$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu

Määritelmä 3.2.3 ei riitä matemaattiseen päättelyyn työkaluna vaan vaaditaan tarkempaa tarkastelua. Haluamme siis määritellä tarkemmin, mitä tarkoittaa se, että funktion $f$ arvot $f(x)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua $a$.

Määritelmä 3.5.1

Reaaliluvun $a$ sisältävää avointa väliä $(c,d)$ kutsutaan pisteen $a$ ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa $(c,a)\cup(a,d)$ pisteen $a$ punkteeratuksi ympäristöksi.

Määritelmä 3.5.2

Olkoon reaalifunktio $f$ määritelty jossakin pisteen $a$ punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla $f$ on raja-arvo (limit) $L\in\R$ pisteessä $a$, jos jokaista $\varepsilon>0$ kohti löydetään sellainen $\delta>0$, että $|f(x)-L|<\varepsilon$ aina, kun $0<|x-a|<\delta$,

$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.$$

Tällöin merkitään

$$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$$

Tämän määritelmän avulla voidaan tarkentaa, mitä sanonnat “$x$ on lähellä pistettä $a$” ja “$f(x)$ on lähellä arvoa $L$” tarkoittavat. Näissä tarkasteluissa funktion $f$ ei välttämättä tarvitse edes olla määritelty pisteessä $a$, sillä raja-arvon määritelmän ehto $0<|x-a|$ takaa, että $x\ne a$ eikä funktion arvoa siten koskaan lasketa pisteessä $a$.

Määritelmän voi ajatella myös kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla $f$ raja-arvo $L$ kun muuttuja $x$ lähestyy lukua $a$. Aloittava pelaaja $E$ “epäilijä” valitsee aina luvun $\varepsilon$ ja toinen pelaaja $U$ “uskoja” luvun $\delta$. Pelaaja $E$ voittaa mikäli pelaaja $U$ ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa $\delta$. Pelaaja $U$ voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja $\delta$.

Esimerkki 3.5.3

Osoita, että $\lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1$, kun $f(x) = 3x + 7$.

Ratkaisu

Olkoon $\varepsilon > 0$ mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen $\delta > 0$, että olettamalla $0 < |x - (-2)| < \delta$ saadaan perusteltua rajaus $|f(x) - 1| < \varepsilon$. Pyritään kirjoittamaan lauseketta $|f(x) - 1|$ sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke $|x - (-2)| = |x + 2|$.

$$|3x + 7 - 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3|x + 2|$$

Valitaan $\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0$ ja oletetaan, että $0 < |x + 2| < \delta$. Tällöin edellisen nojalla

$$|f(x) - 1| = 3|x + 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,$$

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 3.5.4

Osoita, että $\lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3$, kun $f(x) = x^2 + 3x - 7$.

Todistus

Olkoon $\varepsilon > 0$ mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen $\delta > 0$, että olettamalla $0 < |x - 1| < \delta$ saadaan perusteltua ehto $|f(x) + 3| < \varepsilon$. Pyritään jälleen tuomaan $|x - 1|$ näkyviin lausekkeessa $|f(x) + 3|$.

$$|x^2 + 3x - 7 + 3| = |x^2 + 3x - 4| = |(x - 1)(x + 4)| = |x - 1||x + 4|$$

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle $\delta$ voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi $1$. Jos tiedetään, että $\delta \leq 1$, niin rajauksen $|x-1|<\delta$ jälkeen on oltava $0 < x < 2$. Mutta tämän vuoksi $4 < |x + 4| < 6$, eli

$$4|x - 1| < |x - 1||x + 4| < 6|x - 1|.$$

Valitaan $\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{6}, 1\right\}$ ja oletetaan, että $0 < |x - 1| < \delta$. Tällöin

$$|f(x) + 3| = |x - 1||x + 4| < 6|x - 1| < 6\delta \leq 6 \cdot \frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon,$$

mikä todistaa väitteen.

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

$$\lim_{x \to 4} 8x-20 = 12.$$

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla $\delta$ riipuu luvusta $\varepsilon$, mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen $|f(x)-L|$ sellaisessa muodossa, jossa esiintyy $|x-a|$.

Question 1

Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun $\delta$ selvittämiseen?

$|8x-12-4|=|8x-16|=|8x-8 \cdot 2|=8|x-2|$

$|8x-20-12|=|8x-32|=|8x-8 \cdot 4|=8|x-4|$

$|8x+20-4|=|8x+16|=|8x+8 \cdot 2|=8|x+2|$

$|8x-20-4|=|8x-24|=|8x-8 \cdot 3|=8|x-3|$

Question 2

Miten aloitetaan todistus? Olkoon $\varepsilon>0$. Valitaan

$\delta=\frac{\varepsilon}{4}$,

$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$,

$\delta=\frac{\varepsilon}{8}$,

$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$.

Question 3

Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että $x$ kuuluu punkteerattuun ympäristöön

$0<|x-2|<\delta$,

$0<|x-3|<\delta$,

$0<|x-4|<\delta$,

$0<|x+2|<\delta$.

Question 4

Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa

käytetään muuttujaa $x$,

muuttujan $x$ etäisyys halutusta luvusta on pienempi kuin $\delta$,

muuttujan $x$ etäisyys halutusta luvusta on suurempi kuin $0$,

etäisyysfunktiolla on sekä ala- että yläraja.

Question 5

Tällöin pätee

$|f(x)-L|=\cdots<8\delta=\varepsilon$,

$|f(x)-L|=\cdots<4\delta=\varepsilon$,

$|f(x)-L|=\cdots<3\delta=\varepsilon$,

$|f(x)-L|=\cdots<2\delta=\varepsilon$.

Question 6

Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan $\delta$:n etäisyydellä raja-arvopisteestä $4$ on vain sellaisia lukuja $x$, joilla funktion arvo $f(x)$ on väitetystä raja-arvosta $12$ korkeintaan etäisyydellä $\varepsilon$,

olipa $\delta$ miten pieni hyvänsä,

olipa $\varepsilon$ miten pieni hyvänsä,

vaikka $\delta$ olisi todella suuri luku,

vaikka $\varepsilon$ olisi todella suuri luku.

Todistetaan myös esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo.

Lause 3.5.5

Jos $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$ ja $\lim\limits_{y\to L}f(y)=f(L)$, niin

$$\lim_{x\to a}f(g(x))=f\Big(\lim_{x\to a}g(x)\Big)=f(L).$$

Todistus

Olkoon $\epsilon>0$. Oletusten nojalla on löydyttävä sellaiset $\delta'>0$ ja $\delta>0$, että

$$|f(y)-f(L)|<\varepsilon,$$

kun $0 < |y - L| < \delta'$ ja edelleen

$$|g(x)-L|<\delta',$$

kun $0 < |x - a| < \delta$. Merkitään $y=g(x)$, jolloin oletuksesta $0 < |x - a| < \delta$ seuraa $|g(x) - L| < \delta'$. Jos $g(x) = L$, niin

$$|f(g(x)) - f(L)| = |f(L) - f(L)| = 0 < \varepsilon,$$

ja jos $g(x) \not= L$, niin $0 < |g(x) - L| < \delta'$ ja täten

$$|f(g(x))-f(L)|<\varepsilon.\qedhere$$

Palautusta lähetetään...