahtuu, kun $\beta > 0$?

ylöspäin

alaspäin

vasemmalle

oikealle

Kuten mistä tahansa funktiosta, myös hyperbolisista funktioista saadaan surjektioita rajoittamalla niiden maalijoukko arvojoukoksi. Hyperbolinen sini ja tangentti ovat aidosti kasvavia funktioita joukossa $\R$ ja hyperbolinen kosini joukossa $[0,\infty)$, joten näissä joukoissa ne ovat myös injektioita. Täten niille voidaan määritellä käänteisfunktiot.

Määritelmä 1.8.3

Areafunktiot ovat hyperbolisten funktioiden bijektiivisten rajoittumien käänteisfunktiot.

$$\begin{split}\begin{aligned} &\sinh : \R \to \R && \arsinh : \R \to \R \\ &\cosh : [0, \infty) \to [1, \infty) && \arcosh : [1, \infty) \to [0, \infty) \\ &\tanh : \R \to (-1, 1) && \artanh : (-1, 1) \to \R \end{aligned}\end{split}$$

Näistä funktioista käytetään myös merkintöjä $\arsinh = \sinh^{-1}$, $\arcosh = \cosh^{-1}$ ja $\artanh = \tanh^{-1}$, joita ei tule sekoittaa potenssiin $-1$.

Areafunktioille voidaan kehittää myös lausekkeet hyperbolisten funktioiden määritelmien avulla. Tässä voidaan edetä kuten aiemmassa esimerkissä, mutta merkitsemällä symbolisesti $\sinh x = y$. Areasinin, areakosinin ja areatangentin säännöt ovat seuraavanlaiset.

(1) $$\begin{split}\begin{aligned} \arsinh x&=\ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\big) && (x\in\R)\\ \arcosh x&=\ln\big(x+\sqrt{x^2-1}\big) && (x\ge1)\\ \artanh x&=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) && (-1<x<1) \end{aligned}\end{split}$$

Palautusta lähetetään...