$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Vuorottelevat sarjat ja itseinen suppeneminen

Tähän asti käsiteltyjen positiivitermisten sarjojen yleistäminen on itse asiassa yksinkertaisempaa kuin voisi kuvitella. Lähdetään liikkeelle sarjasta, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia.

Määritelmä 10.2.1

Sarja on vuorotteleva (alternating), jos sen termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Toisin sanoen vuorotteleva sarja on muotoa

$$\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}a_k=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-\cdots$$

tai muotoa

$$\sum_{k=1}^\infty(-1)^ka_k=-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+\cdots,$$

missä $a_k>0$ kaikilla $k$.

On huomattava, että tässä edellisessä määritelmässä $a_k$ on termin $k$ itseisarvo, ei termi itse. Vuorotteleville sarjoille on käytössä seuraava Leibnizin testi, joka antaa myös arvion sarjan jäännöstermille. Varsinainen todistus sivuutetaan.

Question 1

Sarja on aina vuorotteleva, jos

sen termit ovat vuorotellen negatiivisia ja nollia.

sen termit ovat vuoroin positiivisia ja vuoroin negatiivisia.

sen termit ovat vuorotellen nollia ja positiivisia.

se suppenee integraalitestin nojalla.

sarja on harmoninen.

sarja on yliharmoninen.

Lause 10.2.2 (Leibnizin testi)

Jos vuorottelevalle sarjalle on voimassa

1. $a_k\ge a_{k+1}$ kaikilla $k$ ja
2. $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0$,

niin sarja suppenee. Silloin jäännöstermin itseisarvo $|R_n| \leq a_{n + 1}$. Toisin sanoen jäännöstermin itseisarvo on pienempi kuin ensimmäisen poisjätetyn termin itseisarvo.

Question 1

Mikä seuraavista on riittävä ehto sarjan suppenemiseen käytettäessä Leibnizin testiä?

Sarjan summa on nolla

$a_k \ge a_{k+1}$ kaikilla $k$ ja $\lim_{k \to \infty} a_k = 0$,

Sarjan termien itseisarvot muodostavat vähenevän lukujonon ja sarjan summa on nolla

Sarja on harmoninen

Sarja on vuorotteleva, sarjan termien itseisarvot muodostavat vähenevän lukujonon ja sarjan yleisen termin itseisarvon raja-arvo on nolla

Sarja on vuorotteleva

Esimerkki 10.2.3

Vuorotteleva harmoninen sarja

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots$$

suppenee, sillä

$$a_k=\frac1k\ge\frac{1}{k+1}=a_{k+1}$$

aina, kun $k\in\N$ ja

$$\lim\limits_{k\to\infty}a_k=\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac1k=0.$$

Esimerkki 10.2.4

Tutkitaan sarjan summaa $\displaystyle S=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{1+2^k}$ ja osasummaa $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{1+2^k}$.

1. Laske osasumma $S_4$ ja arvioi, millä tarkkuudella $S\approx S_4$.
2. Hae summalle $S$ oikea kolmidesimaalinen likiarvo.

Ratkaisu

Sarja on vuorotteleva, yleisen termin itseisarvo

$$a_k=\frac{1}{1+2^k}\geq\frac{1}{1+2\cdot2^k}=\frac{1}{1+2^{k+1}}=a_{k+1},$$

sekä

$$\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+2^k} = \lim_{k\to\infty}\frac{2^{-k}}{2^{-k} + 1} = \frac{0}{0 + 1} = 0,$$

joten sarja suppenee Leibnizin testin nojalla.

1. Osasummaksi lasketaan

   $$S_4=\sum_{k=1}^4\frac{(-1)^k}{1+2^k}=-\frac13+\frac15-\frac19+\frac{1}{17}\approx-0{,}185~621.$$

   Koska $S=S_n+R_n$, niin osasumma-approksimaation $S \approx S_n$ virhettä voidaan arvioida epäyhtälöllä

   (1) $$S_n-|R_n|\le S\le S_n+|R_n|,$$

   eli $|S - S_n|\le|R_n|$. Jäännöstermin yläraja Leibnizin testin mukaan on

   (2) $$|R_n|\le a_{n+1}=\frac{1}{1+2^{n+1}}.$$

   Siis kun $n = 4$, saadaan

   $$|R_4|\le\frac{1}{1+2^5}\approx0{,}030~303,$$

   eli

   $$-0{,}215~924\le S\le-0{,}155~318.$$

   Niinpä voidaan päätellä, että summalle $S$ saatiin oikea likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella, $S\approx-0{,}2$.

2. Lasketaan Leibnizin testin mukaisia virhearvioita $|R_n|\leq a_{n+1}$.

   $n$	$a_{n+1}$
   $11$	$0{,}000~244$
   $12$	$0{,}000~122$
   $13$	$0{,}000~061$

   Kokeillaan, riittäisikö valita $n=12$. Nyt $S_{12}\approx-0{,}205~618$, joten arvion (1) mukaan

   $$-0{,}205~740\le S\le-0{,}205~496.$$

   Summan $S$ oikea kolmidesimaalinen likiarvo on siis $-0{,}206$ tai $-0{,}205$. Asian varmistamiseksi lasketaan vielä $S_{13}\approx-0{,}205~740$, joten

   $$-0{,}205~801\le S\le-0{,}205~679.$$

   Oikea kolmidesimaalinen likiarvo on siten $S\approx-0{,}206$.

Määritelmä 10.2.5

Sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ suppenee itseisesti (converges absolutely), jos sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ suppenee.

Lause 10.2.6

Jos sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee. Toisin sanoen jos $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ suppenee, niin $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ suppenee.

Todistus

Oletetaan, että sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ suppenee. Koska

$$\begin{split}|a_k|= \begin{cases} a_k,&\text{jos }a_k\ge0\\ -a_k,&\text{jos }a_k\le0, \end{cases}\end{split}$$

niin

$$0\le|a_k|+a_k\le|a_k|+|a_k|=2|a_k|$$

aina, kun $k\in\N$. Niinpä sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(|a_k|+a_k\right)$ on positiiviterminen ja sillä on majoranttina sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}2|a_k|$. Oletuksen mukaan tämä sarja kuitenkin suppenee, joten myös sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(|a_k|+a_k\right)$ suppenee. Nyt sarja

$$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\big(\left(|a_k|+a_k\right)-|a_k|\big)=\sum_{k=1}^{\infty}(|a_k|+a_k)-\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$$

voidaan esittään kahden suppenevan sarjan erotuksena, joten suppenevien sarjojen lineaarisuuden vuoksi se suppenee.

Käänteinen tulos ei ole voimassa, sillä esimerkiksi vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, mutta sen itseisarvosarja on harmoninen sarja, joka hajaantuu. Tällaista sarjaa, joka suppenee, mutta ei suppene itseisesti, sanotaan ehdollisesti suppenevaksi (conditionally convergent).

Esimerkki 10.2.7

Suppeneeko $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kk}{2^k}$?

Ratkaisu

Tutkitaan itseistä suppenemista suhdetestillä. Nyt

$$\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\frac{\frac{k+1}{2^{k+1}}}{\frac{k}{2^k}}=\frac{k+1}{2k}=\frac12\left(1+\frac1k\right)\to\frac12 < 1,$$

kun $k\to\infty$, joten kyseinen sarja suppenee itseisesti, ja siten suppenee.

Muokataan suhdetesti muotoon, jota voidaan käyttää suoraan kaikille, myös ei-positiivitermisille sarjoille.

Lause 10.2.8 (Suhdetesti)

Olkoon $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ sarja ja olkoon

$$L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$$

olemassa äärellisenä tai $L=\infty$.

1. Jos $L<1$, niin sarja suppenee itseisesti.
2. Jos $L>1$, niin sarja hajaantuu.

Tapauksessa $L=1$ voi käydä kummin vain.

Todistus

Sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ on positiiviterminen, joten väite 1 seuraa suoraan aiemmasta suhdetestin versiosta. Kohdassa 2 sovelletaan samaa päättelyä kuin aiemmin sarjalle $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$, joten ei ole $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$. Siten ei myöskään ole $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$, joten sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ hajaantuu.

Question 1

Sarja suppenee itseisesti, jos

suhdetestin tuloksena saadaan $L = \infty$,

sarja on positiiviterminen,

sarja $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|$ suppenee,

$L=1$,

sarja $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ suppenee,

sarja on vuorottelva.

Palautusta lähetetään...