\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Yleistä terminologiaa
Differentiaaliyhtälö, DY (ordinary differential equation, ODE) on yhtälö
\[F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0,\]
jossa esiintyy yksi muuttuja \(x\), siitä riippuva tuntematon funktio \(y=y(x)\), sekä sen derivaattoja \(y', y'',\ldots, y^{(n)}\). Kaikki nämä liittyvät toisiinsa lausekkeella \(F\). Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien
sellaisten funktioiden \(y\) määrittämistä, jotka toteuttavat yhtälön. Vertaa tätä tavallisen yhtälön ratkaisemiseen, jossa tuntemattomana on funktion sijaan luku.
Seuraavat peruskäsitteet on syytä hallita.
- Differentiaaliyhtälön kertaluku (order) on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen
kertaluvuista.
- Yksittäisratkaisu (solution) on yksittäinen funktio \(y\), joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
- Yleinen ratkaisu (general solution) on kaava tai esitysmuoto, joka antaa yhtälön kaikki ratkaisut, usein yhden tai useamman parametrin avulla esitettynä.
- Erikoisratkaisu (particular solution) on ratkaisu, joka poikkeaa muodoltaan muista ratkaisuista tai on muuten erikoisasemassa.
- Alkuarvotehtävässä (initial value problem) haetaan ratkaisua \(y\), joka toteuttaa yhden
tai useampia funktiolle \(y\) ja sen derivaatoille asetettuja
alkuehtoja (initial condition) \(y(x_0)=y_0\), \(y'(x_0)=y_1\) ja niin edelleen.
Esimerkki 3.2.1
Yhtälö
\[2xy'(x)+y'''(x)y(x)=\frac{1}{x}e^{y(x)}\]
on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Monesti funktion \(y\) muuttuja \(x\) jätetään kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti
\[2xy'+y'''y=\frac{1}{x}e^y.\]
Funktio \(y(x)\) on differentiaaliyhtälön ratkaisu, jos se toteuttaa differentiaaliyhtälön. Ratkaisun oikeellisuuden voi siten tarkastaa samaan tapaan kuin tavallisten yhtälöidenkin tapauksessa sijoittamalla sen differentiaaliyhtälöön funktion \(y\) paikalle.
Esimerkki 3.2.2
Osoita, että kun \(A\) ja \(B\) ovat mitä tahansa vakioita, \(y(x) = Ax^3+\frac{B}{x}\) on differentiaaliyhtälön
\[x^2y'' - xy' -3y = 0\]
ratkaisu kaikilla väleillä, jotka eivät sisällä nollaa.
Piilota/näytä ratkaisu
Olkoon \(x\not=0\) ja \(A,B\in\R\). Jos \(y(x) = Ax^3+\frac{B}{x}\), niin
\[y'(x) = 3Ax^2 - \frac{B}{x^2} \qquad \text{ja} \qquad y''(x) = 6Ax +\frac{2B}{x^3}.\]
Sijoittamalla nämä differentiaaliyhtälön vasemmalle puolelle saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
x^2y'' - xy' -3y &= x^2 \left(6Ax +\frac{2B}{x^3}\right) - x \left(3Ax^2 - \frac{B}{x^2}\right) - 3\left(Ax^3+\frac{B}{x}\right) \\
&= 6Ax^3 + \frac{2B}{x} -3Ax^3 + \frac{B}{x} -3Ax^3 -\frac{B}{x} \\
&= 0,
\end{aligned}\end{split}\]
eli \(y(x) = Ax^3+\frac{B}{x}\) on annetun differentiaaliyhtälön ratkaisu, sillä se toteuttaa sen.
Esimerkki 3.2.3
Esimerkin 3.1.1 ensimmäisessä kohdassa esitellyn differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on
\[T(t)=Ce^{-kt}+T_u\]
missä \(C\in\mathbb{R}\) on mielivaltainen parametri. Tämä voidaan todeta sijoittamalla väitetty ratkaisu differentiaaliyhtälöön (??). Nyt
\[T'(t) = -kCe^{-kt} = -k(Ce^{-kt} + T_u - T_u) = -k(T(t)-T_u),\]
eli ratkaisu \(T(t)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön.
Parametri \(C\) voidaan kiinnittää esimerkiksi antamalla alkulämpötila (alkuehto) eli lämpitilan arvo ajanhetkellä \(t=0\). Merkitään \(T(0)=T_0\), jolloin
\[T(0)=C+T_u=T_0\ \Rightarrow\ C=T_0-T_u.\]
Tällöin ratkaisu, joka vastaa edellä olevaa alkulämpötilaa on
\[T(t)=(T_0-T_u)e^{-kt}+T_u.\]
Huomaamme lisäksi, että
\[T(t)\to T_u\ \text{ kun }\ t\to\infty.\]
Fysikaalisesti tämä tarkoittaa, että vesilasi lähestyy asymptoottisesti, riippumatta alkulämpötilasta, ympäröivän ilman lämpötilaa.
Huomaamme samalla, että mallimme ei ole fysikaalisesti tarkka, sillä todellisuudessa ilmanlämpötilan saavuttamiseen ei tarvita äärettömän pitkää aikaa. Tarkempi malli olisi kuitenkin huomattavasti hankalampi käsitellä ja ratkaista. Koska mallimme antaa suhteellisen tarkkoja tuloksia mittaustuloksiin nähden on se hyvin käyttökelpoinen sovelluksissa.
Esimerkki 3.2.4
Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä \(y' = y^2\). Tälle yhtälölle \(y_1(x)=-\frac{1}{x+1}\) on yksittäisratkaisu, kuten sijoittamalla nähdään.
\[y'=\frac{1}{(x+1)^2}=\left(-\frac{1}{x+1}\right)^2=y^2\]
Yhtälön yleinen ratkaisu on
(1)\[y(x)=-\dfrac{1}{x+C},\quad C\in\R,\quad(x\ne -C),\]
missä \(C\in\R\) ja \(x \not= -C\). Tämän lisäksi yhtälöllä on erikoisratkaisu \(y_0(x)=0\). Myöhemmin perustellaan, miksi yhtälön kaikki ratkaisut erikoisratkaisua lukuunottamatta ovat tätä muotoa.
Löydetyistä ratkaisuista alkuehdon \(y(0)=2\) toteuttaa ratkaisu
\[y_2(x)=-\dfrac{1}{x-\frac12}=\dfrac{2}{1-2x},\]
eli \(y_2\) on alkuarvotehtävän \(y' = y^2\) ja \(y(0)=2\) ratkaisu.
Seuraavaan kuvaan on piirretty kaavan (1) mukaisen differentiaaliyhtälön ratkaisuparven funktiot parametrin \(C\) arvoilla \(-1,0,1\) ja \(2\) (ohuet käyrät) sekä alkuarvotehtävän ratkaisu, joka kulkee pisteen \((0,2)\) kautta.
Huomautus 3.2.5
Alkuarvo-ongelmien lisäksi on olemassa myös toinen tekniikan ongelmissa tärkeä ongelmaluokka, eli reuna-arvo-ongelmat. Tällöin differentiaaliyhtälö ratkaistaan jollakin annetulla välillä \([x_0,x_1]\). Tehtävänä on etsiä ratkaisua, joka totettaa funktiolle ja sen derivaatoille annetut reunaehdot välin päätepisteissä \(x_0\) ja \(x_1\). Esimerkkinä lujuusopista välillä \([0,L]\) palkin taipumaviivan differentiaaliyhtälö
\[EIv''''=q,\]
jossa reunaehtoina (nivelin päistä kiinnitetty palkki)
\[v(0)=0,\ v(L)=0,\ v''(0)=0,\ v''(L)=0.\]
Huomautus 3.2.6
Modernissa laskennellisessa tieteessä tarkastellaan differentiaaliyhtälöitä myös käänteisestä näkökulmasta, jolloin puhutaan ns. inversio-ongelmista. Karkeasti ottaen ongelmissa on kyse siitä, että differentiaaliyhtälön ratkaisu tiedetään jossain muodossa ja tehtävänä on etsiä differentiaaliyhtälöissä esiintyviä parametreja.
Jatketaan esimerkkejä 3.1.1 (Kohta 1) ja 3.2.3. Oletetaan, että vesilasin lämpötilasta on tehty mittaukset
\[\{ T(t_1),T(t_2),...,T(t_k)\}\ \text{ kun }\ t_1<t_2<...<t_k.\]
Luonnollisesti ympäröivän ilman lämpötila \(T_u\) saadaan mitattua. Inversio-ongelmassa on tehtävänä näiden mittaustulosten perusteella löytää arvio yhtälössä esiintyvälle parametrille \(k\) ja alkulämpötilalle \(T_0\).
