\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Potenssi- ja juurifunktiot

Määritelmä 1.2.1

Potenssifunktio (power function) \(f(x)=x^n\) positiivisille kokonaisluvuille \(n\) määritellään asettamalla

\[x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}}.\]

Lukua \(x\) kutsutaan kantaluvuksi ja lukua \(n\) eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että \(x^2\) on luvun \(x\) neliö ja \(x^3\) luvun \(x\) kuutio.

Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla \(x^n\) on negatiivinen, kun \(x\) on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla \(x^n\) on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.

Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että

\[x^nx^m=(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}})(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{m\text{ kpl}})=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n+m\text{ kpl}}=x^{n+m}.\]

Myös muut tutut eksponenttien laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä.

(1)\[x^{n+m}=x^nx^m,\qquad(x^n)^m=x^{nm}\quad\text{ ja }\quad(xy)^n=x^ny^n,\]

missä \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja, sekä \(n\) ja \(m\) positiivisia kokonaislukuja.

Määritelmä 1.2.2

Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio \(x^{-n}\) negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla

\[x^{-n}=\frac{1}{x^n},\]

kun \(x \not= 0\).

Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla \(x^0\). Koska esimerkiksi \(0 = 1 - 1\), niin silloin kun \(x \not= 0\), on voimassa

\[x^0 = x^{1 - 1} = x^1x^{-1} = x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1.\]

Siis \(x^0 = 1\), kunhan \(x \not= 0\). Lauseke \(0^0\) on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio \(f(x)=x^n\) määritellyksi kaikilla \(n\in\Z\). Kun \(n\le0\), funktio \(f\) on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.

On melko suoraviivaista todistaa, että eksponenttien laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa \(n\ge0\) ja \(m<0\).

\[\begin{split}x^nx^m=\frac{\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n\text{ kpl}}}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m\text{ kpl}}} =\begin{cases} \overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n-(-m)\text{ kpl}},&\text{jos }n\ge-m\\ \frac{1}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m-n\text{ kpl}}},&\text{jos }n<-m, \end{cases}\end{split}\]

eli \(x^nx^m = x^{n + m}\).

Lause 1.2.3

Potenssifunktio \(x^n\), missä \(n\) on positiivinen kokonaisluku, toteuttaa seuraavat ehdot.

1. Jos \(n\) on pariton, niin \(x^n < y^n\) aina, kun \(x < y\).
2. Jos \(n\) on parillinen ja \(x, y \geq 0\), niin \(x^n < y^n\) aina, kun \(x < y\).

Todistus

Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa \(n\) on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon \(x < y\). Jos \(n = 1\), niin väite on selvä. Jos \(n = 2\) ja sekä \(x\) että \(y\) ei-negatiivisia, niin reaalilukujen järjestysaksioomien nojalla

\[x^2 = x \cdot x < x \cdot y < y \cdot y = y^2.\]

Jos \(n = 3\), niin käsitellään useampi tapaus

1. \(x, y \geq 0\). Tällöin edellä osoitetun nojalla \(x^2 < y^2\), ja vastaavasti osoitetaan, että \(x^3 < y^3\).
2. \(x < 0\) ja \(y \geq 0\). Jos \(x^2 < y^2\), niin \(x^3 = x \cdot x^2 < yx^2 \leq y \cdot y^2 = y^3\), sillä \(x < y\) ja \(x^2 > 0\). Jos puolestaan \(x^2 \geq y^2\), niin järjestysaksioomien nojalla \(x^3 \leq xy^2 < y \cdot y^2 = y^3\).
3. \(x, y < 0\). Tällöin \(-x\) ja \(-y\) ovat positiivisia reaalilukuja, joille \(-y < -x\). Täten aiemmin osoitetun nojalla \((-y)^2 = y^2 < x^2 = (-x)^2\), ja edelleen järjestysaksioomien nojalla \(x^3 < xy^2 < y^3\).

Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille \(n\) tapahtuu induktiolla.

Tämän tuloksen avulla voidaan määritellä potenssiin korotukselle käänteinen operaatio. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä \(y^n = x\) on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle \(y\) silloin, kun

1. \(n\) on pariton, tai
2. \(n\) on parillinen ja \(x, y \geq 0\).

Yhtälön \(y^n = x\) yksikäsitteistä ratkaisua kutsutaan luvun \(x\) \(n\). juureksi ja merkitään \(\sqrt[n]{x}\). Jos \(n\) on parillinen, \(x > 0\) ja luvulle \(y\) ei aseteta rajoitteita, niin yhtälöllä on kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua: jos \(y^n = x\), niin \((-y)^n = (-1)^ny^n = 1 \cdot y^n = x\). Tällöin juureksi valitaan yhtälön positiivinen ratkaisu.

Määritelmä 1.2.4

Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku. Valitsemalla yhtälön \(y^n = x\) yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu määritellään juurifunktio (root function) \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\). Jos \(n\) on pariton, niin \(x\) on reaaliluku, ja jos \(n\) on parillinen, niin vaaditaan \(x \geq 0\). Erityisesti sanotaan, että \(\sqrt[2]{x} = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) on luvun \(x\) neliöjuuri ja \(\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}\) luvun \(x\) kuutiojuuri.

Lause 1.2.5

Jos \(x < y\), niin \(\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}\), kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.

Juurifunktio ja potenssifunktio ikään kuin kumoavat toisensa, sillä ne toteuttavat ehdot

\[\sqrt[n]{x^n}=x\qquad\text{ja}\qquad\left(\sqrt[n]{y}\right)^n=y,\]

missä parillisilla \(n\) sekä \(x\) että \(y\) ovat ei-negatiivisia.

Lause 1.2.6

Jos \(n\) on parillinen positiivinen kokonaisluku ja \(x\) reaaliluku, niin \(\sqrt[n]{x^n} = |x|\).

Todistus

Olkoon \(n\) parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos \(x \geq 0\), niin määritelmien nojalla \(\sqrt[n]{x^n} = x\). Jos puolestaan \(x < 0\), niin \(x^n > 0\), eli juurilauseke \(y = \sqrt[n]{x^n}\) on määritelty. Yhtälön \(y^n = x^n\) ratkaisut luvulle \(y\) ovat \(x\) ja \(-x\), joista \(-x\) on positiivinen. Täten \(\sqrt[n]{x^n} = -x\). Yhteenvetona siis

\[\begin{split}\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x, & \text{kun }x \geq 0 \\ -x, & \text{kun }x < 0, \end{cases}\end{split}\]

eli \(\sqrt[n]{x^n} = |x|\) itseisarvon määritelmän nojalla.

Määritelmä 1.2.7

Olkoon \(m\) kokonaisluku ja \(n\) positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio \(x^r\) rationaalisille eksponenteille \(r=\frac{m}{n}\) määritellään asettamalla

\[x^r=x^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m,\]

kun \(x\) on reaaliluku, \(x \geq 0\) jos \(n\) on parillinen ja \(x \not= 0\) jos \(m < 0\).

Rationaaliluvuille \(r\) potenssifunktio \(x^r\) on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio \(x^r\) toteuttaa kaikki eksponenttien laskusäännöt.

\[x^{r+s}=x^rx^s,\qquad(x^r)^s=x^{rs}\qquad\text{ja}\qquad(xy)^r=x^ry^r.\]

Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon \(r = \frac{m}{n}\) rationaaliluku, sekä \(x\) ja \(y\) sopivia reaalilukuja. Tällöin

\[(xy)^r = (xy)^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{xy}\right)^m,\]

missä juuri \(z = \sqrt[n]{xy}\) on yhtälön \(z^n = xy\) yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Kuitenkin aiemmin esiteltyjen eksponenttien laskusääntöjen nojalla myös \(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}\) on tällainen ratkaisu, sillä

\[\left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}\right)^n = \left(\sqrt[n]{x}\right)^n\left(\sqrt[n]{y}\right)^n = xy.\]

Tämän vuoksi \(\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\), ja täten

\[(xy)^r = \left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\right)^m = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m\left(\sqrt[n]{y}\right)^m = x^{\frac{m}{n}}y^{\frac{m}{n}} = x^ry^r.\]

Lause 1.2.8

Potenssifunktio \(x^r\), missä \(r\) on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun \(x, y \geq 0\).

1. Jos \(r > 0\), niin \(x^r < y^r\) aina, kun \(x < y\).
2. Jos \(r < 0\), niin \(x^r > y^r\) aina, kun \(x < y\).
3. Jos \(r = 0\), niin \(x^r = 1\).

Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion \(x^r\) kuvaajan kulkua eri eksponenttien \(r\) arvoilla, kun \(x \geq 0\).

Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa “todistamalla”, että

\[-1 = (-1)^{\frac{1}{3}} \stackrel{\text{!}}{=} (-1)^{\frac{2}{6}} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{6}} = \left((-1)^2\right)^{\frac{1}{6}} = 1^{\frac{1}{6}} = 1.\]

Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita \(x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}\) ja \(x^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^2\) määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot \(x^{\frac{1}{3}}\) ja \(x^{\frac{2}{6}}\) eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta \((-1)^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{-1}\right)^2\) ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.

Palautusta lähetetään...