$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

Raja-arvon määrittäminen laskusääntöjen avulla¶

Raja-arvon määritelmä vaatii, että funktio on määritelty tarkastelupisteen molemmilla puolilla. Tämä ei aina toteudu, tai joskus funktion arvot voivat lähestyä eri lukuja pisteen eri puolilla. Tästä huolimatta on usein mielekästä soveltaa raja-arvon käsitettä. Seuraavaksi määrittelemme epämuodollisesti raja-arvon käsitteitä.

Määritelmä 3.2.1

Reaaliluvun $a$ sisältävää avointa väliä $(c,d)$ kutsutaan pisteen $a$ ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa $(c,a)\cup(a,d)$ pisteen $a$ punkteeratuksi ympäristöksi.

Määritelmä 3.2.2

Olkoon funktio $f$ on määritelty joukossa $\left( b,a \right)$ . Funktion $f$ vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ , jos funktion arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua vasemmalta $\left( x < a \right)$ . Tällöin merkitään

$\lim_{x\to a-}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a-}.$

Olkoon sitten funktio $f$ määritelty joukossa $\left( a,b \right)$ . Vastaavasti funktion $f$ oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ , jos funktion arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua oikealta $\left( x > a \right)$ . Tällöin kirjoitetaan

$\lim_{x\to a+}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a+}.$

Vasemman- ja oikeanpuoleisista raja-arvoista käytetään yhteisnimitystä toispuoleiset raja-arvot.

Toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on edellytys varsinaisen raja-arvon olemassaololle.

Määritelmä 3.2.3

Funktion $f$ raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ jos ja vain jos sekä sen vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ . Tällöin kirjoitetaan

$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$

Ehdolle saadaan siis yhtäpitävä ilmaus

$\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L \qquad \text{jos ja vain jos} \qquad \lim\limits_{x \to a-} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a+} f\left( x \right) = L .$

Alle olevassa kuvassa havainnollistettu kun katkoviivalla merkityt funktion $f$ arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät molemmat lukua $L$ , kun muuttuja $x$ lähestyy lukua $a$ vasemmalta ja oikealta. Idea on siis hyvin intuitiivinen.

Esimerkki 3.2.4

Havainnollistetaan erilaisten raja-arvojen käsitteitä, sekä toispuoleisten raja-arvojen samuuden välttämättömyyttä raja-arvon olemassaololle.

Funktiolla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x<1,\\ 2-x,&\text{kun }x>1, \end{cases}\end{split}$

on toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\to1-}f(x)=0\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to1+}f(x)=1,$

joten ei ole olemassa raja-arvoa $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ .
Funktiolla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2,&\text{kun }x<0,\\ x\sin\dfrac{1}{x},&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$

on toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\to0-}f(x)=0=\lim_{x\to0+}f(x),$

joten on olemassa raja-arvo $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$ .
Funktiolla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} 1,&\text{kun }x<0,\\ \sin\dfrac1x,&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$

on vasemmanpuoleinen raja-arvo $\lim\limits_{x\to0-}f(x)=1$ , mutta ei oikeanpuoleista raja-arvoa $\lim\limits_{x\to0+}f(x)$ , eikä siten myöskään raja-arvoa $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ .

Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä. Näiden laskusääntöjen todistaminen sivuutetaan.

Lause 3.2.5

Jos $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}$ ja $\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}$ , sekä $c \in \R$ , niin

$\lim\limits_{x \to a}c = c$ ,
$\lim\limits_{x \to a}x = a$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(cf(x)\big)}=cL$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M}$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)g(x)\big)=LM}$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}}$ , jos $M\ne0$ ,
$\lim\limits_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$ ,
$\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f\Big(\lim\limits_{x\to a}g(x)\Big)=f(M)$ .

Seuraus 3.2.6

Jos $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ on olemassa, niin $\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n,$ kun $n\in\N$ .

Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä mainittuihin raja-arvojen laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden raja-arvojen määrittämiseen.

Esimerkki 3.2.7

Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia raja-arvojen laskusääntöjä sekä edellisen lauseen tuloksia.

$\lim_{x\to3}\frac{2x^3-7}{5x+3}=\frac{\lim\limits_{x\to3}(2x^3-7)}{\lim\limits_{x\to3}(5x + 3)}=\frac{2\left(\lim\limits_{x\to3}x\right)^3-\lim\limits_{x\to3}7}{5\lim\limits_{x\to3}x + \lim\limits_{x\to3}3}=\frac{2\cdot3^3-7}{5\cdot3+3}=\frac{47}{18}$

Esimerkki 3.2.8

Raja-arvo

$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}$

on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $0$ . Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa supistamalla yhteisen tekijä.

$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)(x+3)} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)}{(x+2)} =4$
Raja-arvoa

$\lim_{x\to2}\frac{1}{2-x}$

ei ole olemassa, sillä funktion $\frac{1}{2-x}$ itseisarvo kasvaa rajatta, kun $x\to2$ .

Esimerkki 3.2.9

Raja-arvon laskusäännöistä seuraa, että

$\lim_{x\to5}\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{\lim_{x\to5}(2x^2-1)}=\sqrt{49}=7.$
Tutkitaan raja-arvoa

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$

Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $0$ , mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla lausekkeella $\sqrt{x+4}+2$ .

$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} =\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} =\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \to\frac14,$

kun $x \to 0$ .

Tehtävää ladataan...

Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on kuristusperiaate, jonka todistaminen sivuutetaan.

Lause 3.2.10 (Kuristusperiaate)

Olkoon $f(x)\le g(x)\le h(x)$ aina, kun $x\ne a$ jossakin pisteen $a$ ympäristössä ja oletetaan, että

$\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x).$

Tällöin $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$ .

Esimerkki 3.2.11

Havainnollistetaan kuristusperiaatteen ideaa. Funktiolla $g(x)=x\sin\frac1x$ on raja-arvo $0$ pisteessä $0$ , sillä

$-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$

ja $f(x)=-|x|\to0$ ja $h(x)=|x|\to0$ , kun $x\to0$ .

Funktiot $-|x|$ ja $|x|$ ikäänkuin “kuristavat” funktion $x\sin \frac{1}{x}$ lähestymään arvoa $0$ .

Tärkeitä raja-arvoja¶

Tarkastellaan seuraavaksi erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista pisteessä $0$ .

Lemma 3.2.12

$\lim\limits_{\theta\to0}\sin\theta = 0$ ja $\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta = 1$ .

Todistus

Tarkastellaan ensin alla olevaa yksikköympyrän ensimmäistä neljännestä esittävää kuvaa.

Pisteet $(\cos\theta, \sin\theta)$ , $(\cos\theta, 0)$ ja $(1, 0)$ virittävät suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien pituudet ovat $\sin\theta$ ja $1 - \cos\theta$ . Ne molemmat ovat lyhyempiä kuin pisteet $(\cos\theta, \sin\theta)$ ja $(1, 0)$ yhdistävä hypotenuusa, joka puolestaan on lyhyempi kuin samojen pisteiden välillä piirretty origokeskisen ympyrän kaari. Kulman määritelmän mukaisesti tämän kaaren pituus on $\theta$ , jolloin siis ensimmäisessä neljänneksessä $\sin\theta \leq \theta$ ja $1 - \cos\theta \leq \theta$ eli $\cos\theta \le \theta + 1$ . Tämä argumentti yleistyy myös negatiivisille kulman arvoille siten, että

$- \theta \le \sin\theta \le \theta,$

$1 - \theta \le \cos\theta \le 1 + \theta.$

Edelleen soveltamalla raja-arvon laskusääntöjä nähdään, että

$\lim\limits_{\theta \to 0} \theta = 0 \qquad\text{ja}\qquad \lim\limits_{\theta \to 0} -\theta = 0,$

$\lim\limits_{\theta \to 0} 1 + \theta = 0 \qquad\text{ja}\qquad \lim\limits_{\theta \to 0} 1 -\theta = 1.$

Joten kuristusperiaatteen nojalla saadaan, että

$\lim\limits_{\theta \to 0} \sin\theta = 0 \qquad\text{ja}\qquad \lim\limits_{\theta \to 0} \cos\theta = 1.$

Lause 3.2.13

$\lim\limits_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$

Todistus

Todistetaan lause geometrisesti.

Oletetaan, että $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ . Oheisesta kuvasta päätellään, että $x$ -akselin ja pisteen $(\cos\theta, \sin\theta)$ rajaaman kolmion pinta-ala on pienempi kuin niiden rajaaman ympyräsektorin pinta-ala. Viimeksi mainittu on lisäksi pienempi kuin $x$ -akselin ja pisteen $(1, \tan\theta)$ rajaaman kolmion pinta-ala.

$1$ -säteisen kiekon pinta-ala on $\pi\cdot1^2=\pi$ , joten kulmaan $\theta$ rajautuvan sektorin pinta-ala on $\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{2}$ . Kolmioiden pinta-alat voidaan laskea tutusti kateettien avulla, joten

$\frac12\cos\theta\sin\theta\le\frac{\theta}{2}\le\frac12\cdot1\cdot\tan\theta=\frac12\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.$

Edelleen kertomalla luvulla $2$ ja jakamalla luvulla $\sin\theta \not= 0$ nähdään, että

$\cos\theta\le\frac{\theta}{\sin\theta}\le\frac{1}{\cos\theta}.$

Ottamalla käänteisluvut järjestys kääntyy ja saadaan

$\frac{1}{\cos\theta}\ge\frac{\sin\theta}{\theta}\ge\cos\theta.$

Koska $\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta=1$ , niin kuristusperiaatteen nojalla

$\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1.$

Olettamalla $-\frac{\pi}{2}<\theta<0$ ja käsittelemällä vastaavan tilanteen neljännessä neljänneksessä tulokseksi saadaan

$\lim\limits_{\theta\to0-}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1,$

joten väite on todistettu toispuoleisten raja-arvojen olemassaoloon vetoamalla.

Funktiolla $f : \R\setminus\{0\} \to \R$ , $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ on keskeinen merkitys useissa signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein erityisnimitys $\operatorname{sinc}(x)$ . Matematiikassa tämän raja-arvon merkitys tulee esille trigonometristen funktioiden derivointikaavojen johtamisissa.

Esimerkki 3.2.14

Osoitetaan, että

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.$

Lavennetaan lausekkeella $1+\cos x$ ja käytetään tietoa $\sin^2x=1-\cos^2x$ .

$\frac{1-\cos x}{x} =\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)} =\frac{\sin x}{x}\,\frac{\sin x}{1+\cos x} \to1\cdot\frac{0}{1+1}=0,$

kun $x\to0$ .

Esimerkki 3.2.15

Selvitä itsellesi raja-arvon

$\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{x} =2\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(2x)}\right) =2\cdot1\cdot\frac{1}{1}=2$

määrityksen välivaiheet.

Raja-arvon määrittäminen laskusääntöjen avulla¶

Tehtävä 1

Tärkeitä raja-arvoja¶