- MATH.APP.160
- 4. Toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
- 4.3 Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö
Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö¶
Siirrytään tarkastelemaan \(n\). kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä
missä funktiot \(p_i(x)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ja \(f(x)\) ovat jatkuvia avoimella välillä \(I\). Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa. Jos \(f(x) \not= 0\) jossakin välin \(I\) pisteessä \(x\), niin tätä yhtälöä kutsutaan epähomogeeniseksi, ja jos \(f(x)=0\) aina, kun \(x\in I\), niin kyseessä on homogeeninen yhtälö.
Jokaista positiivista kertalukua \(n\) oleva lineaarinen yhtälö toteuttaa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen, kun alkuehtoja on \(n\) kappaletta.
Lause 4.3.1
Olkoon \(x_0\) välin \(I\) piste, sekä \(b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}\) reaalilukuja. Tällöin \(n\). kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöllä (1) on täsmälleen yksi alkuehdot
toteuttava ratkaisu \(y(x)\) välillä \(I\).
Luvussa ?? esitellyt toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä koskevat tulokset ja niiden todistukset toisen kertaluvun yhtälölle yleistyvät melko suoraviivaisesti \(n\). kertaluvun yhtälölle.
Lause 4.3.2
Olkoot funktiot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä \(I\) sekä olkoot \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) reaalilukuja. Tällöin myös lineaarikombinaatio
on homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä \(I\).
Määritelmä 4.3.3
Funktiot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\R\) ovat lineaarisesti riippumattomia välillä \(I\), jos
aina, kun \(x \in I\) vain, jos \(c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\). Muutoin \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat lineaarisesti riippuvia.
Funktiot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat siis lineaarisesti riippuvia silloin, kun löydetään sellaiset kertoimet \(c_i\), joista jokin poikkeaa nollasta, että \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0\) jokaisessa välin \(I\) pisteessä \(x\). Tämä tarkoittaa myös sitä, että yksi funktioista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa
missä \(c_i \not= 0\).
Määritelmä 4.3.4
Olkoon jokainen funktioista \(y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\R\) yhteensä \(n-1\) kertaa derivoituva avoimella välillä \(I\). Funktioiden \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) Wronskin determinantti on funktio
missä \(x\in I\).
Lause 4.3.5
Olkoot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä \(I\) ja olkoon \(W(x)\) niiden Wronskin determinantti. Silloin seuraavat väitteet ovat voimassa.
- Jos \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat lineaarisesti riippuvia, niin \(W(x)=0\) aina, kun \(x\in I\).
- Jos \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat lineaarisesti riippumattomia, niin \(W(x)\ne0\) aina, kun \(x\in I\).
Lause 4.3.6
Olkoot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) homogeenisen yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä \(I\), sekä \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) reaalilukuja. Silloin lineaarikombinaatio
on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\).
Lause 4.3.7
Jos \(y_h=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n\) on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja \(y_p\) on epähomogeenisen yhtälön jokin yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on
Esimerkki 4.3.8
Osoita, että \(y_1(x)=x\), \(y_2(x)=x\ln x\) ja \(y_3(x)=x^2\) ovat yhtälön
lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä \((0,\infty)\) ja hae alkuehdot
toteuttava ratkaisu \(y\).
Esimerkiksi \(y_2\) on ratkaisu, sillä
ja sijoittamalla nähdään näiden toteuttavan yhtälön. Vastaavalla tavoin \(y_1\) ja \(y_3\) todetaan ratkaisuiksi. Lasketaan sitten Wronskin determinantti. Nyt
Välillä \((0, \infty)\) on \(W(x)\ne0\), joten \(y_1\), \(y_2\) ja \(y_3\) eivät voi olla lineaarisesti riippuvia. Ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ja siten yleinen ratkaisu on
jolle
Annetut alkuehdot toteuttavalle ratkaisulle on voimassa
josta ratkaistaan \(c_1=1\), \(c_2=-3\) ja \(c_3=2\). Haettu ratkaisu on siis
Keskitytään seuraavaksi vakiokertoimiseen yhtälöön.
Määritelmä 4.3.9
Olkoot \(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n\) reaalilukuvakioita ja \(a_n \not= 0\). Vakiokertoimiseen homogeeniseen yhtälöön
liittyvä karakteristinen yhtälö on
Lause 4.3.10
Karakteristisen yhtälön (3) juurten \(\lambda\) avulla löydetään vakiokertoimisen homogeenisen yhtälön (2) \(n\) lineaarisesti riippumattomatonta ratkaisua seuraavasti.
Jos \(\lambda\) on \(k\)-kertainen reaalijuuri, niin funktiot
\[e^{\lambda x},\quad xe^{\lambda x},\quad x^2e^{\lambda x},\quad\ldots,\quad x^{k-1}e^{\lambda x}\]ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa \(k = 1\) ratkaisu on \(e^{\lambda x}\).
Jos \(\lambda=\alpha\pm i\beta\) on \(k\)-kertainen imaginaarijuuripari, niin
\[\begin{split}\begin{aligned} &e^{\alpha x}\sin(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\sin(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x)&&\text{ja}\\ &e^{\alpha x}\cos(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x) \end{aligned}\end{split}\]ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa \(k = 1\) ratkaisut ovat
\[e^{\alpha x}\sin(\beta x)\quad\text{ja}\quad e^{\alpha x}\cos(\beta x).\]
Yhteensä \(n\) kappaletta edellisten kohtien ratkaisuja ovat lineaarisesti riippumattomia.
Tehdään ratkaisuyrite \(y=e^{\lambda x}\). Tällöin
Sijoitetaan nämä ratkaistavaan yhtälöön (2), jolloin
Kompleksitasossa tällä \(n\). asteen polynomiyhtälöllä on monikerrat huomioiden \(n\) juurta. Koska polynomi on reaalikertoiminen, niin mahdolliset imaginaarijuuret esiintyvät liittolukupareittain \(\alpha\pm i\beta\). Haetaan nyt differentiaaliyhtälölle lineaarisesti riippumattomia reaalisia ratkaisuja.
Jos \(\lambda\) on yksinkertainen reaalijuuri, niin ekvivalenssin (4) mukaan \(y=e^{\lambda x}\) on ratkaisu. Jos \(\lambda\) on \(k\)-kertainen reaalijuuri, niin mainitut funktiot ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia. Ratkaisuiksi ne nähdään suoraan sijoittamalla. Tarkempi todistus sivuutetaan teknisenä, mutta kokeile kuitenkin esimerkin vuoksi funktiota \(y=xe^{\lambda x}\) kolmannen kertaluvun yhtälölle.
Jos \(\lambda=\alpha\pm i\beta\) on yksinkertainen imaginaarijuuripari, niin ekvivalenssin (4) mukaan
\[y=e^{\lambda x}=e^{\alpha x}\cos(\beta x)+ie^{\alpha x}\sin(\beta x)\]on differentiaaliyhtälön imaginaarinen ratkaisu. Sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös (lineaarisesti riippumattomia) ratkaisuja (vrt. lemmaan 4.2.15 reaali- ja imaginaariosista). Yleisempi todistus sivuutetaan.
Yhteensä \(n\) kappaletta näiden kohtien ratkaisuja ovat varsin selvästi lineaarisesti riippumattomia.
Esimerkki 4.3.11
Ratkaise differentiaaliyhtälö \(9y^{(5)}-6y^{(4)}+y^{(3)}=0\).
Yhtälö on 5. kertaluvun vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö, jonka karakteristisen yhtälön
ratkaisut ovat \(\lambda=0\) kolminkertaisena ja \(\lambda=\frac{1}{3}\) kaksinkertaisena. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis
Epähomogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yksittäisratkaisua voidaan yrittää hakea samantapaisilla yritteillä kuin 2. kertaluvun epähomogeeniseen yhtälöön liittyvässä taulukossa.
Esimerkki 4.3.12
Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'''+9y'=\sin x\).
Yhtälö on 3. kertaluvun vakiokertoiminen lineaariyhtälö. Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön
juuret ovat \(\lambda=0\) ja \(\lambda=\pm3i\). Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten
Haetaan epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisua yritteellä \(y_p=A\cos x+B\sin x\). Derivoimalla saadaan
jolloin \(y_p\) on ratkaisu vain, jos
Näin ollen \(A=-\frac{1}{8}\) ja \(B=0\), joten yhtälön yleinen ratkaisu on
Esimerkki 4.3.13
Ratkaistaan esimerkin 4.3.12 differentiaaliyhtälö MATLABilla. Vastaukset eivät aina ole kovin sievässä muodossa, joten niitä täytyy osata tulkita oikein. Lisäksi ratkaistaan kyseinen differentiaaliyhtälö alkuehdoilla \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\) ja \(y''(0)=0\).
Kirjoittamalla komentoriville
dsolve('D3y+9*Dy=sin(x)','x');
simplify(ans)
saadaan vastaukseksi
ans = cos(3*x)/8 - C2/9 - cos(x)/8 - (C2*cos(3*x))/9
+ C3*cos(3*x) + C4*sin(3*x).
Alkuarvotehtävä ratkaistaan vastaavasti:
dsolve('D3y+9*Dy=sin(x),y(0)=0,Dy(0)=1,D2y(0)=0','x');
simplify(ans)
jolloin vastaukseksi saadaan
ans = cos(3*x)/72 + sin(3*x)/3 - cos(x)/8 + 1/9.