Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}

Yleistä terminologiaa

Differentiaaliyhtälö, DY (ordinary differential equation, ODE) on yhtälö

F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0,

jossa esiintyy yksi muuttuja x, siitä riippuva tuntematon funktio y=y(x), sekä sen derivaattoja y', y'',\ldots, y^{(n)}. Kaikki nämä liittyvät toisiinsa lausekkeella F. Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten funktioiden y määrittämistä, jotka toteuttavat yhtälön. Vertaa tätä tavallisen yhtälön ratkaisemiseen, jossa tuntemattomana on funktion sijaan luku.

Seuraavat peruskäsitteet on syytä hallita.

  • Differentiaaliyhtälön kertaluku (order) on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista.
  • Yksittäisratkaisu (solution) on yksittäinen funktio y, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
  • Yleinen ratkaisu (general solution) on kaava tai esitysmuoto, joka antaa yhtälön kaikki ratkaisut, usein yhden tai useamman parametrin avulla esitettynä.
  • Erikoisratkaisu (particular solution) on ratkaisu, joka poikkeaa muodoltaan muista ratkaisuista tai on muuten erikoisasemassa.
  • Alkuarvotehtävässä (initial value problem) haetaan ratkaisua y, joka toteuttaa yhden tai useampia funktiolle y ja sen derivaatoille asetettuja alkuehtoja (initial condition) y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1 ja niin edelleen.
Differentiaaliyhtälö

Esimerkki 3.2.1

Yhtälö

2xy'(x)+y'''(x)y(x)=\frac{1}{x}e^{y(x)}

on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Monesti funktion y muuttuja x jätetään kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti

2xy'+y'''y=\frac{1}{x}e^y.

Funktio y(x) on differentiaaliyhtälön ratkaisu, jos se toteuttaa differentiaaliyhtälön. Ratkaisun oikeellisuuden voi siten tarkastaa samaan tapaan kuin tavallisten yhtälöidenkin tapauksessa sijoittamalla sen differentiaaliyhtälöön funktion y paikalle.

Esimerkki 3.2.2

Osoita, että kun A ja B ovat mitä tahansa vakioita, y(x) = Ax^3+\frac{B}{x} on differentiaaliyhtälön

x^2y'' - xy' -3y = 0

ratkaisu kaikilla väleillä, jotka eivät sisällä nollaa.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon x\not=0 ja A,B\in\R. Jos y(x) = Ax^3+\frac{B}{x}, niin

y'(x) = 3Ax^2 - \frac{B}{x^2} \qquad \text{ja} \qquad y''(x) = 6Ax +\frac{2B}{x^3}.

Sijoittamalla nämä differentiaaliyhtälön vasemmalle puolelle saadaan

\begin{split}\begin{aligned} x^2y'' - xy' -3y &= x^2 \left(6Ax +\frac{2B}{x^3}\right) - x \left(3Ax^2 - \frac{B}{x^2}\right) - 3\left(Ax^3+\frac{B}{x}\right) \\ &= 6Ax^3 + \frac{2B}{x} -3Ax^3 + \frac{B}{x} -3Ax^3 -\frac{B}{x} \\ &= 0, \end{aligned}\end{split}

eli y(x) = Ax^3+\frac{B}{x} on annetun differentiaaliyhtälön ratkaisu, sillä se toteuttaa sen.

Esimerkki 3.2.3

Esimerkin 3.1.1 ensimmäisessä kohdassa esitellyn differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on

T(t)=Ce^{-kt}+T_u

missä C\in\mathbb{R} on mielivaltainen parametri. Tämä voidaan todeta sijoittamalla väitetty ratkaisu differentiaaliyhtälöön (??). Nyt

T'(t) = -kCe^{-kt} = -k(Ce^{-kt} + T_u - T_u) = -k(T(t)-T_u),

eli ratkaisu T(t) toteuttaa differentiaaliyhtälön.

Parametri C voidaan kiinnittää esimerkiksi antamalla alkulämpötila (alkuehto) eli lämpitilan arvo ajanhetkellä t=0. Merkitään T(0)=T_0, jolloin

T(0)=C+T_u=T_0\ \Rightarrow\ C=T_0-T_u.

Tällöin ratkaisu, joka vastaa edellä olevaa alkulämpötilaa on

T(t)=(T_0-T_u)e^{-kt}+T_u.

Huomaamme lisäksi, että

T(t)\to T_u\ \text{ kun }\ t\to\infty.

Fysikaalisesti tämä tarkoittaa, että vesilasi lähestyy asymptoottisesti, riippumatta alkulämpötilasta, ympäröivän ilman lämpötilaa.

Huomaamme samalla, että mallimme ei ole fysikaalisesti tarkka, sillä todellisuudessa ilmanlämpötilan saavuttamiseen ei tarvita äärettömän pitkää aikaa. Tarkempi malli olisi kuitenkin huomattavasti hankalampi käsitellä ja ratkaista. Koska mallimme antaa suhteellisen tarkkoja tuloksia mittaustuloksiin nähden on se hyvin käyttökelpoinen sovelluksissa.

Esimerkki 3.2.4

Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä y' = y^2. Tälle yhtälölle y_1(x)=-\frac{1}{x+1} on yksittäisratkaisu, kuten sijoittamalla nähdään.

y'=\frac{1}{(x+1)^2}=\left(-\frac{1}{x+1}\right)^2=y^2

Yhtälön yleinen ratkaisu on

(1)y(x)=-\dfrac{1}{x+C},\quad C\in\R,\quad(x\ne -C),

missä C\in\R ja x \not= -C. Tämän lisäksi yhtälöllä on erikoisratkaisu y_0(x)=0. Myöhemmin perustellaan, miksi yhtälön kaikki ratkaisut erikoisratkaisua lukuunottamatta ovat tätä muotoa.

Löydetyistä ratkaisuista alkuehdon y(0)=2 toteuttaa ratkaisu

y_2(x)=-\dfrac{1}{x-\frac12}=\dfrac{2}{1-2x},

eli y_2 on alkuarvotehtävän y' = y^2 ja y(0)=2 ratkaisu. Seuraavaan kuvaan on piirretty kaavan (1) mukaisen differentiaaliyhtälön ratkaisuparven funktiot parametrin C arvoilla -1,0,1 ja 2 (ohuet käyrät) sekä alkuarvotehtävän ratkaisu, joka kulkee pisteen (0,2) kautta.

../_images/diffyht1klratkaisuparvi.svg

Huomautus 3.2.5

Alkuarvo-ongelmien lisäksi on olemassa myös toinen tekniikan ongelmissa tärkeä ongelmaluokka, eli reuna-arvo-ongelmat. Tällöin differentiaaliyhtälö ratkaistaan jollakin annetulla välillä [x_0,x_1]. Tehtävänä on etsiä ratkaisua, joka totettaa funktiolle ja sen derivaatoille annetut reunaehdot välin päätepisteissä x_0 ja x_1. Esimerkkinä lujuusopista välillä [0,L] palkin taipumaviivan differentiaaliyhtälö

EIv''''=q,

jossa reunaehtoina (nivelin päistä kiinnitetty palkki)

v(0)=0,\ v(L)=0,\ v''(0)=0,\ v''(L)=0.

Huomautus 3.2.6

Modernissa laskennellisessa tieteessä tarkastellaan differentiaaliyhtälöitä myös käänteisestä näkökulmasta, jolloin puhutaan ns. inversio-ongelmista. Karkeasti ottaen ongelmissa on kyse siitä, että differentiaaliyhtälön ratkaisu tiedetään jossain muodossa ja tehtävänä on etsiä differentiaaliyhtälöissä esiintyviä parametreja.

Jatketaan esimerkkejä 3.1.1 (Kohta 1) ja 3.2.3. Oletetaan, että vesilasin lämpötilasta on tehty mittaukset

\{ T(t_1),T(t_2),...,T(t_k)\}\ \text{ kun }\ t_1<t_2<...<t_k.

Luonnollisesti ympäröivän ilman lämpötila T_u saadaan mitattua. Inversio-ongelmassa on tehtävänä näiden mittaustulosten perusteella löytää arvio yhtälössä esiintyvälle parametrille k ja alkulämpötilalle T_0.

Palautusta lähetetään...