- MATH.APP.160
- 3. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
- 3.4 Separoituva yhtälö
Separoituva yhtälö¶
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa
Jos g(y(x))\ne0, niin kaava (1) voidaan kirjoittaa muodossa
joten integroimalla
Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto y=y(x), jolloin päädytään niin kutsuttuun implisiittiseen ratkaisuun
Funktio y voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla, jolloin puhutaan eksplisiittisestä ratkaisusta. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot y(x)=a, missä luku a on funktion g nollakohta. Kootaan nyt tehdyt havainnot lauseeksi.
Lause 3.4.1
Separoituvan differentiaaliyhtälön
implisiittinen ratkaisu saadaan kaavalla
Erikoisratkaisut ovat vakiofunktiot y(x) = a, missä luku a on funktion g nollakohta.
Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti kaava (2) ”johdetaan” kirjoittamalla ensin y' = \frac{dy}{dx} ja
Tässä kerrotaan formaalisti \d x:llä ja siirretään muutujasta y riippuvat termit vasemmalle ja muuttujasta x riipuvat termit oikealle (separointi), jolloin saadaan
Tästä integroimalla puolittain saadaan haluttu tulos
Huomautus 3.4.2
Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä \int f(x)\,\d x tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion f integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.
Esimerkki 3.4.3
Ratkaise differentiaaliyhtälö y'=x^2y^3.
Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa f(x)=x^2 ja g(y)=y^3. Kirjoitetaan separointia varten \dfrac{\d y}{\d x} = x^2y^3, jolloin ratkaisut toteuttavat
Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan
missä C^*=-2C. Lisäksi erikoisratkaisuna saadaan y(x) = 0.
Esimerkiksi alkuehdolla y(1)=3 (siis C^*=\frac{7}{9}) saadaan ratkaisu
missä y on määritelty, kun x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}.
Esimerkki 3.4.4
Tarkastellaan populaation kokoa x(t) ajan t funktiona. Derivaatta x'(t) kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä \Delta t>0 on
Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus x'(t) on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli
Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin
Yleinen ratkaisu saadaan luonnollisen logaritmin käänteisfunktion e^x avulla muotoon
missä C^* = e^{C} > 0. Jos hetkellä t=0 populaation koko on x_0, niin x(0)=C^*e^0=C^*=x_0, joten
Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos k>0 ja vähenee eksponentiaalisesti, jos k<0.
Esimerkki 3.4.5
Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan t funktiolla N(t). Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli -N'(t) on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli
missä verrannollisuuskerroin k > 0. Esimerkin 3.4.4 mukaan
missä N_0=N(0). Olkoon \tau>0 vakio ja lasketaan lukumäärien N(t+\tau) ja N(t) suhde.
Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä t. Sovitaan, että \tau on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt
Vakiota k kutsutaan hajoamisvakioksi.
Esimerkki 3.4.6
Erään maan väkiluku vuonna 2019 on 1~500~000. Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy 4~\% vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa 50~000 asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2039?
Merkitään väkilukua x(t) ajan t (vuosina, t=0 vuonna 2019) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä
Voidaan kirjoittaa
eli yhtälö on separoituva ja
Ratkaistaan tästä funktio x yleisessä muodossa
Alkuehdosta saadaan x(0)=C^{*}-1~250~000=1~500~000, joten C^*=2~750~000. Niinpä väkiluku ajan t funktiona on
ja vuonna 2039 väkiluku on x(20)\approx4~870~000.
Esimerkki 3.4.7
Ratkaistaan esimerkin 3.1.1 yhtälö (1), eli
Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin
missä C^* = e^{C^{**}}. Täten
missä C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}.
Yleisen ratkaisun termi Ce^{-kt}\to0, kun t\to\infty, eli vesilasin lämpötila lähestyy asymptoottiseti ympäröivän ilman lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Merkitään vesilasin alkulämpötilaa T(0)=T_0. Jos vesilasi on aluksi ilmaa lämpimämpi eli T_0-T_u>0, niin C>0 ja lämpötila T(t) vähenee kohti raja-arvoaan T_u. Jos vesilasi on aluksi ilmaa kylmempi eli T_0-T_u<0, niin C<0 ja lämpötila T(t) kasvaa kohti raja-arvoaan T_u. Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin C arvolla.
Erikoisratkaisuun T(t)=T_u päädytään siloin, kun vesilasin alkulämpötila sama kuin ympäröivän ilman lämpötila.