\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
Motivaatio
Tässä osiossa perehdytään raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteeseen. Raja-arvolla tarkoitetaan sellaista reaalilukua \(L\), jota funktion \(f\) arvot \(f(x)\) lähestyvät tietyn pisteen \(a\) lähistöllä. Ajatuksena on, että näin voidaan kuvailla funktion käyttäytymistä kyseisellä alueella. Raja-arvon ja jatkuuden käsitteet ovat oleellisia matemaattisessa analyysissä ja erityisesti myöhemmin kurssilla differentiaalilaskennan kannalta.
Tällä kurssilla ei ole tarkoitus perehtyä syvällisesti raja-arvon ja jatkuvuuden tarkkoihin määritelmiin vaan saada rutiinia lukion tasoisien tehtävien ratkaisemiseen ja esitellä keveysti uutta asiaa. Opiskelija jota todella kiinnostaa perehtyä raja-arvon tarkkoihin määritelmiin voi tutustua tämän kappaleen lopussa olevaan osioon. Ennen määritelmiä on syytä käydä läpi esimerkein miten erilaiset funktiot voivat käyttäytyä lähellä tiettyä pistettä, ja näin selvittää mihin erilaisten raja-arvon määritelmien tulisi ottaa kantaa.
Esimerkki 3.1.1
Funktio \(f(x) = x^2 - 1\) lähestyy lukua \(-1\), kun \(x\) lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla \(f\) on pisteessä \(0\) raja-arvo \(-1\).
Funktio
\[\begin{split}f(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases}
-1, & \text{kun } x < 0 \\
1, & \text{kun } x > 0
\end{cases}\end{split}\]
lähestyy lukua \(1\), kun \(x\) lähestyy nollaa oikealta ja lukua \(-1\), kun \(x\) lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla \(f\) on pisteessä \(0\) oikeanpuoleinen raja-arvo \(1\) ja vasemmanpuoleinen raja-arvo \(-1\).
Funktion \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) arvot kasvavat rajatta, kun \(x\) lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla \(f\) on pisteessä \(0\) epäoleellinen raja-arvo \(\infty\).
Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) arvot kasvavat rajatta, kun \(x\) lähestyy nollaa oikealta ja vähenevät rajatta, kun \(x\) lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla \(f\) on pisteessä \(0\) oikeanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo \(\infty\) ja vasemmanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo \(-\infty\).
Funktion \(f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) arvot heilahtelevat kasvavalla taajuudella lukujen \(-1\) ja \(1\) välissä, kun \(x\) lähestyy nollaa. Funktiolla \(f\) ei ole raja-arvoa pisteessä \(0\).
Ydinsisältö