$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Integraalin geometrisia sovelluksia

Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden $f, g : [a,b]\to\R$, $f(x)\ge g(x)$, kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on

(1) $$A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,\d x.$$

Pituuden, pinta-alan ja tilavuuden määritelmiä käsitellään tarkemmin vasta myöhemmillä opintojaksoilla, mutta kuvien avulla voidaan vakuuttua seuraavista tuloksista. Oletetaan, että $f : [a,b]\to\R$ on jatkuva, derivoituva ja että $f'$ on jatkuva. Funktion $f$ kuvaajan pituus on

(2) $$s=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x.$$

Kun funktion $f$ kuvaaja pyörähtää $x$-akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on

(3) $$A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x$$

ja kappaleen tilavuus on

(4) $$V=\pi\int_a^bf(x)^2\,\d x.$$

Question 1

Jatkuvien funktioiden $f,g \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ kuvaajien väliin jäävää pinta-alaa kuvaa

$\int_{a}^{b} \sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x$,

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\,\d x$, kun $g(x) \ge f(x)$,

$2\pi \int_{a}^{b} |f(x)| \sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x$,

$\int_{a}^{b} (g(x)-f(x))\,\d x$, kun $g(x) \ge f(x)$,

$\pi \int_{a}^{b} f(x)^2\,\d x$,

$2\pi \int_{a}^{b} |g(x)| \sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x$, kun $g(x) \ge f(x)$.

Esimerkki 6.2.1

Mikä on käyrän $y=x^{\frac{3}{2}}$ pituus välillä $0\le x\le1$? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?

Ratkaisu

Merkitään $y(x)=x^{\frac{3}{2}}$. Nyt $y'(x)=\frac32x^{\frac{1}{2}}$, joten kysytty pituus on

$$s=\int_0^1\sqrt{1+\frac94x}\,\d x=\sij{0}{1}\frac{8}{27}\Big(1+\frac94x\Big)^{3/2}=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}\approx1{,}44.$$

Tilavuus on

$$V=\pi\int_0^1x^3\,\d x=\pi\sij{0}{1}\frac14x^4=\frac{\pi}{4}.\qedhere$$

Palautusta lähetetään...