\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

\({}^*\)Differenssiyhtälöt

Rekursio on eräs matematiikassa yleinen tapa määritellä lukujonoja. Rekursion ideana on määrittää lukujonon \(n\):s termi aiempien termien avulla antamalla tälle jokin sääntö. Määrittelyä käytettiin jo aiemmin esimerkin 5.2.3 kohdissa 2 ja 3, joissa määriteltiin sääntö ja annettiin riittävä määrä lukujonon alkutermejä, jotta rekursio on hyvin määritelty.

Rekursiota voidaan tarkastella myös analogisesti lineaaristen differentiaaliyhtälöiden kanssa. Tarkastellaan 2. kertaluvun lineaarista vakiokertoimista differenssiyhtälöä

(1)\[a_n+ba_{n-1}+ca_{n-2}=f(n),\]

missä \(b,c\in\mathbb{R}\) ja \(f:\mathbb{N}\cup\{0\}\to\mathbb{R}\) on jokin annettu funktio. Oletetaan lisäksi, että differenssiyhtälölle on annettu alkuehdot \(a_0=A_0\) ja \(a_1=A_1\). Näin saadun differenssiyhtälön alkuarvo-ongelman ratkaisu etenee täysin analogisesti 2. kertaluvun lineaarisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön alkuarvo-ongelman ratkaisemisen kanssa, joten rajoitutaan tässä kappaleessa vain ratkaisun periaatteeseen.

Jos \(f(n)=0\) jokaisella \(n\), kutsutaan differenssiyhtälöä (1) homogeeniseksi, muulloin epähomogeeniseksi.

Määritelmä 5.5.1

Olkoot \(b\) ja \(c\) reaalilukuja. Vakiokertoimiseen toisen kertaluvun homogeeniseen lineaariyhtälöön

\[a_n+ba_{n-1}+ca_{n-2}=0\]

liittyvä karakteristinen yhtälö on

\[r^2+br+c=0.\]

Homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun

\[a_n=C_1a_n^{(1)}+C_2a_n^{(2)}\]

löytämiseksi tarvitaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua \(a_n^{(1)}\) ja \(a_n^{(2)}\).

Lause 5.5.2

Jos karakteristisella yhtälöllä on

  1. kaksi erillistä reaalista juurta \(r_1\) ja \(r_2\), niin alkuperäisen yhtälön yleinen ratkaisu on

    \[a_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n,\]
  2. reaalinen kaksoisjuuri \(r_0\), niin alkuperäisen yhtälön yleinen ratkaisu on

    \[a_n=C_1r_0^n+C_2nr_0^n,\]
  3. imaginaariset juuret \(r_{\pm}=\alpha\pm\beta i\), niin alkuperäisen yhtälön yleinen ratkaisu on

    \[a_n=\rho^n\big(C_1\sin(\theta n)+C_2\cos(\theta n)\big),\]

    missä \(\rho=|r_+|\) ja \(\theta=\text{Arg}(r_+)\), eli Eulerin kaavan avulla \(r_+=\rho e^{i\theta}\).

Todistus
Sijoittamalla differenssiyhtälöön yrite \(a_n=r^n\) on todistus analoginen lauseen 4.2.14 todistuksen kanssa ja jätetään asiasta kiinnostuneen lukijan täydennettäväksi.

Esimerkki 5.5.3

Etsi homogeenisen differenssiyhtälön

\[a_{n}-3a_{n-1}+2a_{n-2}=0\]

yleinen ratkaisu.

Ratkaisu

Yhtälön karakteristinen yhtälö on

\[r^2-5r+6=0,\]

jolla reaaliset juuret \(r_1=2\) ja \(r_2=3\). Edellisen lauseen mukaan yleinen ratkaisu on tällöin muotoa

\[a_n=C_12^n+C_23^n.\qedhere\]

Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu löydetään vastaavasti.

Lause 5.5.4

Jos \(a_n^h=C_1a_n^{(1)}+C_2a_n^{(2)}\) on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja \(a_n^p\) on epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

\[a_n=a_n^h+a_n^p=C_1a_n^{(1)}+C_2a_n^{(2)}+a_n^p.\]

Epähomogeeniyhtälön yksittäisratkaisun löytäminen menee analogisesti määräämättömien kertoimien menetelmän kanssa.

Esimerkki 5.5.5

Etsi differenssiyhtälön

\[a_{n}-3a_{n-1}+2a_{n-2}=4^n\]

yleinen ratkaisu ja alkuehdot \(a_0=0\), \(a_1=1\) toteuttava ratkaisu.

Ratkaisu

Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu laskettiin edellisessä esimerkissä. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yleistä ratkaisua sijoittamalla yrite \(a_n=D4^n\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} a_{n}-3a_{n-1}+2a_{n-2}&=D4^n-D3\cdot 4^{n-1}+D2\cdot 4^{n-2}\\ &=D4^n-D3\cdot \frac{4}{4}\cdot 4^{n-1}+D2\cdot \frac{4^2}{4^2}\cdot 4^{n-2}\\ &=D4^n-D \frac{3}{4}\cdot 4^{n}+D \frac{2}{4^2}\cdot 4^{n}\\ &=D\Big(1-\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\Big) 4^{n}\\ &=D\frac{3}{8} 4^{n}. \end{aligned}\end{split}\]

Kun valitaan \(D=\frac{8}{3}\), saadaan homogeenisen yhtälön yksityisratkaisuksi \(a_n^p=\frac{8}{3}4^n\) ja yleiseksi ratkaisuksi

\[a_n=C_12^n+C_23^n+\frac{8}{3}4^n.\]

Yhtälöparista

\[\begin{split}\begin{aligned} a_0&=C_1+C_2+\frac{8}{3}=0,\\ a_1&=C_12+C_23+\frac{8}{3}4=1 \end{aligned}\end{split}\]

saadaan ratkaisuina \(C_1=\frac{5}{3}\) sekä \(C_2=-\frac{13}{3}\) ja näin alkuarvo-ongelman ratkaisuksi tulee

\[a_n=\frac{5}{3}2^n-\frac{13}{3}3^n+\frac{8}{3}4^n.\qedhere\]
Palautusta lähetetään...