\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu

Määritelmä 3.2.3 ei riitä matemaattiseen päättelyyn työkaluna vaan vaaditaan tarkempaa tarkastelua. Haluamme siis määritellä tarkemmin, mitä tarkoittaa se, että funktion \(f\) arvot \(f(x)\) lähestyvät lukua \(L\) muuttujan \(x\) lähestyessä lukua \(a\).

Määritelmä 3.5.1

Reaaliluvun \(a\) sisältävää avointa väliä \((c,d)\) kutsutaan pisteen \(a\) ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa \((c,a)\cup(a,d)\) pisteen \(a\) punkteeratuksi ympäristöksi.

Määritelmä 3.5.2

Olkoon reaalifunktio \(f\) määritelty jossakin pisteen \(a\) punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla \(f\) on raja-arvo (limit) \(L\in\R\) pisteessä \(a\), jos jokaista \(\varepsilon>0\) kohti löydetään sellainen \(\delta>0\), että \(|f(x)-L|<\varepsilon\) aina, kun \(0<|x-a|<\delta\),

\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.\]

Tämän määritelmän avulla voidaan tarkentaa, mitä sanonnat “\(x\) on lähellä pistettä \(a\)” ja “\(f(x)\) on lähellä arvoa \(L\)” tarkoittavat. Näissä tarkasteluissa funktion \(f\) ei välttämättä tarvitse edes olla määritelty pisteessä \(a\), sillä raja-arvon määritelmän ehto \(0<|x-a|\) takaa, että \(x\ne a\) eikä funktion arvoa siten koskaan lasketa pisteessä \(a\).

Määritelmän voi ajatella myös kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla \(f\) raja-arvo \(L\) kun muuttuja \(x\) lähestyy lukua \(a\). Aloittava pelaaja \(E\) “epäilijä” valitsee aina luvun \(\varepsilon\) ja toinen pelaaja \(U\) “uskoja” luvun \(\delta\). Pelaaja \(E\) voittaa mikäli pelaaja \(U\) ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa \(\delta\). Pelaaja \(U\) voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja \(\delta\).

Esimerkki 3.5.3

Osoita, että \(\lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1\), kun \(f(x) = 3x + 7\).

Ratkaisu

Olkoon \(\varepsilon > 0\) mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen \(\delta > 0\), että olettamalla \(0 < |x - (-2)| < \delta\) saadaan perusteltua rajaus \(|f(x) - 1| < \varepsilon\). Pyritään kirjoittamaan lauseketta \(|f(x) - 1|\) sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke \(|x - (-2)| = |x + 2|\).

\[|3x + 7 - 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3|x + 2|\]

Valitaan \(\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0\) ja oletetaan, että \(0 < |x + 2| < \delta\). Tällöin edellisen nojalla

\[|f(x) - 1| = 3|x + 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,\]

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 3.5.4

Osoita, että \(\lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3\), kun \(f(x) = x^2 + 3x - 7\).

Todistus

Olkoon \(\varepsilon > 0\) mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen \(\delta > 0\), että olettamalla \(0 < |x - 1| < \delta\) saadaan perusteltua ehto \(|f(x) + 3| < \varepsilon\). Pyritään jälleen tuomaan \(|x - 1|\) näkyviin lausekkeessa \(|f(x) + 3|\).

\[|x^2 + 3x - 7 + 3| = |x^2 + 3x - 4| = |(x - 1)(x + 4)| = |x - 1||x + 4|\]

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle \(\delta\) voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi \(1\). Jos tiedetään, että \(\delta \leq 1\), niin rajauksen \(|x-1|<\delta\) jälkeen on oltava \(0 < x < 2\). Mutta tämän vuoksi \(4 < |x + 4| < 6\), eli

\[4|x - 1| < |x - 1||x + 4| < 6|x - 1|.\]

Valitaan \(\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{6}, 1\right\}\) ja oletetaan, että \(0 < |x - 1| < \delta\). Tällöin

\[|f(x) + 3| = |x - 1||x + 4| < 6|x - 1| < 6\delta \leq 6 \cdot \frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon,\]

mikä todistaa väitteen.

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

\[\lim_{x \to 4} 8x-20 = 12.\]

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla \(\delta\) riipuu luvusta \(\varepsilon\), mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen \(|f(x)-L|\) sellaisessa muodossa, jossa esiintyy \(|x-a|\).

Question 1

Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun \(\delta\) selvittämiseen?

\(|8x-12-4|=|8x-16|=|8x-8 \cdot 2|=8|x-2|\)

\(|8x-20-12|=|8x-32|=|8x-8 \cdot 4|=8|x-4|\)

\(|8x+20-4|=|8x+16|=|8x+8 \cdot 2|=8|x+2|\)

\(|8x-20-4|=|8x-24|=|8x-8 \cdot 3|=8|x-3|\)

Question 2

Miten aloitetaan todistus? Olkoon \(\varepsilon>0\). Valitaan

\(\delta=\frac{\varepsilon}{4}\),

\(\delta=\frac{\varepsilon}{3}\),

\(\delta=\frac{\varepsilon}{8}\),

\(\delta=\frac{\varepsilon}{2}\).

Question 3

Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että \(x\) kuuluu punkteerattuun ympäristöön

\(0<|x-2|<\delta\),

\(0<|x-3|<\delta\),

\(0<|x-4|<\delta\),

\(0<|x+2|<\delta\).

Question 4

Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa

käytetään muuttujaa \(x\),

muuttujan \(x\) etäisyys halutusta luvusta on pienempi kuin \(\delta\),

muuttujan \(x\) etäisyys halutusta luvusta on suurempi kuin \(0\),

etäisyysfunktiolla on sekä ala- että yläraja.

Question 5

Tällöin pätee

\(|f(x)-L|=\cdots<8\delta=\varepsilon\),

\(|f(x)-L|=\cdots<4\delta=\varepsilon\),

\(|f(x)-L|=\cdots<3\delta=\varepsilon\),

\(|f(x)-L|=\cdots<2\delta=\varepsilon\).

Question 6

Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan \(\delta\):n etäisyydellä raja-arvopisteestä \(4\) on vain sellaisia lukuja \(x\), joilla funktion arvo \(f(x)\) on väitetystä raja-arvosta \(12\) korkeintaan etäisyydellä \(\varepsilon\),

olipa \(\delta\) miten pieni hyvänsä,

olipa \(\varepsilon\) miten pieni hyvänsä,

vaikka \(\delta\) olisi todella suuri luku,

vaikka \(\varepsilon\) olisi todella suuri luku.

Todistetaan myös esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo.

Lause 3.5.5

Jos \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=L\) ja \(\lim\limits_{y\to L}f(y)=f(L)\), niin

\[\lim_{x\to a}f(g(x))=f\Big(\lim_{x\to a}g(x)\Big)=f(L).\]

Todistus

Olkoon \(\epsilon>0\). Oletusten nojalla on löydyttävä sellaiset \(\delta'>0\) ja \(\delta>0\), että

\[|f(y)-f(L)|<\varepsilon,\]

kun \(0 < |y - L| < \delta'\) ja edelleen

\[|g(x)-L|<\delta',\]

kun \(0 < |x - a| < \delta\). Merkitään \(y=g(x)\), jolloin oletuksesta \(0 < |x - a| < \delta\) seuraa \(|g(x) - L| < \delta'\). Jos \(g(x) = L\), niin

\[|f(g(x)) - f(L)| = |f(L) - f(L)| = 0 < \varepsilon,\]

ja jos \(g(x) \not= L\), niin \(0 < |g(x) - L| < \delta'\) ja täten

\[|f(g(x))-f(L)|<\varepsilon.\qedhere\]

Palautusta lähetetään...