$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö¶

Tarkastellaan seuraavaksi ensimmäisen kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä (linear first-order equation)

(1)$y'+a(x)y=f(x),$

missä $$a(x)$$ ja $$f(x)$$ ovat jatkuvia avoimella välillä $$I$$. Jos funktio $$f(x)=0$$ välillä $$I$$, yhtälöä kutsutaan homogeeniseksi. Muutoin sitä kutsutaan epähomogeeniseksi. Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa, sillä kaikki funktiosta $$y$$ riippuvat termit ovat differentiaaliyhtälön yhdellä puolella ja funktion derivaatta $$y'$$ on eristetty.

Mikä seuraavista kuvauksista sopii parhaiten lausekkeelle

$a(x)y - f(x) + y' = 0 \text{?}$

Tarkastellaan seuraavaksi, miten differentiaaliyhtälö ?? saadaan ratkaistua systemaattisesti. Yhtälön vasen puoli muistuttaa hieman tulon derivaattaa $$D(fg)=f'g+fg'$$, kun $$f$$ samaistetaan ratkaistavaksi funktioksi $$y$$. Jos yhtälön vasen puoli saadaan tulon derivaatan muotoon, voidaan funktio $$y$$ ratkaista integroimalla yhtälön molemmat puolet, jolloin yhtälön toiselle puolelle jää ainoastaan termi $$yg$$. Tämä on differentiaaliyhtälön implisiittinen ratkaisu, mutta funktio $$y$$ on helppo ratkaista tästä eksplisiittisesti. Nyt luonnollisesti herää kysymys, mikä funktion $$g$$ tulee olla.

Kerrotaan aluksi yhtälön ?? molemmat puolet jollain funktiolla $$\mu(x)$$, jolloin

$\mu(x)y'+\mu(x)a(x)y=\mu(x)f(x).$

Yhtälön vasen puoli vastaa tulon derivaattaa, jos $$\mu'(x) = \mu(x)a(x)$$, sillä tällöin

$\mu(x)y' + \mu(x)a(x)y = \mu(x)y' + \mu'(x)y = D_x(\mu(x)y).$

Kun $$\mu(x)\not=0$$, voidaan differentiaaliyhtälöä kehittää edelleen. Nimittäin

\begin{split}\begin{aligned} D_x(\mu(x) y) = \mu(x)f(x) &\Leftrightarrow& \int D_x(\mu(x) y) \,\d x &= \int \mu(x)f(x) \,\d x + C \\ &\Leftrightarrow& \mu(x) y &= \int \mu(x)f(x) \,\d x + C \\ &\Leftrightarrow& y(x) &= \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)f(x) \,\d x + C\right). \end{aligned}\end{split}

Yhtälöllä ?? on siten olemassa ratkaisu, kunhan funktio $$\mu(x)$$ saadaan selvitettyä. Ehto $$\mu'(x) = \mu(x)a(x)$$ on itse asiassa ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö funktion $$\mu$$ suhteen, ja se voidaan ratkaista lauseen 3.4.1 avulla. Ehdon täyttävät funktiot ovat muotoa $$\mu(x) = Ce^{\int a(x)\,\d x}$$, missä integraalifunktio $$\int a(x) \,\d x$$ on olemassa, sillä $$a(x)$$ on jatkuvana funktiona integroituva välillä $$I$$. Valitaan yksinkertaisuuden vuoksi $$C=1$$, jolloin funktiota $$\mu(x) = e^{\int a(x) \,\d x} \not=0$$ kutsutaan integroivaksi tekijäksi. Yleinen ratkaisu on siis muotoa

(2)$y(x) = e^{-\int a(x) \,\d x}\left(\int e^{\int a(x) \,\d x}f(x) \,\d x + C\right).$

Näin on saatu perusteltua, että yhtälöllä ?? on olemassa ratkaisu, kun $$a(x)$$ ja $$f(x)$$ ovat jatkuvia funktioita välillä $$I$$. Ratkaisun yleisen lausekkeen muistamista tärkeämpää on hahmottaa, miten lausekkeeseen päädytään. Kootaan oleellisimmat havainnot ja ratkaisuvaiheet lauseeksi.

Lause 3.5.1 (Ratkaisun olemassaolo)

Olkoot $$a(x)$$ ja $$f(x)$$ jatkuvia funktioita välillä $$I$$. Tällöin differentiaaliyhtälöllä

$y'+a(x)y=f(x)$

on olemassa ratkaisu, joka löydetään seuraavasti.

1. Muodosta integroiva tekijä $$\mu(x) = e^{\int a(x) \,\d x}$$.
2. Kerro differentiaaliyhtälö puolittain integroivalla tekijällä $$\mu(x)$$.
3. Tunnista tulon derivaatta $$D_x(\mu(x) y)$$.
4. Integroi puolittain ja ratkaise funktio $$y$$.

Esimerkki 3.5.2

Määritä differentiaaliyhtälölle $$y'+3x^2y=6x^2$$ jokin ratkaisu.

Piilota/näytä ratkaisu

Yhtälö on jo valmiiksi normaalimuodossa. Lähdetään etsimään sille ratkaisua lauseen 3.5.1 avulla.

Integroivaksi tekijäksi saadaan $$\mu(x) = e^{\int 3x^2 \,\d x} = e^{x^3+C}$$. Koska integroivalla tekijällä kerrotaan differentiaaliyhtälön molemmat puolet, integroimisvakiolla $$C$$ ei tässä kohtaa ole väliä. Valitaan se nyt ja jatkossa aina nollaksi, eli integroiva tekijä on $$\mu(x) = e^{x^3}$$. Kerrotaan tällä differentiaaliyhtälön molemmat puolet, jolloin

$e^{x^3}y' + e^{x^3}\cdot3x^2y = e^{x^3}\cdot6x^2 \;\;\Leftrightarrow\;\; \int D_x(e^{x^3} y) \,\d x = \int e^{x^3}\cdot6x^2 \,\d x + C$

Sijoitetaan yhtälön oikean puolen integraaliin $$u=x^3$$, eli $$\d u = 3x^2\,\d x$$. Näin ollen

$e^{x^3} y = \int 2e^u\,\d u + C \qquad \Leftrightarrow \qquad y(x) = e^{-x^3}\left(2e^u+C\right),$

ja kun sijoitetaan takaisin $$u=x^3$$, saadaan $$y(x) = e^{-x^3}\left(2e^{x^3}+C\right) = 2+Ce^{-x^3}$$. Tarkastetaan ratkaisu sijoittamalla takaisin differentiaaliyhtälöön.

$D_x\left(2 + Ce^{-x^3}\right) + 3x^2\left(2 + Ce^{-x^3}\right) = -3Cx^2e^{-x^3} + 6x^2 + 3Cx^2e^{-x^3} = 6x^2.$

Saatu ratkaisu toteuttaa annetun differentiaaliyhtälön.

Edellisessä esimerkissä löydettiin differentiaaliyhtälölle lauseen 3.5.1 mukainen ratkaisu. On kuitenkin oleellista kysyä, saadaanko tällä lauseella differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut. Käy ilmi, ettei muita ratkaisuja ole olemassa, eli kaikki ratkaisut todella saadaan lauseella 3.5.1. Aloitetaan tämän perustelu seuraavalla lemmalla eli apulauseella, jonka avulla varsinainen tulos on helpompi todistaa.

Lemma 3.5.3

Olkoon $$a(x)$$ jatkuva funktio välillä $$I$$. Tällöin homogeenisen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön

$y'+a(x)y=0$

kaikki ratkaisut välillä $$I$$ ovat muotoa

$y(x)=Ce^{-\int a(x) \,\d x}.$
Piilota/näytä todistus

Yllä annettu yleinen ratkaisu seuraa suoraan lauseesta 3.5.1, kun $$f(x)=0$$. Näytetään kuitenkin, että väitetty yleinen ratkaisu todella toteuttaa homogeenisen differentiaaliyhtälön. Suoraan sijoittamalla saadaan

$y'(x) + a(x)y(x) = Ce^{-\int a(x)\,\d x}(-a(x)) + a(x)Ce^{-\int a(x)\,\d x} = 0,$

kuten pitääkin.

Seuraavaksi pitää osoittaa, että homogeenisen yhtälön kaikki ratkaisut ovat tätä muotoa. Muiden ratkaisujen olisi oltava välttämättä muotoa $$\widetilde{y}(x)=c(x)e^{-A(x)}$$, missä $$c(x)$$ on jokin funktio. Sijoittamalla tämä differentiaaliyhtälöön saadaan

\begin{split}\begin{aligned} \widetilde{y}'(x)+a(x)\widetilde{y}(x)&= c'(x)e^{-A(x)}-a(x)c(x)e^{-A(x)}+a(x)c(x)e^{-A(x)}\\ &=c'(x)e^{-A(x)}=0. \end{aligned}\end{split}

Koska $$e^{-A(x)}\neq 0$$ välillä $$I$$, saadaan $$c'(x)=0$$, joten $$c(x)$$ on vakio, mikä todistaa tuloksen.

Lause 3.5.4 (Ratkaisun yksikäsitteisyys)

Olkoot $$a(x)$$ ja $$f(x)$$ jatkuvia funktioita välillä $$I$$, $$x_0$$ välin $$I$$ piste ja $$y_0$$ reaaliluku. Tällöin ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon $$y(x_0)=y_0$$.

Piilota/näytä todistus

Aiemman perusteella tiedetään, että differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa

$y(x) = e^{-\int a(x) \,\d x}\left(\int e^{\int a(x) \,\d x}f(x) \,\d x + C\right).$

Merkitään selkeyden vuoksi $$\varphi(x)=\int a(x) \,\d x$$ ja $$\psi(x) = \int e^{\int a(x) \,\d x}f(x) \,\d x . Toisin sanoen funktiot :math:$$varphi(x) ja $$\psi(x)$$ ovat jotkin funktion $$a(x)$$ ja $$e^{\int a(x) \,\d x}f(x)$$ integraalifunktiot. Näillä merkinnöillä yleinen ratkaisu on muotoa

$y(x) = e^{-\varphi(x)}(\psi(x) + C).$

Osoitetaan, että kaikki yhtälön ratkaisut ovat tätä muotoa. Oletetaan, että $$\widetilde{y}(x)$$ on jokin ratkaisu. Tarkastellaan nyt funktioiden $$\widetilde{y}$$ ja $$y$$ erotusta. Koska

$(\widetilde{y}-y)' + a(x)(\widetilde{y}-y) = \widetilde{y}' + a(x)\widetilde{y} - (y' + a(x)y) = f(x) - f(x) = 0,$

funktio $$\widetilde{y}-y$$ on homogeenisen yhtälön ratkaisu. Siispä lemman 3.5.3 mukaan funktioiden erotuksen $$\widetilde{y}-y$$ tulee olla muotoa $$C'e^{-\varphi(x)}$$. Sieventämällä saadaan

$\widetilde{y}(x) - e^{-\varphi(x)}(\psi(x) + C) = C'e^{-\varphi(x)} \Leftrightarrow \widetilde{y}(x)=e^{-\varphi(x)}(\psi(x) + \underbrace{C + C'}_{\in\R}).$

Näin ollen kaikki ratkaisut ovat yhtä ja samaa muotoa.

Alkuehdon $$y(x_0)=y_0$$ mukaisesti

$y_0=e^{-\varphi(x_0)}(\psi(x_0)+C),$

mistä vakio $$C$$ saadaan ratkaistua yksikäsitteisesti. Nimittäin $$C=y_0e^{\varphi(x_0)}-\psi(x_0)$$.

Edellinen lause siis takaa sen, että kun differentiaaliyhtälölle ?? löydetään ratkaisu lauseen 3.5.1 mukaisesti, tämä ratkaisu on vakiota vaille yksikäsitteinen. Toisin sanoen muita ratkaisuja ei ole, ja alkuehto rajaa vakiolle vain yhden mahdollisen arvon.

Esimerkki 3.5.5

Ratkaise alkuarvotehtävä $$x^3y'+x^2y=x^4$$, $$y(1)=0$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Muokataan yhtälö ensin normaalimuotoon jakamalla yhtälön molemmat puolet termillä $$x^3$$, jolloin

(3)$y'+\frac1xy=x,$

missä $$x\not= 0$$. Oletus $$x \not= 0$$ ei rajoita ratkaisun yleisyyttä, sillä jos $$x = 0$$, niin mikä tahansa funktio $$y$$ toteuttaa yhtälön. Normaalimuodosta voidaan nyt tunnistaa lauseessa 3.5.1 esiintyvät $$a(x)=\frac{1}{x}$$ ja $$f(x)=x$$. Integroivaksi tekijäksi saadaan siten

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} \,\d x} = e^{\ln|x|} = |x|.$

Koska alkuehdossa $$x=1>0$$, haetulle ratkaisulle $$x>0$$. Siispä $$\mu(x) = x$$, ja kertomalla differentiaaliyhtälön molemmat puolet integroivalla tekijällä saadaan

\begin{split}\begin{aligned} xy' + y = x^2 &\Leftrightarrow& \int D_x(x y) \,\d x &= \int x^2 \,\d x + C \\ &\Leftrightarrow& xy &= \frac{1}{3}x^3 + C \\ &\Leftrightarrow& y(x) &= \frac{1}{3}x^2 +\frac{C}{x}. \end{aligned}\end{split}

Alkuehdosta seuraa, että $$y(1) = \frac{1}{3} + C = 0$$, eli $$C = -\frac{1}{3}$$. Kysytty alkuarvotehtävän ratkaisu on siis

$y(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3x} = \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{1}{x}\right),$

kun $$x>0$$.

Alkuarvotehtävän ratkaisu ensimmäisen kertaluvun lineaariselle differentiaaliyhtälölle tietyllä välillä

Havainnollistetaan vielä alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä edellisen esimerkin tapauksessa. Alla olevaan kuvaan on piirretty alkuehdon $$y(1)=0$$ toteuttava ratkaisu, eli kun vakio $$C=-1/3$$, sekä muutama muu ratkaisu vakion $$C$$ arvoilla $$-2,-1,0,1$$ ja $$2$$ välillä $$(0,\infty)$$. Vastaavasti myös välille $$(-\infty,0)$$ on piirretty muutama ratkaisu vastaavilla vakion $$C$$ arvoilla.

Ratkaisun olemassaolosta johtuen jokaisen pisteen $$(x_0,y_0)$$, $$x_0\not=0$$ kautta pitää kulkea vähintään yksi ratkaisukäyrä. Näitä ratkaisukäyriä voi kuitenkin olla vain korkeintaan yksi, sillä ratkaisu on yksikäsitteinen. Tämän perusteella pisteen $$(x_0,y_0)$$ kautta kulkevia ratkaisukäyriä on täsmälleen yksi, minkä vuoksi ratkaisukäyrät eivät leikkaa toisiaan.

Huomautus 3.5.6 (MATLAB)

Differentiaaliyhtälöiden eksplisiittisen ratkaisun löytäminen voi jossain tapauksissa olla erittäin haastaavaa. Edelliset esimerkit saadaan helposti ratkaistua MATLABin avulla käyttämällä dsolve-komentoa. Esimerkin 3.5.5 differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista kirjoittamalla komentoriville

syms y(x);
ode = x^3*diff(y,x) + x^2*y == x^4;
cond = y(1) == 0;
ySol(x) = dsolve(ode,cond)


jolloin MATLAB antaa vastaukseksi

ySol(x) =
(x^3 - 1)/(3*x)


Tämän saa auki kerrottuun muotoon komennolla expand. Huomaa, että = tarkoittaa sijoitusta ja == yhtäsuuruutta!

Palautusta lähetetään...