\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Separoituva yhtälö
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa
(1)\[y'(x)=f(x)g(y(x)).\]
Jos \(g(y(x))\ne0\), niin kaava (1) voidaan kirjoittaa muodossa
\[\frac{y'(x)}{g(y(x))}=f(x),\]
joten integroimalla
\[\int\frac{y'(x)}{g(y(x))}\,\d x=\int f(x)\,\d x+C.\]
Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto \(y=y(x)\), jolloin päädytään niin kutsuttuun implisiittiseen ratkaisuun
(2)\[\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,\d x+C.\]
Funktio \(y\) voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla, jolloin puhutaan eksplisiittisestä ratkaisusta. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot \(y(x)=a\), missä luku \(a\) on funktion \(g\) nollakohta. Kootaan nyt tehdyt havainnot lauseeksi.
Lause 3.4.1
Separoituvan differentiaaliyhtälön
\[y'(x)=f(x)g(y(x))\]
implisiittinen ratkaisu saadaan kaavalla
\[\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,\d x+C.\]
Erikoisratkaisut ovat vakiofunktiot \(y(x) = a\), missä luku \(a\) on funktion \(g\) nollakohta.
Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti kaava (2) ”johdetaan” kirjoittamalla ensin \(y' = \frac{dy}{dx}\) ja
\[\frac{\d y}{\d x}=f(x)g(y).\]
Tässä kerrotaan formaalisti \(\d x\):llä ja siirretään muutujasta \(y\) riippuvat termit vasemmalle ja muuttujasta \(x\) riipuvat termit oikealle (separointi), jolloin saadaan
\[\frac{\d y}{g(y)}=f(x)\,\d x.\]
Tästä integroimalla puolittain saadaan haluttu tulos
\[\int\frac{\d y}{g(y)}=\int f(x)\,\d x+C.\]
Huomautus 3.4.2
Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä \(\int f(x)\,\d x\) tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion \(f\) integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.
Esimerkki 3.4.3
Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'=x^2y^3\).
Piilota/näytä ratkaisu
Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa
\(f(x)=x^2\) ja \(g(y)=y^3\). Kirjoitetaan separointia varten \(\dfrac{\d y}{\d x} = x^2y^3\), jolloin ratkaisut toteuttavat
\[\int\frac{\d y}{y^3}=\int x^2\,\d x+C \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{1}{y^2}=\frac{1}{3}x^3+C.\]
Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan
\[y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C - \frac{2}{3}x^3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{C^* - \frac{2}{3}x^3}},\]
missä \(C^*=-2C\). Lisäksi erikoisratkaisuna
saadaan \(y(x) = 0\).
Esimerkiksi alkuehdolla \(y(1)=3\) (siis \(C^*=\frac{7}{9}\)) saadaan ratkaisu
\[y(x)=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}},\]
missä \(y\) on määritelty, kun \(x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}\).
Esimerkki 3.4.4
Tarkastellaan populaation kokoa \(x(t)\) ajan \(t\) funktiona. Derivaatta \(x'(t)\) kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä \(\Delta t>0\) on
\[x'(t)\approx\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{\text{koon muutos}}{\text{aikaväli}}.\]
Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus \(x'(t)\) on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli
\[x'(t)=kx(t).\]
Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin
\[\frac{\d x}{\d t} = kx \Leftrightarrow \int\frac{\d x}{x} = k\int\d t + C \Leftrightarrow \ln x = kt + C.\]
Yleinen ratkaisu saadaan luonnollisen logaritmin käänteisfunktion \(e^x\) avulla muotoon
\[x(t) = e^{kt + C} = e^{C}e^{kt} = C^*e^{kt},\]
missä \(C^* = e^{C} > 0\). Jos hetkellä \(t=0\) populaation koko on \(x_0\), niin \(x(0)=C^*e^0=C^*=x_0\), joten
\[x(t)=x_0e^{kt}.\]
Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos \(k>0\) ja vähenee eksponentiaalisesti, jos \(k<0\).
Esimerkki 3.4.5
Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan \(t\) funktiolla \(N(t)\). Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli \(-N'(t)\) on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli
\[N'(t)=-kN(t),\]
missä verrannollisuuskerroin \(k > 0\). Esimerkin 3.4.4 mukaan
\[N(t)=N_0e^{-kt},\]
missä \(N_0=N(0)\). Olkoon \(\tau>0\) vakio ja lasketaan lukumäärien \(N(t+\tau)\) ja \(N(t)\) suhde.
\[\frac{N(t+\tau)}{N(t)}=\frac{N_0e^{-k(t+\tau)}}{N_0e^{-kt}}=e^{-k\tau}\]
Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä \(t\). Sovitaan, että \(\tau\) on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt
\[e^{-k\tau}=\frac12
\Leftrightarrow -k\tau=\ln\frac12=-\ln 2
\Leftrightarrow\tau=\frac{\ln 2}{k}.\]
Vakiota \(k\) kutsutaan hajoamisvakioksi.
Esimerkki 3.4.6
Erään maan väkiluku vuonna 2019 on \(1~500~000\). Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy \(4~\%\) vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa \(50~000\) asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2039?
Piilota/näytä ratkaisu
Merkitään väkilukua \(x(t)\) ajan \(t\) (vuosina, \(t=0\) vuonna 2019) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä
\[x'(t)=0{,}04x(t)+50~000,\qquad x(0)=1~500~000.\]
Voidaan kirjoittaa
\[\frac{\d x}{\d t}=0{,}04(x(t)+1~250~000),\]
eli yhtälö on separoituva ja
\[\int\frac{\d x}{x + 1~250~000} = 0{,}04\int\d t + C \Leftrightarrow \ln(x + 1~250~000) = 0{,}04t + C.\]
Ratkaistaan tästä funktio \(x\) yleisessä muodossa
\[x(t) = e^{0{,}04t + C} - 1~250~000 = C^*e^{0{,}04t} - 1~250~000.\]
Alkuehdosta saadaan \(x(0)=C^{*}-1~250~000=1~500~000\), joten \(C^*=2~750~000\). Niinpä väkiluku ajan \(t\) funktiona on
\[x(t)=2~750~000e^{0{,}04t}-1~250~000\]
ja vuonna 2039 väkiluku on \(x(20)\approx4~870~000\).
Esimerkki 3.4.7
Ratkaistaan esimerkin 3.1.1 yhtälö (1), eli
\[\frac{\d T}{\d t}=-k(T-T_u).\]
Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin
\[\int\frac{\d T}{T - T_u} = -k\int\d t + C^{**} \Leftrightarrow \ln|T - T_u| = -kt + C^{**} \Leftrightarrow |T - T_u| = C^*e^{-kt},\]
missä \(C^* = e^{C^{**}}\). Täten
\[T = T_u \pm C^*e^{-kt} = T_u + Ce^{-kt},\]
missä \(C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}\).
Yleisen ratkaisun termi \(Ce^{-kt}\to0\), kun \(t\to\infty\), eli vesilasin lämpötila lähestyy asymptoottiseti ympäröivän ilman lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Merkitään vesilasin alkulämpötilaa \(T(0)=T_0\). Jos vesilasi on aluksi ilmaa lämpimämpi eli \(T_0-T_u>0\), niin \(C>0\) ja lämpötila \(T(t)\) vähenee kohti raja-arvoaan \(T_u\). Jos vesilasi on aluksi ilmaa kylmempi eli \(T_0-T_u<0\), niin \(C<0\) ja lämpötila \(T(t)\) kasvaa kohti raja-arvoaan \(T_u\). Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin \(C\) arvolla.
Erikoisratkaisuun \(T(t)=T_u\) päädytään siloin, kun vesilasin alkulämpötila sama kuin ympäröivän ilman lämpötila.
