$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Taylorin sarja ja Taylorin polynomi¶

Lauseessa 10.3.7 todettiin, että jokainen potenssisarja esittää suppenemisvälillään derivoituvaa funktiota $$f(x)$$. Kääntäen voidaan kysyä, että jos funktio $$f(x)$$ on annettu, niin millä ehdoilla löydetään sellainen potenssisarja $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k$$, että $$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k$$. Miten kertoimet $$a_k$$ löydetään? Lausetta 10.3.7 soveltamalla nähdään, että ainakin funktiolla $$f(x)$$ täytyy olla kaikkien kertalukujen derivaatat. Lisäksi seuraava lause kertoo, että kertoimet voidaan valita vain yhdellä tavalla.

Lause 10.4.1

Jos $$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k$$ välillä $$(c-R,c+R)$$, niin

$a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$

aina, kun $$n$$ on ei-negatiivinen kokonaisluku.

Todistus

Sovelletaan potenssisarjan derivointisääntöä $$n$$ kertaa.

\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=1}^\infty ka_k(x-c)^{k-1}\\ f''(x)&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_k(x-c)^{k-2}\\ &\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(n)}(x)&=\sum_{k=n}^\infty k(k-1)(k-2)\cdots(k-(n-1))a_k(x-c)^{k-n} \end{aligned}\end{split}

Asetetaan viimeisessä yhtälössä $$x=c$$, jolloin sarjasta jää jäljelle vain indeksiä $$k=n$$ vastaava termi $$n!a_n=f^{(n)}(c)$$.

Määritelmä 10.4.2

Jos funktiolla $$f(x)$$ on pisteessä $$x=c$$ kaikkien kertalukujen derivaatat $$f^{(k)}(c)$$, niin yksikäsitteistä potenssisarjaa

(1)$\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+\frac{f^{(3)}(c)}{3!}(x-c)^3+\cdots$

kutsutaan funktion $$f$$ Taylorin sarjaksi (Taylor series) pisteen $$c$$ suhteen. Jos $$c=0$$, niin sarjasta käytetään myös nimitystä Maclaurinin sarja (Maclaurin series).

Vaikka Taylorin sarja (1) suppenisi pisteessä $$x$$, niin se ei välttämättä suppene kohti funktion arvoa $$f(x)$$.

Esimerkki 10.4.3

Määritellään funktio $$f : \R\to\R$$ asettamalla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2},&\text{kun }x\ne0,\\ 0,&\text{kun }x=0.\\ \end{cases}\end{split}$

Funktio $$f$$ on jatkuva myös pisteessä $$0$$, sillä

$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}e^{-1/x^2}=0.$

Kun $$x\ne0$$, niin

$f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}.$

Muuttujanvaihdolla $$t=1/x^2$$ nähdään, että

(2)$\lim_{x\to0}f'(x) =2\lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^3} =2\lim_{t\to\infty}\frac{t^{3/2}}{e^t} =0,$

sillä eksponenttifunktio voittaa kasvussa potenssifunktion. Derivaatan raja-arvoja koskevan lauseen mukaan funktion $$f$$ jatkuvuudesta ja äskeisestä yhtälöstä seuraa, että $$f'(0)=0$$. Derivaattafunktio $$f'(x)$$ on täten kaikkialla jatkuva, ja kun $$x\ne0$$, niin vastaavasti kuin edellä saadaan

$f''(x)=\left(-\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^6}\right)e^{-1/x^2}\to0,$

kun $$x\to0$$. Siten on olemassa $$f''(0)=0$$. Näin jatkaen nähdään, että funktiolla $$f$$ on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat ja että $$f^{(k)}(0)=0$$ kaikilla $$k \ge 0$$. Niinpä funktiolla $$f$$ on kaikilla reaaliluvuilla $$x$$ suppeneva Maclaurinin sarja

$\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=0.$

Kuitenkin $$f(x)\ne0$$ aina, kun $$x\ne0$$, joten sarja esittää funktiota $$f$$ vain pisteessä $$0$$.

Seuraava lause antaa keinon tutkia, milloin Taylorin sarja suppenee kohti funktiota.

Lause 10.4.4 (Taylorin lause)

Olkoon funktiolla $$f : I\to\R$$ kaikkien kertalukujen derivaatat välillä $$I$$ ja olkoon $$c$$ välin $$I$$ piste. Silloin Taylorin kaava

$f(x)=P_n(x)+R_n(x),$

on voimassa aina, kun $$x \in I$$ missä

$P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k$

on Taylorin sarjan $$n$$:s osasumma eli $$n$$. asteen Taylorin polynomi (Taylor polynomial) ja

(3)$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1},\quad\text{missä }z\in[c,x)\text{ tai }z\in(x,c]$

on Taylorin sarjan virhetermi (Taylor remainder).

Todistus

Määritelmän mukaan

$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k.$

Olkoon $$t$$ pisteiden $$x$$ ja $$c$$ välillä ja merkitään

$F(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k.$

Tällöin $$F(c)=R_n(x)$$. Lisäksi on helppo nähdä, että

(4)$F'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n.$

Määritellään

$G(t)=F(t)-\Big(\frac{x-t}{x-c}\Big)^{n+1}F(c).$

Näin ollen $$G(x)=G(c)=0$$, jolloin tiedämme, että derivoituvalle funktiolle löytyy pisteiden $$x$$ ja $$c$$ välistä sellainen piste $$z$$, että derivaatta $$G'(z)=0$$. Tästä seuraa, että

$F'(z)+(n+1)\Big(\frac{x-z}{x-c}\Big)^{n}F(c)=0,$

joten ottamalla huomioon $$F(c)=R_n(x)$$ ja kaava (4), saadaan

$-\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n+(n+1)\Big(\frac{x-z}{x-c}\Big)^{n}R_n(x)=0.$

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.$

Lauseketta

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x - c)^k$

kutsutaan yleisesti

Funktion Taylorin sarja esittää funktiota itseään niillä $$x$$, joilla virhetermin raja-arvo on nolla. Toisin sanoen

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k,$

jos ja vain jos

(5)$\lim_{n\to\infty}R_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}=0.$

Korostettakoon, että Taylorin virhetermin (3) $$z$$ riippuu pisteen $$x$$ lisäksi myös kokonaisluvusta $$n$$, eli $$z=z(x,n)$$. Erityisesti edellä mainittua raja-arvoa (5) laskettaessa ei voida olettaa, että $$z$$ olisi vakio. Vertaa tätä esimerkkiin 10.4.7 eksponenttifuntiosta, jossa ongelma hoidetaan arvioimalla $$e^z<e^{|x|}$$, missä $$e^{|x|}$$ on luvun $$n$$ suhteen vakio.

Huomautus 10.4.5

Taylorin lauseessa jäännöstermi esitettiin differentiaalimuodossa (tai Lagrangen muodossa)

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.$

Kirjallisuudesta löytyy myös muita muotoja jäännöstermille. Toinen yleinen tapa on esittää jäännöstermi integraalimuodossa

$R_n(x)=\int_c^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\,\d t,$

joka on helppo todistaa induktiolla $$n$$:n suhteen soveltamalla osittaisintegrointikaavaa oikealla puolella olevaan integraaliin.

Esimerkissä 10.3.8 saatiin johdettua funktioiden $$(1-x)^{-2}$$ ja $$\ln(1+x)$$ potenssisarjaesitykset ikään kuin sattumalta derivoimalla ja integroimalla funktion $$(1-x)^{-1}$$ potenssisarjaa. Taylorin kaavalla saadaan (ainakin periaatteessa) potenssisarjaesitys mille tahansa funktiolle, jolla sellainen on olemassa. Yksikäsitteisyyslause takaa, että saatu potenssisarja on aina Taylorin sarja, olipa se saatu millä (kelvollisella) menetelmällä tahansa.

Seuraavaa lemmaa tarvitaan usein virhetermiä arvioitaessa.

Lemma 10.4.6

Olkoon $$c>0$$. Silloin

1. $$\dfrac{c^n}{n!}$$ on vähenevä, kun $$n\ge c-1$$ ja
2. $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c^n}{n!}=0$$.
Todistus

Kumpikin osa erikseen.

1. Havaitaan, että $$\displaystyle\frac{\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{c^n}{n!}}=\frac{c}{n+1}\le1$$, kun $$n\ge c-1$$.

2. Olkoon $$m=\lfloor c\rfloor$$ luvun $$c$$ desimaaliesityksen kokonaisosa. Nyt aina, kun $$n>m$$,

\begin{aligned} \frac{c^n}{n!}=\underbrace{\frac{c}{1}\frac{c}{2}\cdots\frac{c}{m}}_{=:A}\underbrace{\frac{c}{m+1}}_{\le1}\underbrace{\frac{c}{m+2}}_{\le1}\cdots\underbrace{\frac{c}{n-1}}_{\le1}\frac{c}{n} \le A\frac{c}{n}\to0, \end{aligned}

kun $$n\to\infty$$.

Esimerkki 10.4.7

Etsi funktion $$f(x)=e^x$$ potenssisarjaesitys pisteen $$x=0$$ suhteen.

Ratkaisu

Koska $$D(e^x)=e^x$$, niin $$f^{(k)}(0)=e^0=1$$ kaikilla $$k$$ ja täten eksponenttifunktion Maclaurinin sarja on

$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.$

Olkoon $$x$$ reaaliluku. Jos $$x<0$$, niin aina, kun $$x<z\leq0$$, on voimassa $$z<|x|$$. Jos taas $$x>0$$, niin aina, kun $$0<z<x=|x|$$, on voimassa $$z<|x|$$. Löydetään siis reaaliluku $$z<|x|$$, ja siten $$f^{(n+1)}(z)=e^z\le e^{|x|}$$. Lemmaa 10.4.6 hyödyntäen

$0\le|R_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right||x|^{n+1} \le e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0,$

kun $$n\to\infty$$, joten on osoitettu, että

$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

aina, kun $$x\in\R$$.

Esimerkki 10.4.8

Etsi sini- ja kosinifunktioiden potenssisarjaesitys pisteessä $$x=0$$.

Ratkaisu

Lasketaan funktion $$f$$ derivaattoja pisteessä $$x=0$$.

\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=\sin x & f(0)&=0\\ f'(x)&=\cos x & f'(0)&=1\\ f''(x)&=-\sin x & f''(0)&=0\\ f^{(3)}(x)&=-\cos x & f^{(3)}(0)&=-1\\ f^{(4)}(x)&=\sin x & f^{(4)}(0)&=0 \end{aligned}\end{split}

Neljäs derivaatta on $$\sin x$$, joten funktiot ja arvot alkavat toistua syklisesti. Nyt $$|f^{(n)}(z)|\le 1$$ kaikilla $$z$$, joten

$0\le|R_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right||x|^{n+1} \le\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0,$

kun $$n\to\infty$$. Niinpä

(6)$\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

aina, kun $$x\in\R$$. Tässä potenssisarjaesityksen

$\sin x=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$

parillisten potenssien kerroin on siis $$0$$. Toisin sanoen

$\begin{split}a_n= \begin{cases} 0,&\text{kun }n=2k,\\ \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!},&\text{kun }n=2k+1. \end{cases}\end{split}$

Vastaavalla tavoin voidaan johtaa kaava

$\cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

aina, kun $$x\in\R$$.

Esimerkki 10.4.9

Etsi funktion $$f(x)=(1+x)^k$$, missä $$k\in\R$$, potenssisarjaesitys pisteen $$x=0$$ suhteen.

Ratkaisu

Lasketaan funktion $$f$$ derivaattoja pisteessä $$x=0$$.

\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=(1+x)^k & f(0)&=1\\ f'(x)&=k(1+x)^{k-1} & f'(0)&=k\\ f''(x)&=k(k-1)(1+x)^{k-2} & f''(0)&=k(k-1)\\ f^{(3)}(x)&=k(k-1)(k-2)(1+x)^{k-3} & f^{(3)}(0)&=k(k-1)(k-2)\\ &\mspace{9mu}\vdots &&\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(n)}(x)&=k(k-1)\cdots(k-n+1)(1+x)^{k-n} & f^{(n)}(0)&=k(k-1)\cdots(k-n+1) \end{aligned}\end{split}

Niinpä Maclaurinin sarja on

$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{n=0}^\infty\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}x^n =\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n,$

missä sarjan kerrointa kutsutaan binomikertoimeksi (binomial coefficient) ja merkitään

$\binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},\qquad\text{kun }n\ge1\qquad\text{ja}\qquad\binom{k}{0}=1.$

Merkintä $$\displaystyle\binom{k}{n}$$ luetaan “$$k$$ yli $$n$$“. Tutkitaan sarjan suppenemista suhdetestillä. Nyt

\begin{aligned} \left|\frac{\binom{k}{n+1}x^{n+1}}{\binom{k}{n}x^n}\right| =\frac{|k-n|}{n+1}|x| =\frac{\left|\frac{k}{n}-1\right|}{1+\frac{1}{n}}|x| \to|x|, \end{aligned}

kun $$n\to\infty$$. Sarja siis suppenee itseisesti, kun $$|x|<1$$ ja hajaantuu, kun $$|x|>1$$. Osoitetaan, että sarja suppenee kohti funktiota $$f(x)$$. Virhetermin (3) käyttäminen osoittautuu tässä hankalaksi, joten menetellään seuraavasti. Merkitään

$g(x)=\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n$

ja derivoidaan termeittäin välillä $$|x|<1$$. Siis

\begin{aligned} g'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\binom{k}{n}x^{n-1}. \end{aligned}

Nyt

\begin{split}\begin{aligned} (1+x)g'(x) &=\sum_{n=1}^\infty n\binom{k}{n}x^{n-1}+\sum_{n=1}^\infty n\binom{k}{n}x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty(n+1)\binom{k}{n+1}x^n+\sum_{n=0}^\infty n\binom{k}{n}x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left((n+1)\frac{k(k-1)\cdots(k-n)}{(n+1)!}+n\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\right)x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)(k-n)}{n!}+n\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\right)x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty(k-n+n)\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}x^n\nonumber\\ &=k\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n=kg(x). \end{aligned}\end{split}

Merkitään edelleen $$h(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x)^k}$$, derivoidaan ja otetaan huomioon edellinen yhtälö.

$h'(x)=\frac{-kg(x)}{(1+x)^{k+1}}+\frac{g'(x)}{(1+x)^k}=0,$

joten $$h(x)$$ on vakiofunktio $$h(x) = h(0)=g(0)=1$$ kaikilla $$|x|<1$$. Niinpä täytyy olla $$g(x)=(1+x)^k$$. Saatiin todistettua binomisarjaesitys (binomial series)

(7)$(1+x)^k=\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n,$

missä $$k\in\R$$ ja $$-1 < x < 1$$.

Huomautus 10.4.10 (Binomikaava)

Jos $$k\in\mathbb{N}$$ binomisarja pelkistyy äärelliseksi summaksi

$(1+x)^k=\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}x^n.$

\begin{split}\begin{aligned} (a+b)^k &= a^k(1+\frac{b}{a})^k\\ &=a^k\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}\Big(\frac{b}{a}\Big)^n\\ &=\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}a^{k-n}b^n. \end{aligned}\end{split}

Binomikerroin on tällöin klassisessa muodossa

$\binom{k}{n}=\frac{k!}{n!(k-n)!}.$

Joskus tunnettuja sarjoja voidaan käyttää apuna potenssisarjaesitystä muodostettaessa.

Esimerkki 10.4.11

Määritä funktion $$f(x)=e^{x^2}$$ Maclaurinin sarja.

Ratkaisu

Merkitään $$t=x^2$$ ja käytetään funktion $$e^t$$ tunnettua Maclaurinin sarjaa. Saadaan siis

\begin{aligned} e^{x^2}&=e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{k!} \end{aligned}

aina, kun $$x\in\R$$.

Palautusta lähetetään...