\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Suuntaelementtikenttä
Kuten on jo havaittu, differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen analyyttisesti käy työlääksi jo yksinkertaisissa ensimmäisen kertaluvun tapauksissa. Monimutkaisemmille yhtälöille ratkaisun löytäminen on yhä vaikeampaa ja lopulta mahdotontakin. Näissä tapauksissa on kuitenkin hyödyllistä esittää differentiaaliyhtälön ratkaisut graafisesti, jotta esimerkiksi ratkaisujen käyttäytymistä voidaan hahmottaa paremmin.
Tarkastellaan seuraavaksi yleistä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
\[y'=f(x,y).\]
Yhtälön ratkaisu on tasokäyrä \(y=y(x)\), joka toteuttaa yhtälön jossakin määrittelyjoukossa. Jos mainitun yhtälön ratkaisun \(y=y(x)\) kuvaaja kulkee pisteen \((x_0,y_0)\) kautta, niin funktion derivaatalle saadaan \(y'(x_0) = f(x_0,y_0)\). Jos tasokäyrälle \(y=y(x)\) halutaan piirtää tangenttisuora kohtaan \(x=x_0\), tangenttisuoran kulmakerroin saadaan tunnetusti derivaatan arvosta kyseisessä kohdassa. Siispä pisteessä \((x_0,y_0)\) kuvaajan tangenttisuoran kulmakerroin on \(k=f(x_0,y_0)\). Toisin sanoen tässä kohtaa kuvaajalle muodostuu tangenttivektori \((1, f(x_0, y_0))\). Normeeraamalla tämä ykkösen mittaiseksi saadaan yksikkötangenttivektori.
Pisteessä \((x,y)\) yksikkötangenttivektori on muotoa
\[\begin{split}F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{1^2+f(x,y)^2}}
\begin{bmatrix}1 \\ f(x, y)\end{bmatrix},\end{split}\]
ja vektoriarvoista funktiota \(F\) sanotaan suuntaelementtikentäksi (slope field, direction field). Jos \(xy\)-tasoon piirretään sopivin välein pisteisiin \((x,y)\) vektoreita \(F(x,y)\), differentiaaliyhtälön ratkaisuja saadaan hahmoteltua graafisesti. Jokainen ratkaisu \(y=y(x)\) kulkee suuntaelementtikentässä kentän osoittamia suuntia noudattaen. Ratkaisukäyrät eivät myöskään leikkaa toisiaan, jos ne toteuttavat tietyt ehdot ratkaisujen yksikäsitteisyydelle.
Seuraavaan kuvaan on piirretty differentiaaliyhtälön
\[y'=x-y\]
suuntaelementtikenttä sekä alkuehdot \(y(1)=1\) ja \(y(1)=-1\) toteuttavat ratkaisut. Vektoreiden pituudet on skaalattu selkeyden vuoksi pienemmiksi kuin yksikkövektorin pituus.
Esimerkki 3.6.1
Piirretään esimerkin 3.5.2 differentiaaliyhtälön suuntaelementtikenttä MATLABin avulla.
Muokataan differentiaaliyhtälö aluksi muotoon \(y' = 3x^2(2-y)\). Tästä voidaan tunnistaa \(f(x,y) = 3x^2(2-y)\), jolloin suuntaelementtikenttä saadaan piirrettyä seuraavilla komennoilla.
[x,y] = meshgrid(-5:0.5:5,-2:0.5:6);
f = 3.*x.^2.*(2-y);
L = sqrt(1+f.^2);
quiver(x,y,1./L,f./L,0.5);
axis equal
