$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Lukujono¶

Määritelmä 9.2.1

Jos jokaista luonnollista lukua $$n$$ vastaa reaaliluku $$a_n$$, niin päättymätöntä järjestettyä luetteloa

$(a_1,a_2,a_3,\ldots)=(a_n)_{n=1}^\infty$

kutsutaan lukujonoksi (sequence). Luvut $$a_n$$ ovat lukujonon termejä (term) tai alkioita. Indeksointi voidaan aloittaa mistä tahansa kokonaisluvusta.

Esimerkki 9.2.2

1. $$(2n)_{n=0}^\infty=(0,2,4,6,\ldots)$$
2. $$(2n-1)_{n=1}^\infty=(1,3,5,7,\ldots)$$
3. $$\big((-1)^n2^n\big)_{n=1}^\infty=(-2,4,-8,16,-32,\ldots)$$
4. $$\left(\dfrac{1}{3^n}\right)_{n=0}^\infty=\left(1,\dfrac13,\dfrac19,\dfrac{1}{27},\ldots\right)$$

Joskus lukujonon termeille ei anneta (tai ei voida antaa) edellisen esimerkin mukaista kaavaa.

Esimerkki 9.2.3

1. Kasvavaan järjestykseen asetetut alkuluvut muodostavat jonon

$(2,3,5,7,11,13,\ldots).$
2. Määrittely $$a_1=1$$ ja $$a_n=2a_{n-1}+3$$, kun $$n>1$$, tuottaa lukujonon

$(1,5,13,29,61,\ldots).$
3. Määrittely $$a_1=a_2=1$$ ja $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$, kun $$n>2$$, tuottaa niin sanotun Fibonaccin jonon

$(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots).$

Kohdissa 2 ja 3 on kyse rekursiivisesti (induktiivisesti) määritellystä lukujonosta, joka asetetaan määräämällä, kuinka kukin termi riippuu edellisestä tai edellisistä termeistä.

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ voidaan samaistaa funktion $$f : \N\to\R$$, $$f(n)=a_n$$, kanssa. Esimerkiksi lukujonoa

$\left(\frac{(-1)^n}{n}+1\right)_{n=1}^\infty$

vastaa funktio

$f : \N\to\R,\qquad f(n)=\frac{(-1)^n}{n}+1.$

Lukujonoa $$(a_n)$$ voidaan havainnollistaa geometrisesti piirtämällä sitä vastaavan funktion $$f(n)$$ kuvaaja.

Huomautus 9.2.4

Joskus lukujono esitellään listaamalla muutama ensimmäinen termi, esimerkiksi

$(1,2,3,\ldots).$

Tällainen määrittely ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, esimerkiksi edellinen jono voisi olla

$(n+1)_{n=0}^\infty=(1,2,3,4,5,6,\ldots)$

tai vaikkapa

$\left(-\frac12n^3+\frac32n^2+1\right)_{n=0}^\infty=(1,2,3,1,-7,-24,\ldots).$

## Lukujonon raja-arvo¶

Lukujonolle määritellään raja-arvo samaan tapaan kuin funktiolle raja-arvo äärettömyydessä.

Määritelmä 9.2.5

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ suppenee kohti raja-arvoa $$L$$, jos jokaista $$\varepsilon > 0$$ kohti löydetään sellainen luonnollinen luku $$N$$, että $$|a_n - L| < \varepsilon$$ aina, kun $$n > N$$,

$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N : n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon.$

Tällöin merkitään

$\lim_{n\to\infty}a_n=L\qquad\text{tai}\qquad a_n\to L,\text{ kun }n\to\infty.$

Jos lukujono ei suppene kohti mitään raja-arvoa, se hajaantuu.

Seuraavan kuvan tilanteessa valitulla $$\varepsilon$$ voidaan valita $$N=4$$.

Seuraavat kolme perustulosta voidaan todistaa samaan tapaan kuin funktion raja-arvon laskusäännöt.

Lause 9.2.6

Jos $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ ja $$(b_n)_{n=1}^\infty$$ suppenevat ja $$c\in\R$$, niin

1. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim_{n\to\infty}a_n$$,
2. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n$$,
3. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n$$,
4. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$$, jos $$\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ne0$$ ja $$b_n \ne 0$$ kaikilla $$n$$.

Lause 9.2.7

Olkoon $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$$ ja olkoon funktio $$f(x)$$ jatkuva pisteessä $$x=L$$. Silloin

$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=f(L).$

Lause 9.2.8 (Kuristusperiaate)

Olkoon $$a_n\le b_n\le c_n$$ kaikilla $$n$$ ja

$\lim_{n\to\infty}a_n=L=\lim_{n\to\infty}c_n.$

Silloin $$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$$.

Jos suppenevan lukujonon termien lauseke on tiedossa, niin raja-arvoa voidaan yrittää selvittää tutkimalla sopivan funktion raja-arvoa.

Lause 9.2.9

Oletetaan, että funktio $$f : [1,\infty)\to\R$$ ja lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ toteuttavat $$a_n=f(n)$$ aina, kun $$n\in\N$$. Jos $$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = L$$, niin $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L$$.

Esimerkki 9.2.10

$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{4n^2-9n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4-9/n}=\frac{3}{4-0}=\frac34.$
2. Tarkastellaan suppeneeko lukujono $$\left(\dfrac{\cos n}{n}\right)_{n=1}^\infty$$. Koska

$0\leftarrow-\frac1n\le\frac{\cos n}{n}\le\frac1n\to0,$

kun $$n\to\infty$$, niin kuristusperiaatteen mukaan

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0.$

Lukujonon suppenemiseen ja mahdolliseen raja-arvoon ei äärellisen monella jonon alkupään termillä ole merkitystä. Niinpä esimerkiksi lukujonon raja-arvon laskusäännöissä ja kuristusperiaatteessa riittää, että lukujono toteuttaa vaaditun ehdon jostakin indeksin $$n$$ arvosta alkaen.

## Kasvavat ja vähenevät lukujonot¶

Määritelmä 9.2.11

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on kasvava, jos $$a_n \leq a_{n + 1}$$, ja vähenevä, jos $$a_n \geq a_{n + 1}$$ kaikilla $$n$$. Lukujono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $$M$$, jolle $$a_n\le M$$ kaikilla $$n$$. Vastaavasti lukujono on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $$m$$, jolle $$a_n \ge m$$ kaikilla $$n$$.

Esimerkki 9.2.12

1. Vakiolukujono $$(1,1,1,\ldots)$$ on kasvava, vähenevä, alhaalta rajoitettu ja ylhäältä rajoitettu.

2. Jos

$a_n=\frac{1}{2n^2+7},$

missä $$n \in \N$$, niin lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on vähenevä, sillä $$2n^2+7$$ on kasvava joukossa $$\N$$. Lisäksi lukujono on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä selvästikin $$0<a_n<1$$ kaikilla $$n$$.

3. Jos

$a_n=\frac{n+2}{n+13},$

missä $$n \in \N$$, niin lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on kasvava, sillä funktion

$f(x)=\frac{x+2}{x+13}$

derivaatta

$f'(x)=\frac{11}{(x+13)^2}>0$

kaikilla $$x\ge1$$. Lukujono on lisäksi sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä kasvavuuden nojalla $$a_n\ge a_1=\frac{3}{14}$$ ja koska $$n+2\le n+13$$ kaikilla $$n$$, niin $$a_n\le1$$ kaikilla $$n$$.

Seuraava monotonisten jonojen peruslause (monotone convergence theorem) otetaan käyttöön ilman todistusta.

Lause 9.2.13 (Monotonisten jonojen peruslause)

Ylhäältä rajoitettu ja kasvava lukujono suppenee.

Valitse epätosi väite.

Vastaava tulos on voimassa myös vähenevälle ja alhaalta rajoitetulle lukujonolle. Näiden perustulosten todistukset ylittävät kurssin vaatimukset, mutta niiden järkevyydestä voinee vakuuttua seuraavan kuvan avulla.

Lemma 9.2.14

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$, missä

$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n,$

on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu, eli sillä on monotonisten jonojen peruslauseen mukaan raja-arvo. Merkitään tätä raja-arvoa kirjaimella $$e$$. Tunnetusti

$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2{,}71828\ldots.$

Lisäksi myös lukujono $$(b_n)_{n=1}^\infty$$, missä $$b_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n$$, on aidosti kasvava ja

$\frac{1}{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n.$
Todistus

Todistetaan, että lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Oletetaan, että $$0<x<y$$, jolloin voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö ja edelleen arvioida lauseketta ylöspäin.

\begin{split}\begin{aligned} y^{n+1}-x^{n+1}&=(y-x)(y^n+y^{n-1}x+\cdots+yx^{n-1}+x^n)\\ &<(y-x)(y^n+y^n+\cdots+y^n+y^n)\\ &=(y-x)(n+1)y^n\\ &=(yn-(n+1)x)y^n+y^{n+1}, \end{aligned}\end{split}

kaikilla luonnollisilla luvuilla $$n$$, joten

$x^{n+1}>((n+1)x-yn)y^n$

aina, kun $$n \in \N$$. Sovelletaan nyt tätä epäyhtälöä arvoilla $$x=1+\frac{1}{n+1}$$ ja $$y=1+\frac{1}{n}$$, joille selvästi $$0<x<y$$. Saadaan

\begin{aligned} a_{n+1}=x^{n+1}>((n+1+1)-(n+1))y^n=y^n=a_n. \end{aligned}

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on siis aidosti kasvava. Toisaalta, jos sovelletaan samaa epäyhtälöä arvoilla $$x=1$$ ja $$y=1+\frac{1}{2n}$$, niin saadaan arvio

\begin{aligned} 1>\left((n+1)-\left(n+\frac12\right)\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n =\frac12\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n, \end{aligned}

josta

$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n<2.$

$a_{2n}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}<4,$
eli $$a_{2n} < 4$$. Kasvavuudesta seuraa, että $$a_n \le a_{2n} < 4$$ kaikilla $$n$$. Siis jono $$(a_n)$$ on ylhäältä rajoitettu.
Edellisen lukujonon raja-arvona saatua lukua $$e$$ kutsutaan Neperin luvuksi, ja sillä on erityisasema luonnollisen eksponentti- ja logaritmifunktion kantalukuna. Lemmaa 9.2.14 käytetään eksponenttifunktion $$e^x$$ määrittelemiseen ja derivoimiskaavan $$D(e^x)=e^x$$ todistamiseen.