$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

${}^*$Differenssiyhtälöt

Rekursio on eräs matematiikassa yleinen tapa määritellä lukujonoja. Rekursion ideana on määrittää lukujonon $n$:s termi aiempien termien avulla antamalla tälle jokin sääntö. Määrittelyä käytettiin jo aiemmin esimerkin 9.2.3 kohdissa 2 ja 3, joissa määriteltiin sääntö ja annettiin riittävä määrä lukujonon alkutermejä, jotta rekursio on hyvin määritelty.

Rekursiota voidaan tarkastella myös analogisesti lineaaristen differentiaaliyhtälöiden kanssa. Tarkastellaan 2. kertaluvun lineaarista vakiokertoimista differenssiyhtälöä

(1) $$a_n+ba_{n-1}+ca_{n-2}=f(n),$$

missä $b,c\in\mathbb{R}$ ja $f:\mathbb{N}\cup\{0\}\to\mathbb{R}$ on jokin annettu funktio. Oletetaan lisäksi, että differenssiyhtälölle on annettu alkuehdot $a_0=A_0$ ja $a_1=A_1$. Näin saadun differenssiyhtälön alkuarvo-ongelman ratkaisu etenee täysin analogisesti 2. kertaluvun lineaarisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön alkuarvo-ongelman ratkaisemisen kanssa, joten rajoitutaan tässä kappaleessa vain ratkaisun periaatteeseen.

Jos $f(n)=0$ jokaisella $n$, kutsutaan differenssiyhtälöä (1) homogeeniseksi, muulloin epähomogeeniseksi.

Määritelmä 9.5.1

Olkoot $b$ ja $c$ reaalilukuja. Vakiokertoimiseen toisen kertaluvun homogeeniseen lineaariyhtälöön

$$a_n+ba_{n-1}+ca_{n-2}=0$$

liittyvä karakteristinen yhtälö on

$$r^2+br+c=0.$$

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla karakteristiselle yhtälölle lasketaan juuret

$$r=\frac{1}{2}\left(-b\pm\sqrt{b^2-4c}\right).$$

Homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun

$$a_n=C_1a_n^{(1)}+C_2a_n^{(2)}$$

löytämiseksi tarvitaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua $a_n^{(1)}$ ja $a_n^{(2)}$.

Lause 9.5.2

Jos karakteristisella yhtälöllä on

1. kaksi erillistä reaalista juurta $r_1$ ja $r_2$, niin alkuperäisen yhtälön yleinen ratkaisu on

   $$a_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n,$$

2. reaalinen kaksoisjuuri $r_0$, niin alkuperäisen yhtälön yleinen ratkaisu on

   $$a_n=C_1r_0^n+C_2nr_0^n,$$

3. imaginaariset juuret $r_{\pm}=\alpha\pm\beta i$, niin alkuperäisen yhtälön yleinen ratkaisu on

   $$a_n=\rho^n\big(C_1\sin(\theta n)+C_2\cos(\theta n)\big),$$

   missä $\rho=|r_+|$ ja $\theta=\text{Arg}(r_+)$, eli Eulerin kaavan avulla $r_+=\rho e^{\theta}$.

Todistus

Sijoittamalla differenssiyhtälöön yrite $a_n=r^n$ on todistus analoginen lauseen 8.2.14 todistuksen kanssa ja jätetään asiasta kiinnostuneen lukijan täydennettäväksi.

Esimerkki 9.5.3

Etsi homogeenisen differenssiyhtälön

$$a_{n}-3a_{n-1}+2a_{n-2}=0$$

yleinen ratkaisu.

Ratkaisu

Yhtälön karakteristinen yhtälö on

$$r^2-5r+6=0,$$

jolla reaaliset juuret $r_1=2$ ja $r_2=3$. Edellisen lauseen mukaan yleinen ratkaisu on tällöin muotoa

$$a_n=C_12^n+C_23^n.\qedhere$$

Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu löydetään vastaavasti.

Lause 9.5.4

Jos $a_n^h=C_1a_n^{(1)}+C_2a_n^{(2)}$ on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja $a_n^p$ on epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

$$a_n=a_n^h+a_n^p=C_1a_n^{(1)}+C_2a_n^{(2)}+a_n^p.$$

Epähomogeeniyhtälön yksittäisratkaisun löytäminen menee analogisesti määräämättömien kertoimien menetelmän kanssa.

Esimerkki 9.5.5

Etsi differenssiyhtälön

$$a_{n}-3a_{n-1}+2a_{n-2}=4^n$$

yleinen ratkaisu ja alkuehdot $a_0=0$, $a_1=1$ toteuttava ratkaisu.

Ratkaisu

Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu laskettiin edellisessä esimerkissä. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yleistä ratkaisua sijoittamalla yrite $a_n=D4^n$, jolloin

$$\begin{split}\begin{aligned} a_{n}-3a_{n-1}+2a_{n-2}&=D4^n-D3\cdot 4^{n-1}+D2\cdot 4^{n-2}\\ &=D4^n-D3\cdot \frac{4}{4}\cdot 4^{n-1}+D2\cdot \frac{4^2}{4^2}\cdot 4^{n-2}\\ &=D4^n-D \frac{3}{4}\cdot 4^{n}+D \frac{2}{4^2}\cdot 4^{n}\\ &=D\Big(1-\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\Big) 4^{n}\\ &=D\frac{3}{8} 4^{n}. \end{aligned}\end{split}$$

Kun valitaan $D=\frac{8}{3}$, saadaan homogeenisen yhtälön yksityisratkaisuksi $a_n^p=\frac{8}{3}4^n$ ja yleiseksi ratkaisuksi

$$a_n=C_12^n+C_23^n+\frac{8}{3}4^n.$$

Yhtälöparista

$$\begin{split}\begin{aligned} a_0&=C_1+C_2+\frac{8}{3}=0,\\ a_1&=C_12+C_23+\frac{8}{3}4=1 \end{aligned}\end{split}$$

saadaan ratkaisuina $C_1=\frac{5}{3}$ sekä $C_2=-\frac{13}{3}$ ja näin alkuarvo-ongelman ratkaisuksi tulee

$$a_n=\frac{5}{3}2^n-\frac{13}{3}3^n+\frac{8}{3}4^n.\qedhere$$

Palautusta lähetetään...