\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Separoituva yhtälö

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa

(1)\[y'(x)=f(x)g(y(x)).\]

Jos \(g(y(x))\ne0\), niin kaava (1) voidaan kirjoittaa muodossa

\[\frac{y'(x)}{g(y(x))}=f(x),\]

joten integroimalla

\[\int\frac{y'(x)}{g(y(x))}\,\d x=\int f(x)\,\d x+C.\]

Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto \(y=y(x)\), jolloin päädytään kaavaan

(2)\[\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,\d x+C.\]

Funktio \(y\) voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot \(y(x)=a\), missä luku \(a\) on funktion \(g\) nollakohta.

Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti kaava (2) “johdetaan” kirjoittamalla ensin

\[\frac{\d y}{\d x}=f(x)g(y).\]

Tässä kerrotaan symbolilla \(\d x\) aivan kuin se olisi luku ja siirretään kirjaimen \(y\) esiintymät vasemmalle ja kirjaimen \(x\) esiintymät oikealle (separointi), jolloin saadaan

\[\frac{\d y}{g(y)}=f(x)\,\d x.\]

Tämä integroidaan puolittain:

\[\int\frac{\d y}{g(y)}=\int f(x)\,\d x+C.\]

Question 1

Ensimmäisen kertaluvun separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaisussa on tarkoitus

derivoida kaikki termit \(x\):n suhteen,

integroida suoraan,

eritellä muuttujan \(y\) sisältämät symbolit ja funktiot yhtälön eri puolelle kuin muuttujan \(x\),

ratkaista muuttujan \(x\) arvo,

derivoida funktio \(y(x)\) \(x\):n suhteen,

eritellä muuttujasta \(y\) riippuvat funktiot samalle puolelle yhtälöä kuin muuttujasta \(x\) riippuvat.

Huomautus 7.4.1

Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä \(\int f(x)\,\d x\) tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion \(f\) integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.

Esimerkki 7.4.2

Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'=x^2y^3\).

Ratkaisu

Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa \(f(x)=x^2\) ja \(g(y)=y^3\). Kirjoitetaan separointia varten \(\dfrac{\d y}{\d x} = x^2y^3\), jolloin ratkaisut toteuttavat

\[\int\frac{\d y}{y^3}=\int x^2\,\d x+C \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{1}{y^2}=\frac{1}{3}x^3+C.\]

Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan

\[y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C - \frac{2}{3}x^3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{C^* - \frac{2}{3}x^3}},\]

missä \(C^*=-2C\). Lisäksi erikoisratkaisuna saadaan \(y(x) = 0\).

Esimerkiksi alkuehdolla \(y(1)=3\) (siis \(C^*=\frac{7}{9}\)) saadaan ratkaisu

\[y(x)=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}},\]

missä \(y\) on määritelty, kun \(x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}\).

Esimerkki 7.4.3

Tarkastellaan populaation kokoa \(x(t)\) ajan \(t\) funktiona. Derivaatta \(x'(t)\) kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä \(\Delta t>0\) on

\[x'(t)\approx\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{\text{koon muutos}}{\text{aikaväli}}.\]

Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus \(x'(t)\) on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli

\[x'(t)=kx(t).\]

Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin

\[\frac{\d x}{\d t} = kx \Leftrightarrow \int\frac{\d x}{x} = k\int\d t + C \Leftrightarrow \ln x = kt + C.\]

Kääntämällä luonnollisen logaritmifunktion saadaan yleiseksi ratkaisuksi

\[x(t) = e^{kt + C} = e^{C}e^{kt} = C^*e^{kt},\]

missä \(C^* = e^{C} > 0\). Jos hetkellä \(t=0\) populaation koko on \(x_0\), niin \(x(0)=C^*e^0=C^*=x_0\), joten

\[x(t)=x_0e^{kt}.\]

Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos \(k>0\) ja vähenee eksponentiaalisesti, jos \(k<0\).

Esimerkki 7.4.4

Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan \(t\) funktiolla \(N(t)\). Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli \(-N'(t)\) on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli

\[N'(t)=-kN(t),\]

missä verrannollisuuskerroin \(k > 0\). Esimerkin 7.4.3 mukaan

\[N(t)=N_0e^{-kt},\]

missä \(N_0=N(0)\). Olkoon \(\tau>0\) vakio ja lasketaan lukumäärien \(N(t+\tau)\) ja \(N(t)\) suhde.

\[\frac{N(t+\tau)}{N(t)}=\frac{N_0e^{-k(t+\tau)}}{N_0e^{-kt}}=e^{-k\tau}\]

Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä \(t\). Sovitaan, että \(\tau\) on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt

\[e^{-k\tau}=\frac12 \Leftrightarrow -k\tau=\ln\frac12=-\ln 2 \Leftrightarrow\tau=\frac{\ln 2}{k}.\]

Vakiota \(k\) kutsutaan hajoamisvakioksi.

Esimerkki 7.4.5

Erään maan väkiluku vuonna 2019 on \(1~500~000\). Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy \(4~\%\) vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa \(50~000\) asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2039?

Ratkaisu

Merkitään väkilukua \(x(t)\) ajan \(t\) (vuosina, \(t=0\) vuonna 2019) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä

\[x'(t)=0{,}04x(t)+50~000,\qquad x(0)=1~500~000.\]

Voidaan kirjoittaa

\[\frac{\d x}{\d t}=0{,}04(x(t)+1~250~000),\]

eli yhtälö on separoituva ja

\[\int\frac{\d x}{x + 1~250~000} = 0{,}04\int\d t + C \Leftrightarrow \ln(x + 1~250~000) = 0{,}04t + C.\]

Ratkaistaan tästä funktio \(x\) yleisessä muodossa

\[x(t) = e^{0{,}04t + C} - 1~250~000 = C^*e^{0{,}04t} - 1~250~000.\]

Alkuehdosta saadaan \(x(0)=C^{*}-1~250~000=1~500~000\), joten \(C^*=2~750~000\). Niinpä väkiluku ajan \(t\) funktiona on

\[x(t)=2~750~000e^{0{,}04t}-1~250~000\]

ja vuonna 2039 väkiluku on \(x(20)\approx4~870~000\).

Esimerkki 7.4.6

Ratkaistaan esimerkin 7.1.1 yhtälö (1), eli

\[\frac{\d T}{\d t}=-k(T-T_0).\]

Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin

\[\int\frac{\d T}{T - T_0} = -k\int\d t + C^{**} \Leftrightarrow \ln|T - T_0| = -kt + C^{**} \Leftrightarrow |T - T_0| = C^*e^{-kt},\]

missä \(C^* = e^{C^{**}}\). Täten

\[T = T_0 \pm C^*e^{-kt} = T_0 + Ce^{-kt},\]

missä \(C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}\).

Yleisen ratkaisun termi \(Ce^{-kt}\to0\), kun \(t\to\infty\), eli kappaleen lämpötila lähestyy lämpökylvyn lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Lisäksi jos kappale on aluksi ympäristöä lämpimämpi eli \(T(0)-T_0>0\), niin \(C>0\) ja lämpötila \(T(t)\) vähenee kohti raja-arvoaan \(T_0\). Jos kappale on aluksi ympäristöä kylmempi eli \(T(0)-T_0<0\), niin \(C<0\) ja lämpötila \(T(t)\) kasvaa kohti raja-arvoaan \(T_0\). Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin \(C\) arvolla.

Erikoisratkaisuun \(T(t)=T_0\) päädytään silloin, kun \(T(0)-T_0=0\), toisin sanoen jos kappaleella on alussa sama lämpötila kuin ympäristöllä.

Palautusta lähetetään...