$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Potenssi- ja juurifunktiot

Määritelmä 1.2.1

Potenssifunktio (power function) $f(x)=x^n$ positiivisille kokonaisluvuille $n$ määritellään asettamalla

$$x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}}.$$

Lukua $x$ kutsutaan kantaluvuksi ja lukua $n$ eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että $x^2$ on luvun $x$ neliö ja $x^3$ luvun $x$ kuutio.

Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla $x^n$ on negatiivinen, kun $x$ on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla $x^n$ on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.

Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että

$$x^nx^m=(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}})(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{m\text{ kpl}})=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n+m\text{ kpl}}=x^{n+m}.$$

Myös muut tutut eksponenttien laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä.

(1) $$x^{n+m}=x^nx^m,\qquad(x^n)^m=x^{nm}\quad\text{ ja }\quad(xy)^n=x^ny^n,$$

missä $x$ ja $y$ ovat reaalilukuja, sekä $n$ ja $m$ positiivisia kokonaislukuja.

Määritelmä 1.2.2

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio $x^{-n}$ negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla

$$x^{-n}=\frac{1}{x^n},$$

kun $x \not= 0$.

Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla $x^0$. Koska esimerkiksi $0 = 1 - 1$, niin silloin kun $x \not= 0$, on voimassa

$$x^0 = x^{1 - 1} = x^1x^{-1} = x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1.$$

Siis $x^0 = 1$, kunhan $x \not= 0$. Lauseke $0^0$ on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio $f(x)=x^n$ määritellyksi kaikilla $n\in\Z$. Kun $n\le0$, funktio $f$ on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.

On melko suoraviivaista todistaa, että eksponenttien laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa $n\ge0$ ja $m<0$.

$$\begin{split}x^nx^m=\frac{\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n\text{ kpl}}}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m\text{ kpl}}} =\begin{cases} \overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n-(-m)\text{ kpl}},&\text{jos }n\ge-m\\ \frac{1}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m-n\text{ kpl}}},&\text{jos }n<-m, \end{cases}\end{split}$$

eli $x^nx^m = x^{n + m}$.

Lause 1.2.3

Potenssifunktio $x^n$, missä $n$ on positiivinen kokonaisluku, toteuttaa seuraavat ehdot.

1. Jos $n$ on pariton, niin $x^n < y^n$ aina, kun $x < y$.
2. Jos $n$ on parillinen ja $x, y \geq 0$, niin $x^n < y^n$ aina, kun $x < y$.

Todistus

Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa $n$ on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon $x < y$. Jos $n = 1$, niin väite on selvä. Jos $n = 2$ ja sekä $x$ että $y$ ei-negatiivisia, niin reaalilukujen järjestysaksioomien nojalla

$$x^2 = x \cdot x < x \cdot y < y \cdot y = y^2.$$

Jos $n = 3$, niin käsitellään useampi tapaus

1. $x, y \geq 0$. Tällöin edellä osoitetun nojalla $x^2 < y^2$, ja vastaavasti osoitetaan, että $x^3 < y^3$.
2. $x < 0$ ja $y \geq 0$. Jos $x^2 < y^2$, niin $x^3 = x \cdot x^2 < yx^2 \leq y \cdot y^2 = y^3$, sillä $x < y$ ja $x^2 > 0$. Jos puolestaan $x^2 \geq y^2$, niin järjestysaksioomien nojalla $x^3 \leq xy^2 < y \cdot y^2 = y^3$.
3. $x, y < 0$. Tällöin $-x$ ja $-y$ ovat positiivisia reaalilukuja, joille $-y < -x$. Täten aiemmin osoitetun nojalla $(-y)^2 = y^2 < x^2 = (-x)^2$, ja edelleen järjestysaksioomien nojalla $x^3 < xy^2 < y^3$.

Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille $n$ tapahtuu induktiolla.

Tämän tuloksen avulla voidaan määritellä potenssiin korotukselle käänteinen operaatio. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä $y^n = x$ on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle $y$ silloin, kun

1. $n$ on pariton, tai
2. $n$ on parillinen ja $x, y \geq 0$.

Yhtälön $y^n = x$ yksikäsitteistä ratkaisua kutsutaan luvun $x$ $n$. juureksi ja merkitään $\sqrt[n]{x}$. Jos $n$ on parillinen, $x > 0$ ja luvulle $y$ ei aseteta rajoitteita, niin yhtälöllä on kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua: jos $y^n = x$, niin $(-y)^n = (-1)^ny^n = 1 \cdot y^n = x$. Tällöin juureksi valitaan yhtälön positiivinen ratkaisu.

Määritelmä 1.2.4

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Valitsemalla yhtälön $y^n = x$ yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu määritellään juurifunktio (root function) $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$. Jos $n$ on pariton, niin $x$ on reaaliluku, ja jos $n$ on parillinen, niin vaaditaan $x \geq 0$. Erityisesti sanotaan, että $\sqrt[2]{x} = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ on luvun $x$ neliöjuuri ja $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ luvun $x$ kuutiojuuri.

Lause 1.2.5

Jos $x < y$, niin $\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}$, kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.

Juurifunktio ja potenssifunktio ikään kuin kumoavat toisensa, sillä ne toteuttavat ehdot

$$\sqrt[n]{x^n}=x\qquad\text{ja}\qquad\left(\sqrt[n]{y}\right)^n=y,$$

missä parillisilla $n$ sekä $x$ että $y$ ovat ei-negatiivisia.

Lause 1.2.6

Jos $n$ on parillinen positiivinen kokonaisluku ja $x$ reaaliluku, niin $\sqrt[n]{x^n} = |x|$.

Todistus

Olkoon $n$ parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos $x \geq 0$, niin määritelmien nojalla $\sqrt[n]{x^n} = x$. Jos puolestaan $x < 0$, niin $x^n > 0$, eli juurilauseke $y = \sqrt[n]{x^n}$ on määritelty. Yhtälön $y^n = x^n$ ratkaisut luvulle $y$ ovat $x$ ja $-x$, joista $-x$ on positiivinen. Täten $\sqrt[n]{x^n} = -x$. Yhteenvetona siis

$$\begin{split}\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x, & \text{kun }x \geq 0 \\ -x, & \text{kun }x < 0, \end{cases}\end{split}$$

eli $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ itseisarvon määritelmän nojalla.

Määritelmä 1.2.7

Olkoon $m$ kokonaisluku ja $n$ positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio $x^r$ rationaalisille eksponenteille $r=\frac{m}{n}$ määritellään asettamalla

$$x^r=x^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m,$$

kun $x$ on reaaliluku, $x \geq 0$ jos $n$ on parillinen ja $x \not= 0$ jos $m < 0$.

Rationaaliluvuille $r$ potenssifunktio $x^r$ on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio $x^r$ toteuttaa kaikki eksponenttien laskusäännöt.

$$x^{r+s}=x^rx^s,\qquad(x^r)^s=x^{rs}\qquad\text{ja}\qquad(xy)^r=x^ry^r.$$

Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon $r = \frac{m}{n}$ rationaaliluku, sekä $x$ ja $y$ sopivia reaalilukuja. Tällöin

$$(xy)^r = (xy)^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{xy}\right)^m,$$

missä juuri $z = \sqrt[n]{xy}$ on yhtälön $z^n = xy$ yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Kuitenkin aiemmin esiteltyjen eksponenttien laskusääntöjen nojalla myös $\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}$ on tällainen ratkaisu, sillä

$$\left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}\right)^n = \left(\sqrt[n]{x}\right)^n\left(\sqrt[n]{y}\right)^n = xy.$$

Tämän vuoksi $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, ja täten

$$(xy)^r = \left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\right)^m = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m\left(\sqrt[n]{y}\right)^m = x^{\frac{m}{n}}y^{\frac{m}{n}} = x^ry^r.$$

Lause 1.2.8

Potenssifunktio $x^r$, missä $r$ on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun $x, y \geq 0$.

1. Jos $r > 0$, niin $x^r < y^r$ aina, kun $x < y$.
2. Jos $r < 0$, niin $x^r > y^r$ aina, kun $x < y$.
3. Jos $r = 0$, niin $x^r = 1$.

Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion $x^r$ kuvaajan kulkua eri eksponenttien $r$ arvoilla, kun $x \geq 0$.

Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa “todistamalla”, että

$$-1 = (-1)^{\frac{1}{3}} \stackrel{\text{!}}{=} (-1)^{\frac{2}{6}} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{6}} = \left((-1)^2\right)^{\frac{1}{6}} = 1^{\frac{1}{6}} = 1.$$

Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$ ja $x^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^2$ määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot $x^{\frac{1}{3}}$ ja $x^{\frac{2}{6}}$ eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta $(-1)^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{-1}\right)^2$ ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.

Palautusta lähetetään...