$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Separoituva yhtälö

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa

(1) $$y'(x)=f(x)g(y(x)).$$

Jos $g(y(x))\ne0$, niin kaava (1) voidaan kirjoittaa muodossa

$$\frac{y'(x)}{g(y(x))}=f(x),$$

joten integroimalla

$$\int\frac{y'(x)}{g(y(x))}\,\d x=\int f(x)\,\d x+C.$$

Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto $y=y(x)$, jolloin päädytään kaavaan

(2) $$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,\d x+C.$$

Funktio $y$ voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot $y(x)=a$, missä luku $a$ on funktion $g$ nollakohta.

Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti kaava (2) “johdetaan” kirjoittamalla ensin

$$\frac{\d y}{\d x}=f(x)g(y).$$

Tässä kerrotaan symbolilla $\d x$ aivan kuin se olisi luku ja siirretään kirjaimen $y$ esiintymät vasemmalle ja kirjaimen $x$ esiintymät oikealle (separointi), jolloin saadaan

$$\frac{\d y}{g(y)}=f(x)\,\d x.$$

Tämä integroidaan puolittain:

$$\int\frac{\d y}{g(y)}=\int f(x)\,\d x+C.$$

Question 1

Ensimmäisen kertaluvun separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaisussa on tarkoitus

derivoida kaikki termit $x$:n suhteen,

integroida suoraan,

eritellä muuttujan $y$ sisältämät symbolit ja funktiot yhtälön eri puolelle kuin muuttujan $x$,

ratkaista muuttujan $x$ arvo,

derivoida funktio $y(x)$ $x$:n suhteen,

eritellä muuttujasta $y$ riippuvat funktiot samalle puolelle yhtälöä kuin muuttujasta $x$ riippuvat.

Huomautus 7.4.1

Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä $\int f(x)\,\d x$ tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion $f$ integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.

Esimerkki 7.4.2

Ratkaise differentiaaliyhtälö $y'=x^2y^3$.

Ratkaisu

Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa $f(x)=x^2$ ja $g(y)=y^3$. Kirjoitetaan separointia varten $\dfrac{\d y}{\d x} = x^2y^3$, jolloin ratkaisut toteuttavat

$$\int\frac{\d y}{y^3}=\int x^2\,\d x+C \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{1}{y^2}=\frac{1}{3}x^3+C.$$

Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan

$$y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C - \frac{2}{3}x^3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{C^* - \frac{2}{3}x^3}},$$

missä $C^*=-2C$. Lisäksi erikoisratkaisuna saadaan $y(x) = 0$.

Esimerkiksi alkuehdolla $y(1)=3$ (siis $C^*=\frac{7}{9}$) saadaan ratkaisu

$$y(x)=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}},$$

missä $y$ on määritelty, kun $x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}$.

Esimerkki 7.4.3

Tarkastellaan populaation kokoa $x(t)$ ajan $t$ funktiona. Derivaatta $x'(t)$ kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä $\Delta t>0$ on

$$x'(t)\approx\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{\text{koon muutos}}{\text{aikaväli}}.$$

Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus $x'(t)$ on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli

$$x'(t)=kx(t).$$

Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin

$$\frac{\d x}{\d t} = kx \Leftrightarrow \int\frac{\d x}{x} = k\int\d t + C \Leftrightarrow \ln x = kt + C.$$

Kääntämällä luonnollisen logaritmifunktion saadaan yleiseksi ratkaisuksi

$$x(t) = e^{kt + C} = e^{C}e^{kt} = C^*e^{kt},$$

missä $C^* = e^{C} > 0$. Jos hetkellä $t=0$ populaation koko on $x_0$, niin $x(0)=C^*e^0=C^*=x_0$, joten

$$x(t)=x_0e^{kt}.$$

Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos $k>0$ ja vähenee eksponentiaalisesti, jos $k<0$.

Esimerkki 7.4.4

Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan $t$ funktiolla $N(t)$. Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli $-N'(t)$ on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli

$$N'(t)=-kN(t),$$

missä verrannollisuuskerroin $k > 0$. Esimerkin 7.4.3 mukaan

$$N(t)=N_0e^{-kt},$$

missä $N_0=N(0)$. Olkoon $\tau>0$ vakio ja lasketaan lukumäärien $N(t+\tau)$ ja $N(t)$ suhde.

$$\frac{N(t+\tau)}{N(t)}=\frac{N_0e^{-k(t+\tau)}}{N_0e^{-kt}}=e^{-k\tau}$$

Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä $t$. Sovitaan, että $\tau$ on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt

$$e^{-k\tau}=\frac12 \Leftrightarrow -k\tau=\ln\frac12=-\ln 2 \Leftrightarrow\tau=\frac{\ln 2}{k}.$$

Vakiota $k$ kutsutaan hajoamisvakioksi.

Esimerkki 7.4.5

Erään maan väkiluku vuonna 2019 on $1~500~000$. Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy $4~\%$ vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa $50~000$ asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2039?

Ratkaisu

Merkitään väkilukua $x(t)$ ajan $t$ (vuosina, $t=0$ vuonna 2019) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä

$$x'(t)=0{,}04x(t)+50~000,\qquad x(0)=1~500~000.$$

Voidaan kirjoittaa

$$\frac{\d x}{\d t}=0{,}04(x(t)+1~250~000),$$

eli yhtälö on separoituva ja

$$\int\frac{\d x}{x + 1~250~000} = 0{,}04\int\d t + C \Leftrightarrow \ln(x + 1~250~000) = 0{,}04t + C.$$

Ratkaistaan tästä funktio $x$ yleisessä muodossa

$$x(t) = e^{0{,}04t + C} - 1~250~000 = C^*e^{0{,}04t} - 1~250~000.$$

Alkuehdosta saadaan $x(0)=C^{*}-1~250~000=1~500~000$, joten $C^*=2~750~000$. Niinpä väkiluku ajan $t$ funktiona on

$$x(t)=2~750~000e^{0{,}04t}-1~250~000$$

ja vuonna 2039 väkiluku on $x(20)\approx4~870~000$.

Esimerkki 7.4.6

Ratkaistaan esimerkin 7.1.1 yhtälö (1), eli

$$\frac{\d T}{\d t}=-k(T-T_0).$$

Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin

$$\int\frac{\d T}{T - T_0} = -k\int\d t + C^{**} \Leftrightarrow \ln|T - T_0| = -kt + C^{**} \Leftrightarrow |T - T_0| = C^*e^{-kt},$$

missä $C^* = e^{C^{**}}$. Täten

$$T = T_0 \pm C^*e^{-kt} = T_0 + Ce^{-kt},$$

missä $C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}$.

Yleisen ratkaisun termi $Ce^{-kt}\to0$, kun $t\to\infty$, eli kappaleen lämpötila lähestyy lämpökylvyn lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Lisäksi jos kappale on aluksi ympäristöä lämpimämpi eli $T(0)-T_0>0$, niin $C>0$ ja lämpötila $T(t)$ vähenee kohti raja-arvoaan $T_0$. Jos kappale on aluksi ympäristöä kylmempi eli $T(0)-T_0<0$, niin $C<0$ ja lämpötila $T(t)$ kasvaa kohti raja-arvoaan $T_0$. Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin $C$ arvolla.

Erikoisratkaisuun $T(t)=T_0$ päädytään silloin, kun $T(0)-T_0=0$, toisin sanoen jos kappaleella on alussa sama lämpötila kuin ympäristöllä.

Palautusta lähetetään...