$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Lineaarinen approksimaatio

Määritelmän mukaan pisteessä $a$ derivoituvalle funktiolle $f$ derivaatta

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$

eli toisin kirjoitettuna

$$\lim_{h\to0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right)=0.$$

Merkitään sulkulauseketta parametrista $h$ riippuvalla luvulla $\varepsilon(h)$,

$$\varepsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a),$$

ja ratkaistaan tästä $f(a+h)$.

$$\underbrace{f(a+h)}_{\text{tarkka arvo}}=\underbrace{f(a)+f'(a)h}_{\text{arvio}}+\underbrace{h\varepsilon(h)}_{\text{virhe}},$$

missä $\varepsilon(h)$ on funktio, jolle $\varepsilon(h)\to0$, kun $h\to0$. Tätä esitystä kutsutaan funktion $f$ differentiaalikehitelmäksi pisteessä $a$. Päättely voidaan kääntää myös toiseen suuntaan, eli differentiaalikehitelmästä seuraa derivoituvuus.

Lause 4.4.1

Funktio $f : (c,d)\to\R$ on derivoituva pisteessä $a\in(c,d)$ jos ja vain jos on löydetään sellainen reaaliluku $A$ ja funktio $\varepsilon : \R\to\R$, että $\lim\limits_{h\to0}\varepsilon(h)=0$ ja

$$f(a+h)=f(a)+Ah+h\varepsilon(h)$$

kaikilla (itseisarvoltaan pienillä) reaaliluvuilla $h\in\R$. Tämän toteutuessa $A=f'(a)$.

Jättämällä virhetermin $h\varepsilon(h)$ pois funktion $f$ differentiaalikehitelmästä saadaan arvio funktion arvolle pisteessä $a + h$.

$$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h,$$

tai merkitsemällä $x=a+h$

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

Tässä oikean puolen lauseke

$$T(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

määrittelee funktion, jonka kuvaaja on funktion $f$ kuvaajan pisteeseen $(a,f(a))$ piirretty tangenttisuora (vertaa aiempaan yhtälöön). Funktiota $T(x)$ kutsutaan funktion $f$ lineaariseksi approksimaatioksi (arvioksi), tangenttiapproksimaatioksi ja linearisoinniksi pisteessä $a$. Lineaarisessa arviossa $f(x) \approx T(x)$ tehty virhe on

$$f(x)-T(x)=h\epsilon(h),$$

ja virhe suhteessa etäisyyteen $h$ pisteestä $a$ on

$$\frac{h\epsilon(h)}{h}=\epsilon(h)\to0,$$

kun $h \to 0$. Lähellä pistettä $a$ approksimaation virhe on siis suhteellisesti hyvin pieni ja funktion $f$ kuvaaja näyttää likimain tangenttisuoraltaan $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Nimitys “lineaarinen arvio” juontuu siitä, että funktio $L : \R\to\R$, $L(h)=f'(a)h$ on lineaarinen, ja siitä että arvio voidaan kirjoittaa vakion ja lineaarikuvauksen summana $f(a+h)\approx f(a)+L(h)$.

Esimerkki 4.4.2

Arvioi lukua $\displaystyle\sqrt{4{,}3}$ sopivalla lineaarisella approksimaatiolla.

Ratkaisu

Käytetään funktion $f(x)=\sqrt{x}$ lineaarista arviota pisteessä $4$. Idea on, että funktioiden $f$ ja $f'$ arvot on helppo laskea pisteessä $4$, ja niitä käyttäen saadaan yksinkertainen arvio funktion $f$ arvolle pisteessä $4{,}3=4+0{,}3$. Nyt $f'(x)=(2\sqrt{x})^{-1}$, joten $f(4) = 2$ ja $f'(4)=\frac{1}{4}$, ja edelleen

$$\sqrt{4{,}3}=f(4+0{,}3)\approx f(4)+f'(4)\cdot(4{,}3-4)=2+\frac14\cdot0{,}3=2{,}075.$$

Vertaamalla tätä laskimen antamaan tarkempaan likiarvoon $\sqrt{4{,}3}\approx2{,}073644135$ nähdään, että lineaarisen approksimaation kaksi ensimmäistä desimaalia ovat oikein.

Virhetarkastelu suhteellisen virheen kautta

Määritelmä 4.4.3

Suureen suhteellinen virhe on

$$\text{suhteellinen virhe}=\left|\frac{\text{virhe}}{\text{tarkka arvo}}\right|.$$

Edellisessä esimerkissä suhteellinen virhe on

$$\left|\frac{\displaystyle\sqrt{4{,}3}-2{,}075}{\displaystyle\sqrt{4{,}3}}\right|\approx0{,}0007=0{,}07\ \%.$$

Question 1

Mikä on funktion $f(x)=x^2$ linearisointi pisteessä $1$?

$T(x)=1+1(x-1)$

$T(x)=2+1(x-1)$

$T(x)=1+2(x-1)$

$T(x)=1+1(x-2)$

Question 2

Mikä on lineaarinen approksimaatio funktion $f$ arvolle pisteessä $x=1{,}2$?

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=2+1(1{,}2-1)=2{,}2$

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=1+1(1{,}2-2)=-0{,}6$

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=1+1(1{,}2-1)=1{,}2$

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=1+2(1{,}2-1)=1{,}4$

Question 3

Kuinka suuri on tässä approksimaatiossa tehty virhe (itseisarvoltaan) funktion arvoon $(1{,}2)^2$ verrattuna?

$0{,}04$

$0{,}24$

$0{,}60$

$0{,}76$

Question 4

Mikä on suhteellinen virhe prosentteina ilmaistuna?

$0{,}03$

$2{,}78$

$16{,}67$

$41{,}67$

Lineaarisen arvion käyttö on järkevää vain silloin, kun $|h|$ on “pieni”. Esimerkiksi edellisen esimerkin approksimaatiota käyttäen arvio luvulle $\sqrt{2}$ olisi

$$\sqrt{2}=f(4-2)\approx f(4)+f'(4)\cdot(2-4)=2+\frac14\cdot(-2)=1{,}5,$$

missä on jo $6~\%$:n virhe.

Käytännössä lineaarista arviota voidaan hyödyntää mittausvirheiden vaikutusten arvioimisessa. Jos suureen arvoksi mitataan $x$ ja mittauksessa tehdään virhe $\Delta x$, niin suureen oikea arvo on $x+\Delta x$. Mikäli tätä virheellistä arvoa käytetään laskuissa funktion $f$ syötteenä, se aiheuttaa virheen $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ lopputuloksessa. Toisaalta funktion $f$ linearisoinnin avulla voidaan kirjoittaa

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x,$$

jolloin

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x.$$

Tässä yhteydessä todellista suhteellista virhettä arvioidaan usein mittaustuloksen avulla muodossa

$$\text{suhteellinen virhe}\approx\left|\frac{\text{virhe}}{\text{mitattu arvo}}\right|,$$

jolloin suhteellinen virhe funktion $f$ arvossa on likimain $\left|\dfrac{\Delta f}{f(x)}\right|$.

Esimerkki 4.4.4

Ympyrän pinta-alan $A(r) = \pi r^2$ laskemiseksi mitataan sen sädettä.

1. Mittaustulokseksi saadaan $r = 32 \pm 2$ mm. Arvioi ympyrän pinta-alaa ja sen virhettä.
2. Säteen mittaamisessa tehdään korkeintaan $2\ \%$ suhteellinen virhe. Arvioi pinta-alan suhteellista virhettä.

Ratkaisu

1. Pinta-alan arvio on $A(32) = \pi \cdot 32^2 \approx 3200$. Säteen mittauksessa tehty virhe on mittausepätarkkuuden rajoissa, eli $|\Delta r| \leq 2$. Tämän vuoksi pinta-alaa laskettaessa tehty virhe on

   $$|\Delta A| \approx |A'(32)\Delta r| = 2\pi \cdot 32 \cdot |\Delta r| \leq 64\pi \cdot 2 \approx 400.$$

   Ympyrän pinta-ala on siis $3200 \pm 400$ neliömillimetriä.

2. Arvioidaan mittaustuloksen $r$ suhteellista virhettä luvulla $\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 0.02$. Nyt pinta-alan suhteellinen virhe

   $$\left|\frac{\Delta A}{A}\right| \approx \left|\frac{A'(r)\Delta r}{A(r)}\right| = \left|\frac{2\pi r\Delta r}{\pi r^2}\right| = 2\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 2 \cdot 2\ \% = 4\ \%.\qedhere$$

Virhetarkasteluja voidaan tehdä tietyissä tapauksissa myös suhteellisen virheen kautta, jolloin vältytään derivaatan laskemiselta. Tämäkin menetelmä perustuu differentiaaliin, jonka avulla voidaan johtaa seuraava tulos.

Mikäli arvioitava funktio $f$ on muotoa $f\left( x,y \right) = k \cdot x^{p} \cdot y^{q}$, missä $k = \text{vakio}$ ja $p, q \in \R$ saadaan mittaustuloksilla $x = x_0 \pm \Delta x$ ja $y = y_0 \pm \Delta y$ sen suhteelliselle virheelle yläraja

$$\left| \frac{\text{virhe}}{f\left( x_0, y_0 \right) } \right| \le \abs{p} \cdot \left| \frac{\Delta x}{x_0} \right| + \abs{q} \cdot \left| \frac{\Delta y}{y_0} \right|.$$

Toisin sanoen funktion $f$ suhteellinen virhe voidaan laskea muuttujien suhteellisen virheiden avulla. Tämän jälkeen absoluuttinen virhe saadaan kaavalla

$$\text{virhe} \le \text{''suhteellinen virhe''} \cdot \abs{f\left( x_0, y_0 \right) }.$$

Huomautus 4.4.5

Tämäkin tulos voidaan yleistää useammalle mittaustulokselle!

Esimerkki 4.4.6

Kuvan särmiön sivujen mittaustulokset ovat virheineen

$$\begin{split}\begin{aligned} a &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{7.633}{\centi\metre} \pm \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.150}{\centi\metre}, \\ b &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{9.8}{\centi\metre} \pm \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.1}{\centi\metre}, \\ c &= \SI[input-protect-tokens=\dots]{6.7}{\centi\metre} \pm \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.25}{\centi\metre}. \end{aligned}\end{split}$$

Koska laatikon tilavuuden yhtälö on muotoa $V = a^{1} \cdot b^{1} \cdot c^{1} = a\cdot b \cdot c$, niin sille voidaan laskea suhteellinen virhe. Laske tilavuuden

1. suhteellinen virhe,
2. absoluuttinen virhe hyödyntäen suhteellista virhettä.

Ratkaisu

Lasketaan tilavuuden arvo ensin mittaustuloksilla

$$V = abc = \SI[input-protect-tokens=\dots]{7.633}{\centi\metre} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{9.8}{\centi\metre} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{6.7}{\centi\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{501.2047}{\centi\metre\cubed}.$$

Totesimme, että tilavuuden laskulauseke on oikeaa muotoa, joten suhteelliselle virheelle saadaan ylärajaksi

$$\begin{split}\begin{aligned} \left| \frac{\Delta V}{V} \right| &\le 1 \cdot \left| \frac{\Delta a}{a} \right| + 1\cdot \left| \frac{\Delta b}{b} \right| + 1\cdot \left| \frac{\Delta c}{c} \right| \\ &= \left| \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{0.150}{\centi\metre}}{\SI[input-protect-tokens=\dots]{7.633}{\centi\metre}} \right| + \left| \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{0.1}{\centi\metre}}{\SI[input-protect-tokens=\dots]{9.8}{\centi\metre}} \right| + \left| \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{0.25}{\centi\metre}}{\SI[input-protect-tokens=\dots]{6.7}{\centi\metre}} \right| \\ &= \num[input-protect-tokens=\dots]{0.019650\dots} + \num[input-protect-tokens=\dots]{0.010204\dots} + \num[input-protect-tokens=\dots]{0.03731\dots} \\ &= \num[input-protect-tokens=\dots]{0.06716\dots} \approx \SI[input-protect-tokens=\dots]{6.7}{\percent} .\end{aligned}\end{split}$$

Absoluuttinen virhe saadan tämän jälkeen yhtälöstä

$$\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{\abs{\Delta V}}{\abs{V}} \le \num[input-protect-tokens=\dots]{0.06716\dots}{} \quad\Leftrightarrow\quad \abs{\Delta V} \le \SI[input-protect-tokens=\dots]{0,06716\dots}{} \cdot \abs{V}$$

eli

$$\abs{\Delta V} \le \num[input-protect-tokens=\dots]{0.06716\dots}{} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{501.2047}{\centi\metre\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{33.665\dots}{\centi\metre\cubed} < \SI[input-protect-tokens=\dots]{40}{\centi\metre\cubed}.$$

Siis tulos virherajoineen on $V = \SI[input-protect-tokens=\dots]{500}{\centi\metre\cubed} \pm \SI[input-protect-tokens=\dots]{40}{\centi\metre\cubed}$. Virhe on pyöristetty niin sanotun $15$-säännön perusteella (ks. alla) yhden merkitsevän numeron tarkkuuteen ja tilavuus on annettu samalla tarkkuudella normaaleilla pyöristyssäännöillä.

Huomautus 4.4.7 (Suuren arvon ja virheen pyöristäminen)

• Pyöristä ensin virhe ylöspäin yhteen merkitsevään numeroon. Paitsi jos virheen ensimmäiset merkitsevät numerot ovat $10, 11, 12, 13$ tai $14$, niin pyöristä kahteen merkitsevään numeroon ylöspäin. Tämä on niin kutsuttu $15$-sääntö.
• Pyöristä vasta virheen pyöristyksen jälkeen suureen arvo normaaleilla pyöristyssäännöillä samaan tarkkuuteen kuin virhe. Esimerkiksi satojen, ykkösten tai kolmen desimaalin tarkkuuteen.

Palautusta lähetetään...