$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö

Siirrytään tarkastelemaan $n$. kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä

(1) $$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=f(x),$$

missä funktiot $p_i(x)$, $i = 1, 2, \ldots, n$ ja $f(x)$ ovat jatkuvia avoimella välillä $I$. Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa. Jos $f(x) \not= 0$ jossakin välin $I$ pisteessä $x$, niin tätä yhtälöä kutsutaan epähomogeeniseksi, ja jos $f(x)=0$ aina, kun $x\in I$, niin kyseessä on homogeeninen yhtälö.

Jokaista positiivista kertalukua $n$ oleva lineaarinen yhtälö toteuttaa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen, kun alkuehtoja on $n$ kappaletta.

Lause 4.3.1

Olkoon $x_0$ välin $I$ piste, sekä $b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}$ reaalilukuja. Tällöin $n$. kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöllä (1) on täsmälleen yksi alkuehdot

$$y(x_0)=b_0,\qquad y'(x_0)=b_1,\qquad\ldots\qquad y^{(n-1)}(x_0)=b_{n-1}$$

toteuttava ratkaisu $y(x)$ välillä $I$.

Luvussa ?? esitellyt toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä koskevat tulokset ja niiden todistukset toisen kertaluvun yhtälölle yleistyvät melko suoraviivaisesti $n$. kertaluvun yhtälölle.

Lause 4.3.2

Olkoot funktiot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä $I$ sekä olkoot $c_1, c_2, \ldots, c_n$ reaalilukuja. Tällöin myös lineaarikombinaatio

$$y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n$$

on homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä $I$.

Määritelmä 4.3.3

Funktiot $y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\R$ ovat lineaarisesti riippumattomia välillä $I$, jos

$$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0$$

aina, kun $x \in I$ vain, jos $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$. Muutoin $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat lineaarisesti riippuvia.

Funktiot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat siis lineaarisesti riippuvia silloin, kun löydetään sellaiset kertoimet $c_i$, joista jokin poikkeaa nollasta, että $c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0$ jokaisessa välin $I$ pisteessä $x$. Tämä tarkoittaa myös sitä, että yksi funktioista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa

$$y_i = -\frac{c_1}{c_i}y_1 - \frac{c_2}{c_i}y_2 - \cdots - \frac{c_n}{c_i}y_n,$$

missä $c_i \not= 0$.

Määritelmä 4.3.4

Olkoon jokainen funktioista $y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\R$ yhteensä $n-1$ kertaa derivoituva avoimella välillä $I$. Funktioiden $y_1,y_2,\ldots,y_n$ Wronskin determinantti on funktio

$$\begin{split}W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x)\\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},\end{split}$$

missä $x\in I$.

Lause 4.3.5

Olkoot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä $I$ ja olkoon $W(x)$ niiden Wronskin determinantti. Silloin seuraavat väitteet ovat voimassa.

1. Jos $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat lineaarisesti riippuvia, niin $W(x)=0$ aina, kun $x\in I$.
2. Jos $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat lineaarisesti riippumattomia, niin $W(x)\ne0$ aina, kun $x\in I$.

Lause 4.3.6

Olkoot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ homogeenisen yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä $I$, sekä $c_1, c_2, \ldots, c_n$ reaalilukuja. Silloin lineaarikombinaatio

$$y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n$$

on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä $I$.

Lause 4.3.7

Jos $y_h=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n$ on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja $y_p$ on epähomogeenisen yhtälön jokin yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

$$y=y_h+y_p=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n+y_p.$$

Esimerkki 4.3.8

Osoita, että $y_1(x)=x$, $y_2(x)=x\ln x$ ja $y_3(x)=x^2$ ovat yhtälön

$$y'''-\frac1xy''+\frac{2}{x^2}y'-\frac{2}{x^3}y=0$$

lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä $(0,\infty)$ ja hae alkuehdot

$$y(1)=3,\quad y'(1)=2\quad\text{ja}\quad y''(1)=1$$

toteuttava ratkaisu $y$.

Piilota/näytä ratkaisu

Esimerkiksi $y_2$ on ratkaisu, sillä

$$y_2'=\ln x+1,\quad y_2''=\dfrac1x\quad\text{ja}\quad y_2'''=-\dfrac{1}{x^2},$$

ja sijoittamalla nähdään näiden toteuttavan yhtälön. Vastaavalla tavoin $y_1$ ja $y_3$ todetaan ratkaisuiksi. Lasketaan sitten Wronskin determinantti. Nyt

$$\begin{split}W(x)=\begin{vmatrix} x & x\ln x & x^2\\ 1 & \ln x+1 & 2x\\ 0 & \dfrac1x & 2 \end{vmatrix}=x(2\ln x + 2 - 2)-2x\ln x + x=x.\end{split}$$

Välillä $(0, \infty)$ on $W(x)\ne0$, joten $y_1$, $y_2$ ja $y_3$ eivät voi olla lineaarisesti riippuvia. Ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ja siten yleinen ratkaisu on

$$y=c_1x+c_2x\ln x+c_3x^2,$$

jolle

$$\begin{aligned} y'=c_1+c_2(\ln x+1)+2c_3x\qquad\text{ja}\qquad y''=\frac{c_2}{x}+2c_3. \end{aligned}$$

Annetut alkuehdot toteuttavalle ratkaisulle on voimassa

$$\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} y(1)=c_1+c_3=3\\ y'(1)=c_1+c_2+2c_3=2\\ y''(1)=c_2+2c_3=1, \end{cases} \end{aligned}\end{split}$$

josta ratkaistaan $c_1=1$, $c_2=-3$ ja $c_3=2$. Haettu ratkaisu on siis

$$y(x)=x-3x\ln x+2x^2.$$

Keskitytään seuraavaksi vakiokertoimiseen yhtälöön.

Määritelmä 4.3.9

Olkoot $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n$ reaalilukuvakioita ja $a_n \not= 0$. Vakiokertoimiseen homogeeniseen yhtälöön

(2) $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$$

liittyvä karakteristinen yhtälö on

(3) $$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0.$$

Lause 4.3.10

Karakteristisen yhtälön (3) juurten $\lambda$ avulla löydetään vakiokertoimisen homogeenisen yhtälön (2) $n$ lineaarisesti riippumattomatonta ratkaisua seuraavasti.

1. Jos $\lambda$ on $k$-kertainen reaalijuuri, niin funktiot

   $$e^{\lambda x},\quad xe^{\lambda x},\quad x^2e^{\lambda x},\quad\ldots,\quad x^{k-1}e^{\lambda x}$$

   ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa $k = 1$ ratkaisu on $e^{\lambda x}$.

2. Jos $\lambda=\alpha\pm i\beta$ on $k$-kertainen imaginaarijuuripari, niin

   $$\begin{split}\begin{aligned} &e^{\alpha x}\sin(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\sin(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x)&&\text{ja}\\ &e^{\alpha x}\cos(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x) \end{aligned}\end{split}$$

   ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa $k = 1$ ratkaisut ovat

   $$e^{\alpha x}\sin(\beta x)\quad\text{ja}\quad e^{\alpha x}\cos(\beta x).$$

Yhteensä $n$ kappaletta edellisten kohtien ratkaisuja ovat lineaarisesti riippumattomia.

Piilota/näytä todistus

Tehdään ratkaisuyrite $y=e^{\lambda x}$. Tällöin

$$y'=\lambda e^{\lambda x},\qquad y''=\lambda^2 e^{\lambda x},\qquad\ldots\qquad y^{(n)}=\lambda^n e^{\lambda x}.$$

Sijoitetaan nämä ratkaistavaan yhtälöön (2), jolloin

(4) $$\left(a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\right)e^{\lambda x}=0 \Leftrightarrow a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0.$$

Kompleksitasossa tällä $n$. asteen polynomiyhtälöllä on monikerrat huomioiden $n$ juurta. Koska polynomi on reaalikertoiminen, niin mahdolliset imaginaarijuuret esiintyvät liittolukupareittain $\alpha\pm i\beta$. Haetaan nyt differentiaaliyhtälölle lineaarisesti riippumattomia reaalisia ratkaisuja.

1. Jos $\lambda$ on yksinkertainen reaalijuuri, niin ekvivalenssin (4) mukaan $y=e^{\lambda x}$ on ratkaisu. Jos $\lambda$ on $k$-kertainen reaalijuuri, niin mainitut funktiot ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia. Ratkaisuiksi ne nähdään suoraan sijoittamalla. Tarkempi todistus sivuutetaan teknisenä, mutta kokeile kuitenkin esimerkin vuoksi funktiota $y=xe^{\lambda x}$ kolmannen kertaluvun yhtälölle.

2. Jos $\lambda=\alpha\pm i\beta$ on yksinkertainen imaginaarijuuripari, niin ekvivalenssin (4) mukaan

   $$y=e^{\lambda x}=e^{\alpha x}\cos(\beta x)+ie^{\alpha x}\sin(\beta x)$$

   on differentiaaliyhtälön imaginaarinen ratkaisu. Sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös (lineaarisesti riippumattomia) ratkaisuja (vrt. lemmaan 4.2.15 reaali- ja imaginaariosista). Yleisempi todistus sivuutetaan.

Yhteensä $n$ kappaletta näiden kohtien ratkaisuja ovat varsin selvästi lineaarisesti riippumattomia.

Esimerkki 4.3.11

Ratkaise differentiaaliyhtälö $9y^{(5)}-6y^{(4)}+y^{(3)}=0$.

Piilota/näytä ratkaisu

Yhtälö on 5. kertaluvun vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö, jonka karakteristisen yhtälön

$$9\lambda^5-6\lambda^4+\lambda^3=\lambda^3\left(9\lambda^2-6\lambda+1\right)=9\lambda^3\left(\lambda - \frac{1}{3}\right)^2=0$$

ratkaisut ovat $\lambda=0$ kolminkertaisena ja $\lambda=\frac{1}{3}$ kaksinkertaisena. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis

$$\begin{aligned} y&=c_1e^{0\cdot x}+c_2xe^{0\cdot x}+c_3x^2e^{0\cdot x}+c_4e^{\frac{x}{3}}+c_5xe^{\frac{x}{3}} =c_1+c_2x+c_3x^2+c_4e^{\frac{x}{3}}+c_5xe^{\frac{x}{3}}. \end{aligned}$$

Epähomogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yksittäisratkaisua voidaan yrittää hakea samantapaisilla yritteillä kuin 2. kertaluvun epähomogeeniseen yhtälöön liittyvässä taulukossa.

Esimerkki 4.3.12

Ratkaise differentiaaliyhtälö $y'''+9y'=\sin x$.

Piilota/näytä ratkaisu

Yhtälö on 3. kertaluvun vakiokertoiminen lineaariyhtälö. Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön

$$\lambda^3+9\lambda=\lambda\left(\lambda^2+9\right)=0$$

juuret ovat $\lambda=0$ ja $\lambda=\pm3i$. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten

$$y_h=c_1+c_2\sin(3x)+c_3\cos(3x).$$

Haetaan epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisua yritteellä $y_p=A\cos x+B\sin x$. Derivoimalla saadaan

$$y_p'=-A\sin x+B\cos x,\ y_p''=-A\cos x-B\sin x,\ y_p'''=A\sin x-B\cos x,$$

jolloin $y_p$ on ratkaisu vain, jos

$$A\sin x-B\cos x+9(-A\sin x+B\cos x) = -8A\sin x + 8B\cos x =\sin x.$$

Näin ollen $A=-\frac{1}{8}$ ja $B=0$, joten yhtälön yleinen ratkaisu on

$$y=y_h+y_p=c_1+c_2\sin(3x)+c_3\cos(3x)-\frac18\cos x.$$

Esimerkki 4.3.13

Ratkaistaan esimerkin 4.3.12 differentiaaliyhtälö MATLABilla. Vastaukset eivät aina ole kovin sievässä muodossa, joten niitä täytyy osata tulkita oikein. Lisäksi ratkaistaan kyseinen differentiaaliyhtälö alkuehdoilla $y(0)=0$, $y'(0)=1$ ja $y''(0)=0$.

Kirjoittamalla komentoriville

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x)','x');
simplify(ans)

saadaan vastaukseksi

ans = cos(3*x)/8 - C2/9 - cos(x)/8 - (C2*cos(3*x))/9
+ C3*cos(3*x) + C4*sin(3*x).

Alkuarvotehtävä ratkaistaan vastaavasti:

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x),y(0)=0,Dy(0)=1,D2y(0)=0','x');
simplify(ans)

jolloin vastaukseksi saadaan

ans = cos(3*x)/72 + sin(3*x)/3 - cos(x)/8 + 1/9.

Palautusta lähetetään...