$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu¶

Määritelmä 3.2.3 ei riitä matemaattiseen päättelyyn työkaluna vaan vaaditaan tarkempaa tarkastelua. Haluamme siis määritellä tarkemmin, mitä tarkoittaa se, että funktion $$f$$ arvot $$f(x)$$ lähestyvät lukua $$L$$ muuttujan $$x$$ lähestyessä lukua $$a$$.

Määritelmä 3.5.1

Reaaliluvun $$a$$ sisältävää avointa väliä $$(c,d)$$ kutsutaan pisteen $$a$$ ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa $$(c,a)\cup(a,d)$$ pisteen $$a$$ punkteeratuksi ympäristöksi.

Määritelmä 3.5.2

Olkoon reaalifunktio $$f$$ määritelty jossakin pisteen $$a$$ punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla $$f$$ on raja-arvo (limit) $$L\in\R$$ pisteessä $$a$$, jos jokaista $$\varepsilon>0$$ kohti löydetään sellainen $$\delta>0$$, että $$|f(x)-L|<\varepsilon$$ aina, kun $$0<|x-a|<\delta$$,

$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.$

Tällöin merkitään

$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$

Tämän määritelmän avulla voidaan tarkentaa, mitä sanonnat “$$x$$ on lähellä pistettä $$a$$” ja “$$f(x)$$ on lähellä arvoa $$L$$” tarkoittavat. Näissä tarkasteluissa funktion $$f$$ ei välttämättä tarvitse edes olla määritelty pisteessä $$a$$, sillä raja-arvon määritelmän ehto $$0<|x-a|$$ takaa, että $$x\ne a$$ eikä funktion arvoa siten koskaan lasketa pisteessä $$a$$.

Määritelmän voi ajatella myös kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla $$f$$ raja-arvo $$L$$ kun muuttuja $$x$$ lähestyy lukua $$a$$. Aloittava pelaaja $$E$$ “epäilijä” valitsee aina luvun $$\varepsilon$$ ja toinen pelaaja $$U$$ “uskoja” luvun $$\delta$$. Pelaaja $$E$$ voittaa mikäli pelaaja $$U$$ ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa $$\delta$$. Pelaaja $$U$$ voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja $$\delta$$.

Esimerkki 3.5.3

Osoita, että $$\lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1$$, kun $$f(x) = 3x + 7$$.

Ratkaisu

Olkoon $$\varepsilon > 0$$ mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen $$\delta > 0$$, että olettamalla $$0 < |x - (-2)| < \delta$$ saadaan perusteltua rajaus $$|f(x) - 1| < \varepsilon$$. Pyritään kirjoittamaan lauseketta $$|f(x) - 1|$$ sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke $$|x - (-2)| = |x + 2|$$.

$|3x + 7 - 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3|x + 2|$

Valitaan $$\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0$$ ja oletetaan, että $$0 < |x + 2| < \delta$$. Tällöin edellisen nojalla

$|f(x) - 1| = 3|x + 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,$

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 3.5.4

Osoita, että $$\lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3$$, kun $$f(x) = x^2 + 3x - 7$$.

Todistus

Olkoon $$\varepsilon > 0$$ mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen $$\delta > 0$$, että olettamalla $$0 < |x - 1| < \delta$$ saadaan perusteltua ehto $$|f(x) + 3| < \varepsilon$$. Pyritään jälleen tuomaan $$|x - 1|$$ näkyviin lausekkeessa $$|f(x) + 3|$$.

$|x^2 + 3x - 7 + 3| = |x^2 + 3x - 4| = |(x - 1)(x + 4)| = |x - 1||x + 4|$

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle $$\delta$$ voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi $$1$$. Jos tiedetään, että $$\delta \leq 1$$, niin rajauksen $$|x-1|<\delta$$ jälkeen on oltava $$0 < x < 2$$. Mutta tämän vuoksi $$4 < |x + 4| < 6$$, eli

$4|x - 1| < |x - 1||x + 4| < 6|x - 1|.$

Valitaan $$\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{6}, 1\right\}$$ ja oletetaan, että $$0 < |x - 1| < \delta$$. Tällöin

$|f(x) + 3| = |x - 1||x + 4| < 6|x - 1| < 6\delta \leq 6 \cdot \frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon,$

mikä todistaa väitteen.

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

$\lim_{x \to 4} 8x-20 = 12.$

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla $$\delta$$ riipuu luvusta $$\varepsilon$$, mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen $$|f(x)-L|$$ sellaisessa muodossa, jossa esiintyy $$|x-a|$$.

Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun $$\delta$$ selvittämiseen?
Miten aloitetaan todistus? Olkoon $$\varepsilon>0$$. Valitaan
Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että $$x$$ kuuluu punkteerattuun ympäristöön
Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa
Tällöin pätee
Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan $$\delta$$:n etäisyydellä raja-arvopisteestä $$4$$ on vain sellaisia lukuja $$x$$, joilla funktion arvo $$f(x)$$ on väitetystä raja-arvosta $$12$$ korkeintaan etäisyydellä $$\varepsilon$$,

Todistetaan myös esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo.

Lause 3.5.5

Jos $$\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$$ ja $$\lim\limits_{y\to L}f(y)=f(L)$$, niin

$\lim_{x\to a}f(g(x))=f\Big(\lim_{x\to a}g(x)\Big)=f(L).$
Todistus

Olkoon $$\epsilon>0$$. Oletusten nojalla on löydyttävä sellaiset $$\delta'>0$$ ja $$\delta>0$$, että

$|f(y)-f(L)|<\varepsilon,$

kun $$0 < |y - L| < \delta'$$ ja edelleen

$|g(x)-L|<\delta',$

kun $$0 < |x - a| < \delta$$. Merkitään $$y=g(x)$$, jolloin oletuksesta $$0 < |x - a| < \delta$$ seuraa $$|g(x) - L| < \delta'$$. Jos $$g(x) = L$$, niin

$|f(g(x)) - f(L)| = |f(L) - f(L)| = 0 < \varepsilon,$

ja jos $$g(x) \not= L$$, niin $$0 < |g(x) - L| < \delta'$$ ja täten

$|f(g(x))-f(L)|<\varepsilon.\qedhere$
Palautusta lähetetään...