$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Sovellus: vaihtovirtapiirien mallintaminen

Vaihtovirtapiirissä kulkee ajasta $t$ riippuva virta

$$I(t) = I_0\sin(\omega t),$$

missä $I_0$ on virran maksimiarvo eli amplitudi ja $\omega$ värähtelyn kulmanopeus. Piirin jännite riippuu sen resistanssista $R$ (vastus), kapasitanssista $C$ (kondensaattori) ja induktanssista $L$ (käämi). Oletetaan ensin, että piirissä on vain yksi näistä komponenteista, jolloin sähkömagnetismin lakien avulla jännitteeksi voidaan johtaa

$$\begin{split}\begin{aligned} V_R(t)&=RI_0\sin(\omega t) && \text{vastukselle,}\\ V_C(t)&=\frac{I_0}{\omega C}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) && \text{kondensaattorille,}\\ V_L(t)&=\omega LI_0\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) && \text{käämille.} \end{aligned}\end{split}$$

Jokaisessa tapauksessa sinifunktio toimii lausekkeelle $\omega t + \varphi$, missä lukua $\varphi$ kutsutaan jännitteen vaihekulmaksi. Pelkän vastuksen aiheuttaman vaihtojännitteen sanotaan olevan samassa vaiheessa kuin virta, sillä niiden vaihekulmat ovat samat. Kondensaattori myöhäistää jännitteen värähtelyä verrattuna virtaan, ja tällöin vaihe-ero on $-\frac{\pi}{2}$. Vastaavasti käämi aikaistaa jännitettä suhteessa virtaan, eli vaihe-ero on $\frac{\pi}{2}$. Seuraavat kuvaajat havainnollistavat kutakin jännitettä suhteessa harmaalla piirrettyyn vaihtovirtaan.

Eulerin kaavan mukaan $\sin(\omega t)$ on myös kompleksiluvun $e^{\iu\omega t}$ imaginaariosa:

$$\im\left(e^{\iu\omega t}\right)=\im(\cos(\omega t)+\iu\sin(\omega t))=\sin(\omega t).$$

Eri komponenttien aiheuttamat jännitteetkin voidaan siis muotoilla samoin. Koska on voimassa $e^{-\iu \frac{\pi}{2}}=-\iu$ ja $e^{\iu \frac{\pi}{2}}=\iu$, niin

$$\begin{split}\begin{aligned} V_R(t)&=RI_0\im\left(e^{\iu \omega t}\right) = \im\left(RI_0e^{\iu \omega t}\right)\\ V_C(t)&=\frac{I_0}{\omega C}\im\left(e^{\iu (\omega t-\pi/2)}\right) =\im\left(\frac{I_0}{\omega C}e^{\iu \omega t}e^{-\iu \pi/2}\right) =\im\left(\left(\frac{-\iu }{\omega C}\right)I_0e^{\iu \omega t}\right)\\ V_L(t)&=\omega LI_0\im\left(e^{\iu (\omega t+\pi/2)}\right) =\im\left(\omega LI_0e^{\iu \omega t}e^{\iu \pi/2}\right) =\im\left((\iu \omega L)I_0e^{\iu \omega t}\right) \end{aligned}\end{split}$$

Määritellään resistiivinen, kapasitatiivinen ja induktiivinen impedanssi

$$Z_R = R, \qquad Z_C = -\frac{\iu }{\omega C} \qquad\text{ja}\qquad Z_L = \iu \omega L,$$

sekä kompleksinen impedanssi

$$Z = Z_R + Z_C + Z_L = R + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\iu .$$

Tällöin kussakin edellisistä tapauksista jännite voidaan esitettää muodossa

$$V_X(t)=\im\left(Z_XI_0e^{\iu \omega t}\right),$$

missä $X$ viittaa tunnukseen $R$, $C$ tai $L$, ja kaikki komponentit sisältävässä RLC-piirissä kokonaisjännite on

$$V(t)=V_R(t)+V_C(t)+V_L(t) =\im\left(ZIe^{\iu \omega t}\right).$$

Koska piirin vastus $R = \re Z > 0$, kompleksiluku $Z$ sijaitsee imaginaariakselin oikealle puolelle jäävässä puolitasossa. Tällöin luvulla $Z$ on napakoordinaattiesitys $Z = |Z|e^{\iu\varphi}$, missä

$$\varphi = \arg Z =\arctan\left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right) = \arctan\left(\frac{\omega^2 LC-1}{\omega RC}\right).$$

Niinpä RLC-piirin kokonaisjännite on

$$V(t)=\im\left(|Z|e^{\iu \varphi}I_0e^{\iu \omega t}\right) =|Z|I_0\im\left(e^{\iu (\omega t+\varphi)}\right) =|Z|I_0\sin(\omega t+\varphi).$$

Jännitteen vaihekulma $\varphi$ on siis piirin kompleksisen impedanssin argumentti. Lisäksi skaalauskertoimena toimivaa itseisarvoa

$$|Z|=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}$$

kutsutaan LCR-piirin impedanssiksi.

Palautusta lähetetään...