$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

Määritelmä 2.2.1

Kompleksiluvut, $$\C$$, koostuvat luvuista $$z = a + b\iu$$, missä $$a$$ ja $$b$$ ovat reaalilukuja, sekä $$\iu$$ on imaginaariyksikkö. Kompleksilukujen summa määritellään kaavalla

$(a+b\iu)+(c+d\iu)=(a+c)+(b+d)\iu$

ja tulo kaavalla

$(a+b\iu)(c+d\iu)=(ac-bd)+(ad+bc)\iu.$

Havaitaan, että kompleksilukujen summa ja tulo ovat myös kompleksilukuja, sillä edellisessä määritelmässä luvut $$a + c$$, $$b + d$$, $$ac - bd$$ ja $$ad + bc$$ ovat reaalilukuja. Kompleksiluvusta käytetään myös merkintöjä

$a + b\iu = a + \iu b = a + b\ju = a + \ju b.$

Kompleksilukuja voidaan havainnollistaa esittämällä ne pisteinä tai vektoreina kompleksitasossa (complex plane), kuten alla olevassa kuvassa.

Kompleksiluku $$a + 0\iu$$ samastetaan reaaliluvun $$a$$ kanssa ja merkitään $$a + 0\iu = a$$. Niinpä voidaan sanoa, että jokainen reaaliluku on myös kompleksiluku. Samoin voidaan merkitä $$0 + b\iu = b\iu$$. Erityisesti

$1 + 0\iu = 1 \qquad\text{ja}\qquad 0 + 1\iu = 1\iu = \iu.$

Imaginaariyksikkö $$\iu$$ on siis myös kompleksiluku. Otetaan käyttöön seuraava kompleksilukua $$z=a+b\iu$$ koskeva terminologia.

• $$a = \re z$$ on luvun $$z$$ reaaliosa ja $$b = \im z$$ on luvun $$z$$ imaginaariosa.
• Jos $$b = 0$$, luku $$z$$ on reaalinen.
• Jos $$b \ne 0$$, luku $$z$$ on imaginaarinen.
• Jos $$a = 0$$ ja $$b \ne 0$$, luku $$z$$ on puhtaasti imaginaarinen.

Kompleksiluvut $$z$$ ja $$w$$ ovat samoja, jos niiden reaali- ja imaginaariosat ovat samoja. Toisin sanoen $$z = w$$ jos ja vain jos $$\re z = \re w$$ ja $$\im z = \im w$$.

Määritelmä 2.2.2

Kompleksiluvun $$z=a+b\iu$$ vastaluku (negative) on

$-z=-a-b\iu$

(jolloin $$z+(-z)=0$$). Kompleksilukujen $$z=a+b\iu$$ ja $$w=c+d\iu$$ erotus (difference) $$z-w$$ määritellään asettamalla

$z-w=z+(-w)=(a-c)+(b-d)\iu.$

Lasketaan reaaliluvun $$t=t+0\iu$$ ja kompleksiluvun $$a+b\iu$$ tulo määritelmän mukaan.

$t(a+b\iu)=(t+0\iu)(a+b\iu)=(ta-0\cdot b)+(tb+0\cdot a)\iu=ta+tb\iu,$

eli samaan tulokseen päästään vain kertomalla sekä reaali- että imaginaariosa luvulla $$t$$. Tiivistetysti voidaan todeta, että kompleksilukujen summa, vastaluku, erotus ja reaaliluvulla kertominen toimivat täsmälleen samoin kuin tasovektorien vastaavat operaatiot. Näiden geometriset tulkinnat voidaan siis esittää kuten alla.

Esimerkki 2.2.3

1. $$\re(-2-3\iu)=-2$$ ja $$\im(-2-3\iu)=-3$$
2. $$(3-2\iu)-(-5+3\iu)=8-5\iu$$

Kompleksilukujen kertolaskun määritelmästä seuraa mielenkiintoinen ja hyödyllinen luvun $$\iu$$ ominaisuus.

Lause 2.2.4

$$\iu^2=\iu\cdot \iu=-1$$.

Todistus

Kirjoitetaan $$\iu=0+1\iu$$ ja lasketaan tulo määritelmän mukaan. Nyt $$a=c=0$$ ja $$b=d=1$$, joten

$\iu^2=\iu\cdot \iu=(0+1\iu)(0+1\iu)=(0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+1\cdot0)\iu=-1+0\iu=-1.$

Käsitellään seuraavaksi kompleksilukuja $$a+b\iu$$ ja $$c+d\iu$$ kuten reaalisia binomeja ja lasketaan niiden tulo käyttämällä tulosta $$\iu^2 = -1$$.

$(a+b\iu)(c+d\iu)=ac+ad\iu+bc\iu+bd\iu^2=ac+ad\iu+bc\iu-bd=(ac-bd)+(ad+bc)\iu$

Tulos on sama kuin kertolaskun määritelmässä, joten kompleksilukujen tulo voidaan laskea kuten binomien tulo osittelulakia käyttäen. Tulon geometriseen tulkintaan palataan myöhemmin.

Esimerkki 2.2.5

$$(-3-2\iu)(5+\iu)=-15-3\iu-10\iu-2\iu^2=-13-13i$$.

Oheiseen kuvaan on piirretty muutamien kompleksilukujen vektoriesitykset. Kahden apuviivan väli on $$1$$. Vastaa kysymyksiin.

Mitä on $$a+d$$?
Mitä on $$b-2c$$?
Onko $$f-b$$ reaalinen?
Onko $$e+d$$ imaginaarinen?
Mitä on $$ad$$?
Mitä on $$2ei$$? Huomaa, että tässä $$e$$ ei ole Neperin luku.

Reaaliluvuille $$a=a+0\iu$$ ja $$b=b+0\iu$$ kompleksilukujen laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaaliset laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan lauseen mukaan kaikkia tuttuja laskusääntöjä saa soveltaa myös kompleksilukuja käsiteltäessä

Lause 2.2.6

Jokaisella kompleksiluvulla $$z\ne0$$ on olemassa yksikäsitteinen käänteisluku (reciprocal) $$z^{-1}$$, joka toteuttaa ehdon $$zz^{-1}=1$$.

Todistus

Käänteisluvun olemassaolo ja yksikäsitteisyys on todistettava erikseen. Olkoon $$z=a+b\iu\ne0$$ ja merkitään

$w=\frac{1}{a^2+b^2}(a-b\iu).$

$zw = \frac{1}{a^2 + b^2}(a + b\iu)(a - b\iu) = \frac{1}{a^2 + b^2}(a^2 - ab\iu + ab\iu - b^2\iu^2) = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1,$

eli luku $$w$$ toteuttaa käänteisluvun ehdon. Täten $$z^{-1} = w$$ on olemassa.

Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi väitetään, että $$u$$ ja $$v$$ ovat luvun $$z \not= 0$$ käänteislukuja, eli esimerkiksi $$uz = 1$$ ja $$zv = 1$$. Tällöin kuitenkin välttämättä

$u = u \cdot 1 = u(zv) = (uz)v = 1 \cdot v = v,$

eli luvut $$u$$ ja $$v$$ ovat samat. Täten käänteisluku on yksikäsitteinen.

Koska jokaiselle nollasta poikkeavalle kompleksiluvulle löytyy käänteisluku, niille on mahdollista määritellä jakolasku vastaavasti kuin reaaliluvuille.

Määritelmä 2.2.7

Kompleksilukujen $$z$$ ja $$w$$ osamäärä (quotient) $$\dfrac{z}{w}$$, missä $$w\ne0$$, määritellään asettamalla

$\frac{z}{w}=zw^{-1}.$

Erityisesti $$\dfrac{1}{w}=1 \cdot w^{-1}=w^{-1}$$.

Reaaliluvuille $$a=a+0\iu$$ ja $$b=b+0\iu$$ kompleksiset laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaalilukujen laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan luvun mukaan kompleksiset laskutoimitukset toteuttavat samat peruslait kuin reaalilukujen laskutoimitukset. Siis kompleksilukujen laskutoimitukset laajentavat reaalilukujen laskutoimitukset $$\R^2$$:een.

Lause 2.2.8

Kun $$x$$, $$y$$ ja $$z$$ ovat kompleksilukuja, niin

1. $$x + y = y + x$$ ja $$xy = yx$$ (vaihdantalait),
2. $$x + (y + z) = (x + y) + z$$ ja $$x(yz) = (xy)z$$ (liitäntälait),
3. $$x(y + z) = xy + xz$$ (osittelulaki).
Todistus

Nämä voidaan todistaa suorilla laskuilla, kun sopivissa välivaiheissa sovelletaan reaalilukujen laskusääntöjä. Todistetaan esimerkkinä tulon vaihdantalaki. Merkitään $$x=x_1+x_2\iu$$ ja $$y=y_1+y_2\iu$$. Tällöin

\begin{split}\begin{aligned} xy&=(x_1+x_2\iu)(y_1+y_2\iu)=x_1y_1+x_1y_2\iu+x_2y_1\iu+x_2y_2\iu^2\\ &=y_1x_1+y_1x_2\iu+y_2x_1\iu+y_2x_2\iu^2=(y_1+y_2\iu)(x_1+x_2\iu)=yx. \end{aligned}\end{split}

Muut kohdat vastaavasti.

Lemma 2.2.9

Jos $$z \not= 0$$ ja $$w \not= 0$$ ovat kompleksilukuja, niin $$(zw)^{-1} = z^{-1}w^{-1}$$, eli

$\frac1z\cdot\frac1w=\frac{1}{zw}.$
Todistus

Määritelmän nojalla $$zz^{-1}=1$$ ja $$ww^{-1}=1$$, joten tulon liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla

$\left(zw\right)\left(z^{-1}w^{-1}\right)=z\left(wz^{-1}\right)w^{-1}=\left(zz^{-1}\right)\left(ww^{-1}\right)=1\cdot1=1.$

Niinpä $$z^{-1}w^{-1}$$ on luvun $$zw$$ käänteisluku.

Tästä tuloksesta seuraa, että tavanomainen laventaminen ja supistaminen on luvallista myös kompleksiluvuilla. Jos $$z\ne0$$, niin $$zz^{-1} = 1$$ ja siten

$\frac{v}{w} = \left(vw^{-1}\right)\left(zz^{-1}\right) = (vz)\left(w^{-1}z^{-1}\right) = (vz)\left(wz\right)^{-1} = \frac{vz}{wz}.$

Laventaminen tarjoaa yksinkertaisimman tavan etsiä kompleksiluvun käänteisluku. Suoralla laskulla voidaan tarkistaa, että $$(a + b\iu)(a - b\iu) = a^2 + b^2$$, missä $$a$$ ja $$b$$ ovat reaalisia. Tällöin myös luku $$a^2 + b^2$$ on reaalinen, eli

(1)$\frac{1}{a + b\iu} = \frac{a - b\iu}{(a + b\iu)(a - b\iu)} = \frac{a - b\iu}{a^2 + b^2} = \frac{1}{a^2 + b^2}(a - b\iu),$

joka on sama luku kuin aiemmassa lauseen 2.2.6 todistuksessa.

Esimerkki 2.2.10

1. Etsi luvun $$2 + 3\iu$$ käänteisluku muodossa $$a + b\iu$$.
2. Ilmoita luku $$\dfrac{3 - 4\iu}{-2 + \iu}$$ muodossa $$a + b\iu$$.
3. Ratkaise $$z$$ muodossa $$a + bi$$ yhtälöstä $$(2 - \iu)z = 1 + \iu$$.
Ratkaisu

Hyödynnetään sopivalla luvulla laventamista.

1. Lavennetaan luvulla $$2 - 3\iu$$.

$(2+3\iu)^{-1}=\frac{1}{2+3\iu}=\frac{2-3\iu}{(2+3\iu)(2-3\iu)}=\frac{2-3\iu}{4-9\iu^2}=\frac{2-3\iu}{13}=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}\iu$
2. Lavennetaan luvulla $$-2 - \iu$$.

$\frac{3-4\iu}{-2+\iu}=\frac{(3-4\iu)(-2-\iu)}{(-2+\iu)(-2-\iu)}=\frac{-10+5\iu}{5}=-2+\iu$
3. Ratkaisu on olemassa, sillä luvulla $$2 - \iu$$ on käänteisluku. Jaetaan yhtälö puolittain sillä ja lavennetaan luvulla $$2 + \iu$$.

$z=\frac{1+\iu}{2-\iu}=\frac{(1+\iu)(2+\iu)}{(2-\iu)(2+\iu)}=\frac{1+3\iu}{5}=\frac15+\frac35\iu\qedhere$
Mikä on luvun $$\iu$$ neliö?
Mikä on luvun $$-1$$ neliöjuuri?
Mikä seuraavista laskulaeista ei ole voimassa kaikille kompleksiluvuille $$x$$, $$y$$ ja $$z$$?
Jaetaan mikä tahansa kompleksiluku luvulla $$\iu$$. Tulokseksi tulee sama luku, kuin jos
Palautusta lähetetään...