$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Integroimistekniikkaa

Yksinkertaisimmissa tapauksissa paras keino integraalifunktion selvittämiseksi on ”arvata” tai selvittää kokeilemalla, minkä funktion derivaatta integroitava funktio on. Lähtökohdaksi voidaan ottaa muutama peruskaava, jotka johdetaan suoraan derivointikaavoista. Liitetaulukossa on esitetty laajempi kokoelma samaan tapaan perusteltavia kaavoja.

Integraalifunktiota määritettäessä on syytä selvittää väli $I$, jolla tulos on voimassa (vertaa esimerkkiin 1.2.6). Välejä voi olla useampiakin, jolloin tulos on voimassa kullakin välillä erikseen.

Yleensä funktiosta ei kuitenkaan näe suoraan, kuinka se olisi integroitava. Tällöin seuraavat integroimismenetelmät saattavat auttaa. Menetelmästä riippumatta integroinnin tulos kannattaa aina tarkastaa derivoimalla!

Osittaisintegrointi

Tulon derivoimissäännnön mukaan

$$D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),$$

joten

$$f'(x)g(x)=D(f(x)g(x))-f(x)g'(x).$$

Integroimalla puolittain saadaan osittaisintegrointikaava (integration by parts), jota voi yrittää käyttää, kun integroitavana on tulo, jonka tekijöistä toinen osataan integroida ja toinen derivoida

(1) $$\int f'(x)g(x)\,\d x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,\d x.$$

Huomautus 1.3.1

Integraalifunktioita koskevissa yhtälöissä, kuten osittaisintegroinnin yhtälössä on muistettava, että laskettaessa puolittain jotkin integraalifunktiot yhtälö pätee vain vakiota vaille. Esimerkiksi yhtälöstä $1=1$ ei seuraa puolittain integroimalla, että $x=x+7$, vaikka sekä $F(x)=x$ että $G(x)=x+7$ ovat funktion $1$ integraalifunktioita.

Esimerkki 1.3.2

Laske $\displaystyle\int xe^{-x}\,\d x$.

Piilota/näytä ratkaisu

Valitaan $f'(x)=e^{-x}$ ja $g(x)=x$, jolloin $f(x)=\int e^{-x}\,\d x=-e^{-x}$. Integroimisvakio voidaan valita nollaksi, sillä osittaisintegroinnin kaava on voimassa kaikille funktion $f'(x)$ integraalifunktioille $f(x)$. Lisäksi $g'(x)=1$ ja nyt

$$\int xe^{-x}\,\d x=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,\d x=-(x+1)e^{-x}+C.\qedhere$$

Kysymys 1

Osittaisintegrointia käytetään, kun

integroitavana on tulo, jonka tekijät osataan derivoida,

integroitavana on erotus, jonka tekijöistä toinen osataan integroida ja toinen derivoida,

integroitavana on tulo, jonka tekijöistä toinen osataan derivoida ja toinen integroida,

integroitavana on erotus, jonka termeistä kumpaakaan ei osata integroida,

integroitavana on erotus, jonka termeistä kumpaakaan ei osata derivoida,

integroitavana on tulo, jonka molemmat tekijät pitää osata sekä integroida että derivoida.

Esimerkki 1.3.3

Laske $\displaystyle\int x^2e^x\,\d x$.

Piilota/näytä ratkaisu

Sovelletaan osittaisintegrointia kahdesti niin, että päästään ensin eroon tekijästä $x^2$ ja sitten tekijästä $x$. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} &\int x^2e^x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x^2,& g'(x)=2x \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\int xe^x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x,& g'(x)=1 \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\left(xe^x-\int e^x\,\d x\right)\\ &=(x^2-2x+2)e^x+C. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki 1.3.4

Laske $\displaystyle\int e^x\sin x\,\d x$.

Piilota/näytä ratkaisu

Sovelletaan taas ensin osittaisintegrointia kahdesti. Tällä kertaa

$$\begin{split}\begin{aligned} &\int e^x\sin x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\sin x,& g'(x)=\cos x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\cos x,& g'(x)=-\sin x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,\d x\right). \end{aligned}\end{split}$$

On saatu yhtälö, jonka molemmilla puolilla esiintyy kysytty integraali. Ratkaisemalla yhtälö tämän integraalin suhteen saadaan

$$\int e^x\sin x\,\d x=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C.\qedhere$$

Osittaisintegroinnin onnistuminen on suuresti kiinni siitä, kuinka funktiot $f$ ja $g$ valitaan. Väärä järjestys voi johtaa ojasta allikkoon ja monesti oikea tapa selviääkin vasta kokeilujen jälkeen.

Integrointi sijoituksen avulla

Olkoon $F$ funktion $f$ integraalifunktio. Yhdistetyn funktion derivointisäännöstä

$$DF(g(x))=f(g(x))g'(x)$$

saadaan integrointikaava

(2) $$\int f(g(x))g'(x)\,\d x=F(g(x))+C.$$

Erityisesti

(3) $$\begin{split}\begin{aligned} &\int g'(x)e^{g(x)}\,\d x=e^{g(x)}+C,\\ &\int g'(x)(g(x))^a\,\d x=\frac{1}{a+1}(g(x))^{a+1}+C&&(a\ne-1),\\ &\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,\d x=\ln|g(x)|+C&&(g(x)\ne0). \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki 1.3.5

Kaavan (3)

1. ensimmäisen rivin mukaan

   $$\int x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}\int12x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}e^{4x^3}+C,$$

2. keskimmäisen rivin mukaan

   $$\int(9x-7)^4\,\d x=\frac19\int9(9x-7)^4\,\d x=\frac19\cdot\frac15(9x-7)^5+C=\frac{1}{45}(9x-7)^5+C,$$

3. alimman rivin mukaan

   $$\int\tan x\,\d x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,\d x=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,\d x=-\ln\left|\cos x\right|+C.$$

Jos integroitava funktio voidaan tulkita muodossa $f(g(x))g'(x)$, on integraalin laskeminen usein helppoa ja suoraviivaista, kunhan ulkofunktion $f$ integraalifunktio $F$ saadaan määritettyä. Joskus tähän muotoon pääseminen vaatii kuitenkin kekseliäisyyttä, joten yksinkertaisempi tapa on merkitä sisäfunktiota $u=g(x)$, eli integraaliin sijoitetaan sisäfunktion paikalle muuttuja $u$. Tällöin alkuperäisestä muuttujasta $x$ siirrytään muuttujanvaihdon (change of variables) eli sijoituksen (substitution) avulla uuteen muuttujaan $u$. Nyt kaava (2) tulee muotoon

$$\int f(g(x))g'(x)\,\d x=F(u) + C=\int f(u)\, \d u.$$

Näin ollen differentiaalille $\d u=g'(x)\d x$. Menetelmää kutsutaan suoraksi sijoitukseksi ja se voidaan systematisoida seuraavasti:

1. Sijoita integroitavaan funktioon $u=g(x)$ siten, että integroitava funktio on lausuttu pelkästään uuden muuttujan $u$ avulla.

2. Laske differentiaali (formaalisti)

   $$\frac{\d u}{\d x}=g'(x)\ \Rightarrow\ \d u=g'(x)\d x$$

   ja sijoita integraaliin.

3. Laske integraali $\int f(u)\, \d u=F(u) + C$.

4. Sijoita $u=g(x)$ integraalifunktioon $F$, koska lopputulos halutaan lausua alkuperäisen muuttujan $x$ avulla.

Kysymys 1

Kun integroitavan funktion jokaisen muuttujan $x$ tilalle sijoitetaan muuttujasta $u$ riippuva lauseke $x(u)$, on kyseessä

osittaisintegrointi,

sijoitusmenetelmä,

osamurtokehitelmä,

osittaissijoitus,

jatkuvuustarkastelu,

raja-arvon ottaminen.

Seuraavat esimerkit valaisevat edellä kuvattua menetelmää.

Esimerkki 1.3.6

Laske $\displaystyle\int e^{2x + 3}\,\d x$.

Piilota/näytä ratkaisu

Sijoitetaan $u=2x+3$. Tällöin

$$\frac{\d u}{\d x}=2 \Rightarrow \d x=\frac{1}{2}\,\d u.$$

Niinpä

$$\int e^{2x+3}\,\d x=\frac{1}{2}\int e^u\,\d u =\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{2x+3}+C.\qedhere$$

Esimerkki 1.3.7

Laske $\displaystyle\int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\d t$.

Piilota/näytä ratkaisu

Sijoitetaan $u=3-5t^5$, jolloin

$$\frac{\d u}{\d t}=-25t^4 \Rightarrow t^4\,\d t=-\frac{1}{25}\d u.$$

Siten

$$\int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\d t =-\frac{1}{25}\int u^{1/3}\,\d u =-\frac{1}{25}\cdot\frac{3}{4}u^{4/3}+C=-\frac{3}{100}(3-5t^5)^{4/3}+C.\qedhere$$

Kaksi edellistä esimerkkiä voidaan yhtä hyvin integroida myös suoraan kaavoja (3) käyttäen, sillä sisäfunktio ja sen derivaatta ovat helposti hahmotettavissa. Aina sopiva sijoitus ei kuitenkaan ole ilmeinen. Tällöin voidaan yrittää niin kutsuttua käänteistä sijoitusta (inverse substitution), jossa muuttujan $x$ paikalle sijoitetaan jokin funktio $x=g(u)$, jolloin $\d x = g'(u)\d u$ ja

$$\int f(x)\,\d x = \int f(g(u))g'(u)\,\d u.$$

Jos funktio $g$ valitaan sopivasti, funktion $f(g(u))g'(u)$ integraali muuttujan $u$ suhteen saadaan laskettua. Tässä tapauksessa alkuperäinenkin integraali saadaan laskettua, koska

$$\int f(g(u))g'(u)\,\d u = F(g(u)) + C$$

ja lauseen 1.2.3 mukaan funktion $f$ integraalifunktiot eroavat toisistaan korkeintaan vakiolla. Integraalifunktio saadaan esitettyä alkuperäisen muuttujan $x$ suhteen funktion $g(u)$ käänteisfunktion avulla: $u=g^{-1}(x)$. Käänteisen sijoituksen käyttöä on selvennetty seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 1.3.8

Laske $\displaystyle\int\frac{x}{x^4+1}\,\d x$.

Piilota/näytä ratkaisu

Sijoitetaan $x=\sqrt{u}$. Nyt

$$\frac{\d x}{\d u}=\frac{1}{2\sqrt{u}} \Rightarrow \d x=\frac{1}{2\sqrt{u}}\,\d u,$$

joten

$$\int\frac{x}{x^4+1}\,\d x = \int \frac{\sqrt{u}}{u^2+1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{u}}\,\d u =\frac12\int\frac{\d u}{u^2+1} = \frac{1}{2}\arctan{u} + C.$$

Sijoitetaan nyt käänteisfunktion mukaisesti $u = x^2$, eli

$$\int \frac{x}{x^4+1}\,\d x = \frac{1}{2}\arctan{x^2} + C.\qedhere$$

Edellisessä esimerkissä integroinnin tulokseksi saadaan arkustangentti, joka kuuluu alkeisfunktioihin lukeutuviin arkusfunktioihin. Näiden ja muiden alkeisfunktioiden derivaattoja ja integraaleja on koottu liiteisiin ?? ja ??. Taulukoissa esiintyy myös hyperbolisia funktioita ja näiden käänteisfunktioita, joita kutsutaan areafunktioiksi. Arkus- ja areafunktioita sekä hyperbolisia funktioita voi tarvittaessa kerrata liitteestä ??.

Esimerkki 1.3.9

Johdetaan integroimiskaava

$$\int \frac{1}{1+x^2} \,\d x = \arctan x + C, \qquad x\in\R.$$

Piilota/näytä ratkaisu

Muiden samantapaisten integrointikaavojen johtaminen tapahtuu vastaavasti. Lähdetään liikkeelle arkustangentin derivaatasta. Käänteisfunktion derivaatalle on voimassa

$$D f^{-1}(y) = \frac{1}{D f(x)},$$

missä $y = f(x)$. Siispä

$$D \arctan x = \frac{1}{D\tan \theta}, \qquad x = \tan \theta,\; -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$$

Koska $D \tan \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$, saadaan arkustangentti ilmaistua muodossa

$$D \arctan x = \cos^2 \theta, \qquad x = \tan \theta,\; -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$$

Yllä oleva suorakulmainen kolmio kuvaa nyt tilannetta. Kosinin arvo kulmalla $\theta$ on helppo päätellä kuvan avulla, eli

$$D \arctan x = \cos^2 \theta = \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2 = \frac{1}{1+x^2}, \qquad x\in\R.$$

Toisin sanoen arkustangentti toteuttaa integraalifunktion määritelmän, joten integrointikaava on saatu johdettua.

Palautusta lähetetään...