$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Potenssi- ja juurifunktiot¶

Määritelmä 1.2.1

Potenssifunktio (power function) $$f(x)=x^n$$ positiivisille kokonaisluvuille $$n$$ määritellään asettamalla

$x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}}.$

Lukua $$x$$ kutsutaan kantaluvuksi ja lukua $$n$$ eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että $$x^2$$ on luvun $$x$$ neliö ja $$x^3$$ luvun $$x$$ kuutio.

Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla $$x^n$$ on negatiivinen, kun $$x$$ on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla $$x^n$$ on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.

Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että

$x^nx^m=(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}})(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{m\text{ kpl}})=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n+m\text{ kpl}}=x^{n+m}.$

Myös muut tutut eksponenttien laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä.

(1)$x^{n+m}=x^nx^m,\qquad(x^n)^m=x^{nm}\quad\text{ ja }\quad(xy)^n=x^ny^n,$

missä $$x$$ ja $$y$$ ovat reaalilukuja, sekä $$n$$ ja $$m$$ positiivisia kokonaislukuja.

Määritelmä 1.2.2

Olkoon $$n$$ positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio $$x^{-n}$$ negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla

$x^{-n}=\frac{1}{x^n},$

kun $$x \not= 0$$.

Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla $$x^0$$. Koska esimerkiksi $$0 = 1 - 1$$, niin silloin kun $$x \not= 0$$, on voimassa

$x^0 = x^{1 - 1} = x^1x^{-1} = x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1.$

Siis $$x^0 = 1$$, kunhan $$x \not= 0$$. Lauseke $$0^0$$ on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio $$f(x)=x^n$$ määritellyksi kaikilla $$n\in\Z$$. Kun $$n\le0$$, funktio $$f$$ on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.

On melko suoraviivaista todistaa, että eksponenttien laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa $$n\ge0$$ ja $$m<0$$.

$\begin{split}x^nx^m=\frac{\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n\text{ kpl}}}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m\text{ kpl}}} =\begin{cases} \overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n-(-m)\text{ kpl}},&\text{jos }n\ge-m\\ \frac{1}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m-n\text{ kpl}}},&\text{jos }n<-m, \end{cases}\end{split}$

eli $$x^nx^m = x^{n + m}$$.

Lause 1.2.3

Potenssifunktio $$x^n$$, missä $$n$$ on positiivinen kokonaisluku, toteuttaa seuraavat ehdot.

1. Jos $$n$$ on pariton, niin $$x^n < y^n$$ aina, kun $$x < y$$.
2. Jos $$n$$ on parillinen ja $$x, y \geq 0$$, niin $$x^n < y^n$$ aina, kun $$x < y$$.
Todistus

Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa $$n$$ on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon $$x < y$$. Jos $$n = 1$$, niin väite on selvä. Jos $$n = 2$$ ja sekä $$x$$ että $$y$$ ei-negatiivisia, niin reaalilukujen järjestysaksioomien nojalla

$x^2 = x \cdot x < x \cdot y < y \cdot y = y^2.$

Jos $$n = 3$$, niin käsitellään useampi tapaus

1. $$x, y \geq 0$$. Tällöin edellä osoitetun nojalla $$x^2 < y^2$$, ja vastaavasti osoitetaan, että $$x^3 < y^3$$.
2. $$x < 0$$ ja $$y \geq 0$$. Jos $$x^2 < y^2$$, niin $$x^3 = x \cdot x^2 < yx^2 \leq y \cdot y^2 = y^3$$, sillä $$x < y$$ ja $$x^2 > 0$$. Jos puolestaan $$x^2 \geq y^2$$, niin järjestysaksioomien nojalla $$x^3 \leq xy^2 < y \cdot y^2 = y^3$$.
3. $$x, y < 0$$. Tällöin $$-x$$ ja $$-y$$ ovat positiivisia reaalilukuja, joille $$-y < -x$$. Täten aiemmin osoitetun nojalla $$(-y)^2 = y^2 < x^2 = (-x)^2$$, ja edelleen järjestysaksioomien nojalla $$x^3 < xy^2 < y^3$$.

Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille $$n$$ tapahtuu induktiolla.

Tämän tuloksen avulla voidaan määritellä potenssiin korotukselle käänteinen operaatio. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä $$y^n = x$$ on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle $$y$$ silloin, kun

1. $$n$$ on pariton, tai
2. $$n$$ on parillinen ja $$x, y \geq 0$$.

Yhtälön $$y^n = x$$ yksikäsitteistä ratkaisua kutsutaan luvun $$x$$ $$n$$. juureksi ja merkitään $$\sqrt[n]{x}$$. Jos $$n$$ on parillinen, $$x > 0$$ ja luvulle $$y$$ ei aseteta rajoitteita, niin yhtälöllä on kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua: jos $$y^n = x$$, niin $$(-y)^n = (-1)^ny^n = 1 \cdot y^n = x$$. Tällöin juureksi valitaan yhtälön positiivinen ratkaisu.

Määritelmä 1.2.4

Olkoon $$n$$ positiivinen kokonaisluku. Valitsemalla yhtälön $$y^n = x$$ yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu määritellään juurifunktio (root function) $$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$. Jos $$n$$ on pariton, niin $$x$$ on reaaliluku, ja jos $$n$$ on parillinen, niin vaaditaan $$x \geq 0$$. Erityisesti sanotaan, että $$\sqrt[2]{x} = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$ on luvun $$x$$ neliöjuuri ja $$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$$ luvun $$x$$ kuutiojuuri.

Lause 1.2.5

Jos $$x < y$$, niin $$\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}$$, kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.

Juurifunktio ja potenssifunktio ikään kuin kumoavat toisensa, sillä ne toteuttavat ehdot

$\sqrt[n]{x^n}=x\qquad\text{ja}\qquad\left(\sqrt[n]{y}\right)^n=y,$

missä parillisilla $$n$$ sekä $$x$$ että $$y$$ ovat ei-negatiivisia.

Lause 1.2.6

Jos $$n$$ on parillinen positiivinen kokonaisluku ja $$x$$ reaaliluku, niin $$\sqrt[n]{x^n} = |x|$$.

Todistus

Olkoon $$n$$ parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos $$x \geq 0$$, niin määritelmien nojalla $$\sqrt[n]{x^n} = x$$. Jos puolestaan $$x < 0$$, niin $$x^n > 0$$, eli juurilauseke $$y = \sqrt[n]{x^n}$$ on määritelty. Yhtälön $$y^n = x^n$$ ratkaisut luvulle $$y$$ ovat $$x$$ ja $$-x$$, joista $$-x$$ on positiivinen. Täten $$\sqrt[n]{x^n} = -x$$. Yhteenvetona siis

$\begin{split}\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x, & \text{kun }x \geq 0 \\ -x, & \text{kun }x < 0, \end{cases}\end{split}$

eli $$\sqrt[n]{x^n} = |x|$$ itseisarvon määritelmän nojalla.

Määritelmä 1.2.7

Olkoon $$m$$ kokonaisluku ja $$n$$ positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio $$x^r$$ rationaalisille eksponenteille $$r=\frac{m}{n}$$ määritellään asettamalla

$x^r=x^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m,$

kun $$x$$ on reaaliluku, $$x \geq 0$$ jos $$n$$ on parillinen ja $$x \not= 0$$ jos $$m < 0$$.

Rationaaliluvuille $$r$$ potenssifunktio $$x^r$$ on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio $$x^r$$ toteuttaa kaikki eksponenttien laskusäännöt.

$x^{r+s}=x^rx^s,\qquad(x^r)^s=x^{rs}\qquad\text{ja}\qquad(xy)^r=x^ry^r.$

Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon $$r = \frac{m}{n}$$ rationaaliluku, sekä $$x$$ ja $$y$$ sopivia reaalilukuja. Tällöin

$(xy)^r = (xy)^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{xy}\right)^m,$

missä juuri $$z = \sqrt[n]{xy}$$ on yhtälön $$z^n = xy$$ yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Kuitenkin aiemmin esiteltyjen eksponenttien laskusääntöjen nojalla myös $$\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}$$ on tällainen ratkaisu, sillä

$\left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}\right)^n = \left(\sqrt[n]{x}\right)^n\left(\sqrt[n]{y}\right)^n = xy.$

Tämän vuoksi $$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$$, ja täten

$(xy)^r = \left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\right)^m = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m\left(\sqrt[n]{y}\right)^m = x^{\frac{m}{n}}y^{\frac{m}{n}} = x^ry^r.$

Lause 1.2.8

Potenssifunktio $$x^r$$, missä $$r$$ on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun $$x, y \geq 0$$.

1. Jos $$r > 0$$, niin $$x^r < y^r$$ aina, kun $$x < y$$.
2. Jos $$r < 0$$, niin $$x^r > y^r$$ aina, kun $$x < y$$.
3. Jos $$r = 0$$, niin $$x^r = 1$$.

Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion $$x^r$$ kuvaajan kulkua eri eksponenttien $$r$$ arvoilla, kun $$x \geq 0$$.

Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa “todistamalla”, että

$-1 = (-1)^{\frac{1}{3}} \stackrel{\text{!}}{=} (-1)^{\frac{2}{6}} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{6}} = \left((-1)^2\right)^{\frac{1}{6}} = 1^{\frac{1}{6}} = 1.$

Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita $$x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$$ ja $$x^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^2$$ määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot $$x^{\frac{1}{3}}$$ ja $$x^{\frac{2}{6}}$$ eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta $$(-1)^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{-1}\right)^2$$ ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.

Palautusta lähetetään...