$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Raja-arvon määrittäminen laskusääntöjen avulla

Raja-arvon määritelmä vaatii, että funktio on määritelty tarkastelupisteen molemmilla puolilla. Tämä ei aina toteudu, tai joskus funktion arvot voivat lähestyä eri lukuja pisteen eri puolilla. Tästä huolimatta on usein mielekästä soveltaa raja-arvon käsitettä. Seuraavaksi määrittelemme epämuodollisesti raja-arvon käsitteitä.

Määritelmä 3.2.1

Reaaliluvun $a$ sisältävää avointa väliä $(c,d)$ kutsutaan pisteen $a$ ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa $(c,a)\cup(a,d)$ pisteen $a$ punkteeratuksi ympäristöksi.

Määritelmä 3.2.2

Olkoon funktio $f$ on määritelty joukossa $\left( b,a \right)$. Funktion $f$ vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$, jos funktion arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua vasemmalta $\left( x < a \right)$. Tällöin merkitään

$$\lim_{x\to a-}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a-}.$$

Olkoon sitten funktio $f$ määritelty joukossa $\left( a,b \right)$. Vastaavasti funktion $f$ oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$, jos funktion arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua oikealta $\left( x > a \right)$. Tällöin kirjoitetaan

$$\lim_{x\to a+}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a+}.$$

Vasemman- ja oikeanpuoleisista raja-arvoista käytetään yhteisnimitystä toispuoleiset raja-arvot.

Toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on edellytys varsinaisen raja-arvon olemassaololle.

Määritelmä 3.2.3

Funktion $f$ raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ jos ja vain jos sekä sen vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$. Tällöin kirjoitetaan

$$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$$

Ehdolle saadaan siis yhtäpitävä ilmaus

$$\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L \qquad \text{jos ja vain jos} \qquad \lim\limits_{x \to a-} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a+} f\left( x \right) = L .$$

Alle olevassa kuvassa havainnollistettu kun katkoviivalla merkityt funktion $f$ arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät molemmat lukua $L$, kun muuttuja $x$ lähestyy lukua $a$ vasemmalta ja oikealta. Idea on siis hyvin intuitiivinen.

Esimerkki 3.2.4

Havainnollistetaan erilaisten raja-arvojen käsitteitä, sekä toispuoleisten raja-arvojen samuuden välttämättömyyttä raja-arvon olemassaololle.

1. Funktiolla

   $$\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x<1,\\ 2-x,&\text{kun }x>1, \end{cases}\end{split}$$

   on toispuoleiset raja-arvot

   $$\lim_{x\to1-}f(x)=0\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to1+}f(x)=1,$$

   joten ei ole olemassa raja-arvoa $\lim\limits_{x\to1}f(x)$.

   

2. Funktiolla

   $$\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2,&\text{kun }x<0,\\ x\sin\dfrac{1}{x},&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$$

   on toispuoleiset raja-arvot

   $$\lim_{x\to0-}f(x)=0=\lim_{x\to0+}f(x),$$

   joten on olemassa raja-arvo $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$.

3. Funktiolla

   $$\begin{split}f(x)=\begin{cases} 1,&\text{kun }x<0,\\ \sin\dfrac1x,&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$$

   on vasemmanpuoleinen raja-arvo $\lim\limits_{x\to0-}f(x)=1$, mutta ei oikeanpuoleista raja-arvoa $\lim\limits_{x\to0+}f(x)$, eikä siten myöskään raja-arvoa $\lim\limits_{x\to0}f(x)$.

Question 1

Raja-arvoa $\lim\limits_{x\to-1} \sqrt{x^2-1}$ ei ole olemassa, koska funktio $\sqrt{x^2 - 1}$ ei ole määritelty luvun $-1$

vasemmalla puolella,

oikella puolella,

kummallakaan puolella.

Question 2

Onko olemassa jompikumpi toispuoleinen raja-arvo?

On, raja-arvo kun $x\to -1-$.

On, raja-arvo kun $x\to -1+$.

Ei ole.

Question 3

Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, niin mikä se on?

sitä ei ole olemassa

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$\sqrt{2}$

Tarkastellaan seuraavaksi funktiota

$$\begin{split}f(x)= \begin{cases} -x+6, & \text{jos } |x|\geq 2 \\ 2x^2-2, & \text{jos } 1\leq |x|< 2 \\ 5, & \text{jos } |x|<1 \end{cases}\end{split}$$

Question 4

Mikä on raja-arvo $\lim_{x\to2-} f(x)$?

$-10$

$4$

$5$

$6$

$8$

Sitä ei ole määritelty.

Question 5

Mikä on raja-arvo $\lim_{x\to-2} f(x)$?

$-10$

$4$

$5$

$6$

$8$

Sitä ei ole määritelty.

Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä. Näiden laskusääntöjen todistaminen sivuutetaan.

Lause 3.2.5

Jos $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}$ ja $\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}$, sekä $c \in \R$, niin

1. $\lim\limits_{x \to a}c = c$,
2. $\lim\limits_{x \to a}x = a$,
3. $\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(cf(x)\big)}=cL$,
4. $\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M}$,
5. $\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)g(x)\big)=LM}$,
6. $\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}}$, jos $M\ne0$,
7. $\lim\limits_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$,
8. $\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f\Big(\lim\limits_{x\to a}g(x)\Big)=f(M)$.

Seuraus 3.2.6

Jos $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ on olemassa, niin $\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n,$ kun $n\in\N$.

Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä mainittuihin raja-arvojen laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden raja-arvojen määrittämiseen.

Esimerkki 3.2.7

Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia raja-arvojen laskusääntöjä sekä edellisen lauseen tuloksia.

$$\lim_{x\to3}\frac{2x^3-7}{5x+3}=\frac{\lim\limits_{x\to3}(2x^3-7)}{\lim\limits_{x\to3}(5x + 3)}=\frac{2\left(\lim\limits_{x\to3}x\right)^3-\lim\limits_{x\to3}7}{5\lim\limits_{x\to3}x + \lim\limits_{x\to3}3}=\frac{2\cdot3^3-7}{5\cdot3+3}=\frac{47}{18}$$

Esimerkki 3.2.8

1. Raja-arvo

   $$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}$$

   on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $0$. Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa supistamalla yhteisen tekijä.

   $$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)(x+3)} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)}{(x+2)} =4$$

2. Raja-arvoa

   $$\lim_{x\to2}\frac{1}{2-x}$$

   ei ole olemassa, sillä funktion $\frac{1}{2-x}$ itseisarvo kasvaa rajatta, kun $x\to2$.

Esimerkki 3.2.9

1. Raja-arvon laskusäännöistä seuraa, että

   $$\lim_{x\to5}\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{\lim_{x\to5}(2x^2-1)}=\sqrt{49}=7.$$

2. Tutkitaan raja-arvoa

   $$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$$

   Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $0$, mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla lausekkeella $\sqrt{x+4}+2$.

   $$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} =\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} =\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \to\frac14,$$

   kun $x \to 0$.

Pohditaan vielä hieman äskeistä esimerkkiä, jossa laskettiin raja-arvoa

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$$

Question 1

Miksi esimerkissä tehdään lavennus? (Huom. Muissa kuin tämän kysymyksen oikean vastauksen tapauksessa samanlainen lavennus tuskin kannattaa.) Sen takia, että suora sijoitus tuottaa muodon

$\frac{0}{0}$.

$\frac{b}{0}$, missä $b\neq 0$.

$\frac{0}{b}$, missä $b\neq 0$.

$\frac{b}{c}$, missä $b\neq 0$ ja $c\neq 0$.

Question 2

Lavennus tapahtuu nimenomaan lausekkeella $\sqrt{x+4}+2$, koska ensisijaisesti halutaan päästä eroon osoittajan

miinusmerkistä,

plusmerkistä,

neliöjuuresta,

muuttujasta.

Question 3

Miten ensimmäisen yhtäsuuruusmerkin jälkeinen muoto on saatu, eli minkä kaavan käyttöön lavennus perustuu?

$(a+b)^2=a^2+b^2$

$(a-b)^2=a^2-b^2$

$(a-b)(a+b)=b^2-a^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Question 4

Minkä takia esimerkin laskentarivillä toisen yhtäsuuruusmerkin jälkeen (viimeinen muoto ennen rajankäyntiä) osoittajana on luku $1$?

Luku $1$ on sijoitettu muuttujan $x$ paikalle.

Osamäärän osoittaja on jaettu lausekkeella $x$.

Osamäärä on supistettu lausekkeella $x$.

Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on kuristusperiaate, jonka todistaminen sivuutetaan.

Lause 3.2.10 (Kuristusperiaate)

Olkoon $f(x)\le g(x)\le h(x)$ aina, kun $x\ne a$ jossakin pisteen $a$ ympäristössä ja oletetaan, että

$$\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x).$$

Tällöin $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$.

Esimerkki 3.2.11

Havainnollistetaan kuristusperiaatteen ideaa. Funktiolla $g(x)=x\sin\frac1x$ on raja-arvo $0$ pisteessä $0$, sillä

$$-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$$

ja $f(x)=-|x|\to0$ ja $h(x)=|x|\to0$, kun $x\to0$.

Funktiot $-|x|$ ja $|x|$ ikäänkuin “kuristavat” funktion $x\sin \frac{1}{x}$ lähestymään arvoa $0$.

Usein tehtävissä, joissa kuristusperiaatetta käytetään, annetaan funktion $g(x)$ lauseke ja tehtävänä on keksiä sopivat kuvaajaa $y=g(x)$ alhaalta ja ylhäältä rajoittavat funktiot sekä niiden perusteella määrätä funktion $g(x)$ raja-arvo. Nyt käsitellään kuitenkin hiukan toisenlaista tehtävää.

Tarkastellaan funktioita

$$a(x)=\frac{2x^2+x+2}{4x+4}$$

ja

$$b(x)=\frac{x^2+3x+2}{2x+8}.$$

Välillä $(0,5)$ on vain yksi piste $x=c$, jossa nämä funktioiden kuvaajat sivuavat toisiaan. Sivuaminen tarkoittaa, että yhteisen pisteen molemmilla puolilla kuvaajat ovat samassa korkeusjärjestyksessä, eivätkä siis leikkaa (mene ristiin). Koska funktioiden $a(x)$ ja $b(x)$ kuvaajien kaikissa yhteisissä pisteissä pätee sekä $y=a(x)$ että $y=b(x)$, voidaan tämän perusteella muodostaa yhtälö $a(x)=b(x)$.

Question 1

Ratkaise yhtälö $a(x)=b(x)$. Aloita ristiinkerronnalla eli kerro yhtälön molempia puolia ensin funktion $a(x)$ nimittäjällä ja sitten funktion $b(x)$ nimittäjällä. Kun olet tehnyt ristiinkerronnan, miltä yhtälö näyttää?

$4x^3+20x^2+6x+16 = 4x^3+18x^2+14x+8$

$4x^3+18x^2+12x+16 = 4x^3+16x^2+20x+8$

$4x^3+16x^2+8x+16 = 4x^3+14x^2+16x+8$

$4x^3+14x^2+10x+16 = 4x^3+12x^2+18x+8$

Kun edelleen vähennetään puolittain termejä niin, että kaikki nollasta eroavat termit ovat yhdellä puolella yhtälöä, on yhtälö muotoa

$$2x^2-8x+8=0.$$

Question 2

Mikä on tämän ratkaisu eli kuvaajien yhteinen piste $x=c$?

$c=1$

$c=2$

$c=3$

$c=4$

Jos haluat, voit pohtia vähän sitä, miten toisen asteen yhtälön ratkaisun perusteella voidaan tietää ilman piirtämistä, että käyrät $y=a(x)$ ja $y=b(x)$ sivuavat eivätkä leikkaa pisteessä $c$.

Käsitellään nyt funktiota $r(x)$, jonka lauseketta ei tunneta, mutta tiedetään kuitenkin, että funktion $\frac{r(x)}{x^2}$ kuvaaja jää funktioiden $a(x)$ ja $b(x)$ kuvaajien väliin pisteen $c$ ympäristössä. Selvitetään funktion $r(x)$ raja-arvo pisteessä $c$.

Tarkasta kumpi kuvaajista $y=a(x)$ ja $y=b(x)$ on toista ylempänä pisteen $c$ ympäristössä. Tämän voi tehdä esim. sijoittamalla joitakin sopivasti valittuja lukuja.

Question 3

Kumpi on oikein?

$a(x)\leq \frac{r(x)}{x^2} \leq b(x)$

$b(x)\leq \frac{r(x)}{x^2} \leq a(x)$

Tarkasta seuraavaksi, että funktioilla $a(x)$ ja $b(x)$ on sama raja-arvo pisteessä $c$. Tämän perusteella tiedät kuristusperiaatteen mukaan, mikä on raja-arvo $\lim\limits_{x\to c} \frac{r(x)}{x^2}$.

Question 4

Raja-arvo $\lim\limits_{x\to c} \frac{r(x)}{x^2}$ on

$0$

$1$

$2$

$4$

Question 5

Päättele edelleen raja-arvo $\lim\limits_{x\to c} r(x)$.

Raja-arvo $\lim\limits_{x\to c} r(x)$ on

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$1$

$2$

$4$

Huomaa, että raja-arvon olemassaolo saataisiin pienellä lisäpohdinnalla (toispuoleisiin raja-arvoihin liittyen) todistettua siinäkin tapauksessa, että funktioiden $a$ ja $b$ kuvaajat leikkaisivat toisensa.

Tärkeitä raja-arvoja

Tarkastellaan seuraavaksi erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista pisteessä $0$.

Lemma 3.2.12

$\lim\limits_{\theta\to0}\sin\theta = 0$ ja $\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta = 1$.

Todistus

Tarkastellaan ensin alla olevaa yksikköympyrän ensimmäistä neljännestä esittävää kuvaa.

Pisteet $(\cos\theta, \sin\theta)$, $(\cos\theta, 0)$ ja $(1, 0)$ virittävät suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien pituudet ovat $\sin\theta$ ja $1 - \cos\theta$. Ne molemmat ovat lyhyempiä kuin pisteet $(\cos\theta, \sin\theta)$ ja $(1, 0)$ yhdistävä hypotenuusa, joka puolestaan on lyhyempi kuin samojen pisteiden välillä piirretty origokeskisen ympyrän kaari. Kulman määritelmän mukaisesti tämän kaaren pituus on $\theta$, jolloin siis ensimmäisessä neljänneksessä $\sin\theta \leq \theta$ ja $1 - \cos\theta \leq \theta$ eli $\cos\theta \le \theta + 1$. Tämä argumentti yleistyy myös negatiivisille kulman arvoille siten, että

$$- \theta \le \sin\theta \le \theta,$$

ja

$$1 - \theta \le \cos\theta \le 1 + \theta.$$

Edelleen soveltamalla raja-arvon laskusääntöjä nähdään, että

$$\lim\limits_{\theta \to 0} \theta = 0 \qquad\text{ja}\qquad \lim\limits_{\theta \to 0} -\theta = 0,$$

$$\lim\limits_{\theta \to 0} 1 + \theta = 0 \qquad\text{ja}\qquad \lim\limits_{\theta \to 0} 1 -\theta = 1.$$

Joten kuristusperiaatteen nojalla saadaan, että

$$\lim\limits_{\theta \to 0} \sin\theta = 0 \qquad\text{ja}\qquad \lim\limits_{\theta \to 0} \cos\theta = 1.$$

Lause 3.2.13

$\lim\limits_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$

Todistus

Todistetaan lause geometrisesti.

Oletetaan, että $0<\theta<\frac{\pi}{2}$. Oheisesta kuvasta päätellään, että $x$-akselin ja pisteen $(\cos\theta, \sin\theta)$ rajaaman kolmion pinta-ala on pienempi kuin niiden rajaaman ympyräsektorin pinta-ala. Viimeksi mainittu on lisäksi pienempi kuin $x$-akselin ja pisteen $(1, \tan\theta)$ rajaaman kolmion pinta-ala.

$1$-säteisen kiekon pinta-ala on $\pi\cdot1^2=\pi$, joten kulmaan $\theta$ rajautuvan sektorin pinta-ala on $\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{2}$. Kolmioiden pinta-alat voidaan laskea tutusti kateettien avulla, joten

$$\frac12\cos\theta\sin\theta\le\frac{\theta}{2}\le\frac12\cdot1\cdot\tan\theta=\frac12\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.$$

Edelleen kertomalla luvulla $2$ ja jakamalla luvulla $\sin\theta \not= 0$ nähdään, että

$$\cos\theta\le\frac{\theta}{\sin\theta}\le\frac{1}{\cos\theta}.$$

Ottamalla käänteisluvut järjestys kääntyy ja saadaan

$$\frac{1}{\cos\theta}\ge\frac{\sin\theta}{\theta}\ge\cos\theta.$$

Koska $\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta=1$, niin kuristusperiaatteen nojalla

$$\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1.$$

Olettamalla $-\frac{\pi}{2}<\theta<0$ ja käsittelemällä vastaavan tilanteen neljännessä neljänneksessä tulokseksi saadaan

$$\lim\limits_{\theta\to0-}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1,$$

joten väite on todistettu toispuoleisten raja-arvojen olemassaoloon vetoamalla.

Funktiolla $f : \R\setminus\{0\} \to \R$, $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ on keskeinen merkitys useissa signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein erityisnimitys $\operatorname{sinc}(x)$. Matematiikassa tämän raja-arvon merkitys tulee esille trigonometristen funktioiden derivointikaavojen johtamisissa.

Esimerkki 3.2.14

Osoitetaan, että

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.$$

Lavennetaan lausekkeella $1+\cos x$ ja käytetään tietoa $\sin^2x=1-\cos^2x$.

$$\frac{1-\cos x}{x} =\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)} =\frac{\sin x}{x}\,\frac{\sin x}{1+\cos x} \to1\cdot\frac{0}{1+1}=0,$$

kun $x\to0$.

Esimerkki 3.2.15

Selvitä itsellesi raja-arvon

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{x} =2\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(2x)}\right) =2\cdot1\cdot\frac{1}{1}=2$$

määrityksen välivaiheet.

Yllä olevassa esimerkissä pyydettiin selvittämään raja-arvon määrityksen

$$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x}\right) \left(\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(2x)}\right)$$

välivaiheet. Katsotaan, selvisivätkö ne.

Question 1

Seuraavassa listassa on nimetty kahdeksan laskentaan liittyvää sääntöä, tapaa tai määritelmää. Jos nimet eivät heti tuo sääntöä mieleen, löytyvät säännöt tästä luvusta tai trigonometrisiä funktioita käsittelevästä luvusta. Nimet ovat tosin vain tätä tehtävää varten kehitettyjä. Kolme näistä säännöistä on sellaisia, joita käytetään yllä esitetyssä laskussa.

Valitse ne kolme sääntöä, joita tässä käytetään.

Sinifunktion määritelmä

Tangenttifunktion määritelmä

Tangenttifunktion parittomuus

Kaksinkertaisen kulman kosinin muunnoskaava

Lavennus luvulla $2$

Supistus luvulla $2$

Yhteenlaskun raja-arvon laskusääntö

Tulon raja-arvon laskusääntö

Esimerkin toisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla ilmoitetaan, että

$$2\left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x}\right) \left(\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(2x)}\right) = 2\cdot 1\cdot \frac{1}{1}$$

Voidaan ajatella, että ensimmäiseen sulkulausekkeeseen tehdään muuttujanvaihto, jotta lauseen 3.2.13 perusteella siihen liittyväksi raja-arvoksi voidaan päätellä $1$.

Question 2

Mikä muuttujanvaihto ensimmäiseen sulkulausekkeeseen on tehty?

$\theta=\frac{x}{2}$

$\theta=x$

$\theta=2x$

$\theta=\sin(2x)$

Huomaa, että muuttujanvaihdon mukaisesti silloin kun $x\to 0$, niin myös $\theta \to 0$, joten lausetta 3.2.13 voidaan käyttää.

Question 3

Minkä takia $\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{\cos(2x)}= \frac{1}{1}$? Lausekkeeseen on tehty

suora sijoitus ja sievennys.

muuttujanvaihto.

toispuoleisten raja-arvojen selvittäminen.

Palautusta lähetetään...