$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Potenssisarjat¶

Tähän mennessä tutkittavien sarjojen termit ovat olleet vakiota. Näin ei kuitenkaan tarvitse olla, vaan yhteenlaskettavat termit voivat riippua esimerkiksi reaaliluvusta $$x$$. Tällöin sarjan käyttäytymistä voidaan tutkia luvun $$x$$ eri arvoilla, ja joillakin arvoilla sarja voi supeta ja toisilla taas hajaantua. Potenssisarja on sarja, jossa termit riippuvat reaaliluvusta $$x$$ seuraavan määritelmän mukaisesti.

Määritelmä 6.2.1

Reaaliluvusta $$x$$ riippuvaa sarjaa

$\sum_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots$

kutsutaan pisteen $$c$$ ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut $$a_k$$, missä $$k = 1, 2, \ldots$$, ovat potenssisarjan kertoimia ja $$a_0$$ vakiotermi ja reaaliluku $$c$$ on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä $$(x-c)^0=1$$, jos $$x\ne c$$. Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) $$0^0=1$$, jolloin ensimmäinen termi on $$a_0(x-c)^0=a_0$$ kaikilla $$x$$.

Mikä seuraavista on potenssisarja?

Esimerkki 6.2.2

Sarja

$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-0)^k$

on pisteen $$0$$ ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat $$a_k = \frac{1}{k!}$$. Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun $$x\ne0$$. Nythän

$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{x^k}{k!}}\right|=\frac{k!}{(k+1)!}\left|\frac{x^{k+1}}{x^k}\right|=\frac{|x|}{k+1}\to0,$

kun $$k\to\infty$$. Pisteessä $$x=0$$ on $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1$$, joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun $$x\in\R$$.

Edellisen esimerkin potenssisarja suppenee itseisesti (eli suppenee) kaikilla reaaliluvuilla $$x$$. Aina näin ei kuitenkaan käy, vaan potenssisarjalle voi löytyä arvoja, joilla sarja hajaantuu. Mikäli nämä arvot olisivat hajallaan ympäri reaaliakselia ja sekaisin suppenevia sarjoja vastaavien arvojen kanssa, olisi potenssisarjojen käsittely haastavaa. Seuraava lause onneksi vakuuttaa, että suppenevia sarjoja vastaavat arvot sisältyvät aina johonkin väliin, jonka kaikilla arvoilla sarja suppenee.

Lause 6.2.3

Jos potenssisarja $$\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$$ suppenee jollakin $$x=x_0\ne0$$, niin sarja suppenee itseisesti kaikilla $$x$$, jotka toteuttavat $$-|x_0|<x<|x_0|$$.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että $$x\in(-|x_0|,|x_0|)$$ ja merkitään $$r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1$$. Koska sarja suppenee pisteessä $$x_0$$, on oltava $$\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0$$ ja täten löydetään sellainen indeksi $$K$$, että $$|a_kx_0^k|<1$$ aina, kun $$k\ge K$$. Nyt

$\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,$

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana. Koska sarja $$\sum_{k=K}^\infty a_kx^k$$ suppenee itseisesti eivätkä alun termit vaikuta suppenemiseen, myös sarja $$\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$$ suppenee itseisesti.

Seuraus 6.2.4

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

1. Sarja suppenee vain, kun $$x=c$$.
2. Sarja suppenee itseisesti aina, kun $$x\in\R$$.
3. Löydetään sellainen $$R>0$$, että sarja suppenee itseisesti, kun $$|x-c|<R$$ ja hajaantuu, kun $$|x-c|>R$$.
Piilota/näytä todistus
Väite seuraa Lauseesta 6.2.3 asettamalla $$t=x-c$$, jolloin väite palautuu sarjan $$\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k$$ tutkimiseksi.

Määritellään edellisen tuloksen perusteella sarjan suppenemissäde $$R$$ ja suppenemisväli.

Määritelmä 6.2.5

Lukua $$R\in[0,\infty)$$ tai $$R=\infty$$ kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence), jos potenssisarja suppenee itseisesti, kun $$|x-c|<R$$, ja hajaantuu, kun $$|x-c|>R$$. Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence).

Jos $$R\in(0,\infty)$$, niin päätepisteissä $$c-R$$ ja $$c+R$$ sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista $$\{c\}$$, $$(c-R,c+R)$$, $$[c-R,c+R)$$, $$(c-R,c+R]$$, $$[c-R,c+R]$$ tai $$\R$$.

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

$\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.$

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun $$x \not= c$$.

$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1$

jos ja vain jos $$|x-c|<\frac{1}{\rho}$$. Suppenemissäde on siis $$R=\frac{1}{\rho}$$. Jos raja-arvo $$\rho = 0$$, niin suppenemissäde $$R=\infty$$, ja jos $$\rho=\infty$$, niin $$R=0$$. Päätepisteissä $$c-R$$ ja $$c+R$$ suppenemista on tutkittava erikseen. Näin olemme muodostaneet suhdetestin potenssisarjan suppenemissäteen määrittämiseksi.

Lause 6.2.6 (Suhdetesti potenssisarjoille)

Potenssisarjan

$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k$

suppenemissäde on

$R=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|,$

joka voi olla:

• $$R=0$$, jolloin potenssisarja suppenee vain pisteessä $$x=c$$,
• $$R<\infty$$, jolloin potenssisarja suppenee ainakin kun $$|x-c|<R$$ (päätepisteet tutkittava erikseen),
• $$R=\infty$$, jolloin potenssisarja suppenee jokaisella $$x\in\mathbb{R}$$.

Huomautus 6.2.7

Suppenemissäteen laskukaava $$R=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|$$ toimii vain silloin, kun kaikki kertoimet poikkeavat nollasta. Muussa tapauksessa suppenemissäde ja -väli etsitään tavallisella suhdetestillä.

Mikä seuraavista väitteistä pätee potenssisarjalle?

Esimerkki 6.2.8

Määritä potenssisarjojen

1. $$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$$
2. $$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n$$
3. $$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}$$

suppenemisvälit.

Piilota/näytä ratkaisu
1. Tämä on pisteen $$c=0$$ ympärille kehitetty potenssisarja, jolle $$a_0=0$$ ja $$a_k=\frac{1}{k}$$, kun $$k \geq 1$$. Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, jolloin suppenemissäteeksi saadaan

\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\\ &=\lim_{k\to\infty}\Big(1+\frac{1}{k}\Big)=1. \end{aligned}\end{split}

Sarja siis suppenee kun $$|x| < 1$$ ja hajaantuu, kun $$|x| > 1$$. Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun $$x=1$$, sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun $$x=-1$$, sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis $$[-1,1)$$.

2. Muokkaamalla

$\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n$

nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle $$a_n=\frac{n!}{2^n}$$ ja $$c=0$$. Suppenemissäteeksi saadaan

\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{(n+1)!2^n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{2^n(n+1)!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n! \cdot 2 \cdot 2^{n}}{2^n(n+1)n!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n+1)}=0. \end{aligned}\end{split}

Sarja siis suppenee vain kun $$x=0$$.

3. Nyt

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.$

Tämän potenssisarjan kehityskeskus on $$c=-\frac{5}{2}$$. Suppenemissäteeksi saadaan

\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}}\right|\\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2+1}{n^2+1} \\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{2n+1}{n^2+1}+1\Big)=\frac{3}{2}. \end{aligned}\end{split}

Näin ollen sarja suppenee ainakin välillä $$\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)$$. Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä $$x=-4$$ sarja tulee muotoon

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},$

joka suppenee itseisesti, sillä

$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.$

Pisteessä $$x=-1$$ sarja tulee muotoon

$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},$

joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis $$[-4,-1]$$.

Pisteessä $$0$$ kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

(1)$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.$

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan $$f$$ on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause 6.2.9

Olkoon $$R>0$$ potenssisarjan (??) suppenemissäde. Tällöin funktio $$f(x)$$ on derivoituva välillä $$(-R,R)$$ ja integroituva jokaisella välillä $$[a,b]\subseteq(-R,R)$$. Kun $$|x|<R$$, niin

\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\d t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\d t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots. \end{aligned}\end{split}

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde $$R$$.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan ainoastaan ensimmäinen yhtälö. Oletetaan, että potenssisarjan

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$

suppenemissäde on $$R$$. Merkitään termeittäin derivoitua sarjaa

$g(x)=\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}.$

Derivoidulla sarjalla $$g(x)$$ on sama suppenemissäde, sillä

\begin{split}\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{ka_k}{(k+1)a_{k+1}}\right|&=\lim_{k\to\infty}\Big(\frac{k}{k+1}\Big|\frac{a_k}{a_{k+1}}\Big|\Big)\\ &=\lim_{k\to\infty}\Big(\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\Big|\frac{a_k}{a_{k+1}}\Big|\Big)\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\lim_{k\to\infty}\Big|\frac{a_k}{a_{k+1}}\Big|=R, \end{aligned}\end{split}

sillä $$\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{k}}=1$$ ja $$\lim_{k\to\infty}\Big|\frac{a_k}{a_{k+1}}\Big|=R$$.

Tulee vielä osoittaa, että $$g(x)=f'(x)$$, kun $$x$$ kuuluu suppenemisvälille. Hahmotellaan todistuksen ideaa. Merkitään

$F(x;h):=g(x)-\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$

eli jos $$F(x;h)\to 0$$, kun $$h\to 0$$, niin $$g(x)=f'(x)$$. Koska kaikki sarjat suppenevat, saadaan

\begin{split}\begin{aligned} F(x;h)&= \sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}-\frac{1}{h}\sum_{k=0}^\infty a_k(x+h)^k+\frac{1}{h}\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\\ &= \sum_{k=1}^\infty a_k\Big( kx^{k-1}-\frac{(x+h)^k-x^k}{h}\Big) \end{aligned}\end{split}

Koska polynomin derivoinnin nojalla

$kx^{k-1}-\frac{(x+h)^k-x^k}{h} \to 0\ \text{ kun }\ h\to 0,$

niin $$F(x;h)\to 0$$, kun $$h\to 0$$, jolloin tulos seuraa tästä.

Muunnokselle $$x - c = u$$ on voimassa $$\d x = \d u$$, ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$$.

Esimerkki 6.2.10

Tutkitaan geometrista sarjaa

(2)$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,$

kun $$-1 < x < 1$$. Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$

välille $$-1 < x < 1$$. Toisaalta integroimalla yhtälö (2) puolittain väliä $$[0,x]$$ pitkin saadaan

$-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.$

Sijoitetaan tässä muuttujan $$x$$ paikalle $$-x$$ jolloin nähdään, että

$\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,$

kun $$-1 < x < 1$$.

Palautusta lähetetään...