$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Määrätty integraali

Alussa esitetty pinta-alaongelma voidaan ratkaista määrätyn integraalin avulla. Määrätyn integraalin taustalla on idea, että tarkasteltu alue viipaloidaan pystysuunnassa suorakulmioiksi. Summaamalla näiden suorakulmioiden pinta-alat yhteen, saadaan halutulle pinta-alalle arvio, joka on sitä tarkempi, mitä tiheämmin viipalointi tehdään. Tihennettäessä viipalointia mielivaltaisen tiheäksi saatu arvio voi lähestyä jotakin reaalilukua. Mikäli näin käy, tätä reaalilukua kutsutaan määrätyksi integraaliksi. Määrätyn integraalin idean esitteli Bernhard Riemann (1826-1866) ja tästä syystä kappaleessa esiteltyä integraalia kutsutaan myös Riemannin integraaliksi.

Riemannin summista määrätyn integraalin määritelmään

Tarkastellaan Riemannin integraalia niin kutsuttujen Riemannin summien avulla. Jos summaukseen liittyvät merkinnät eivät ole hallussa, niitä voi kerrata summausta käsittelevästä liitteestä ??. Olkoon $f : [a,b]\to\R$ rajoitettu funktio. Jaetaan väli $[a,b]$ osaväleihin jakopisteillä

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b.$$

Jakopisteiden muodostamaa joukkoa $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ kutsutaan välin $[a,b]$ jaoksi (partition). Valitaan jokaiselta osaväliltä $[x_{i-1},x_i]$ jokin mielivaltainen piste $x_i^*$ ja merkitään $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, eli $\Delta x_i$ vastaa osavälin $i$ pituutta. Jaon normiksi $|P|$ sanotaan pisimmän osavälin pituutta. Toisin sanoen $|P|=\max\{\Delta x_i : i=1,2,\ldots,n\}$. Tällöin summaa

(1) $$R=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$$

kutsutaan jakoon $P$ ja pisteisiin $x_i^*$ liittyväksi Riemannin summaksi.

Jos $f(x)\ge0$, niin Riemannin summan kukin termi on kuvan mukaisen suorakulmion pinta-ala, joten se antaa arvion funktion $f$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävän joukon pinta-alalle välillä $[a,b]$. Geometrisesti on ilmeistä, että arvio paranee, kun osavälijakoa tihennetään, eli kun $|P|\to0$. Tämä antaa motivaation integraalin määrittelemiseksi.

Määritelmä 1.5.1

Olkoon $f : [a,b]\to\R$ rajoitettu funktio. Jos raja-arvo

$$I=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$$

on olemassa, niin sanotaan, että $f$ on integroituva (integrable) välillä $[a,b]$ ja luku $I$ on funktion $f$ (määrätty) integraali (integral) yli välin $[a,b]$. Tällöin merkitään

$$I=\int_a^bf(x)\,\d x=\int_a^bf.$$

Riemannin summalla määritellystä integroituvuudesta ja integraalista käytetään myös nimityksiä Riemann-integroituva ja Riemann-integraali. Integroituvasta funktiosta $f$ käytetään nimitystä integraalin integrandi.

Jos integroitava funktio $f$ on jatkuva integrointivälillä $[a,b]$, osavälin $[x_{i-1},x_i]$ mielivaltaisen pisteen $x_i^*$ sijaan väliltä voidaan valita pisteet $x_{m_i}$ ja $x_{M_i}$, joille

$$f(x_{m_i}) \leq f(x) \leq f(x_{M_i})$$

kaikilla osavälin $[x_{i-1},x_i]$ pisteillä $x$. Nyt selvästikin

$$\sum_{i=1}^n f(x_{m_i}) \Delta x_i \leq R = \sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n f(x_{M_i}) \Delta x_i,$$

eli Riemannin summa jää aina yllä esitettyjen summien väliin. Näitä summia kutsutaan alasummaksi ja yläsummaksi. Ne riippuvat integroitavasta funktiosta $f$ ja välin $[a,b]$ jaosta $P$, joten alasummaa merkitään $L(f,P)$ ja yläsummaa $U(f,P)$. Alla oleva kuva havainnollistaa ala- ja yläsummaa yksinkertaisen jatkuvan funktion tapauksessa.

Kirjallisuudessa integraali määritellään välillä ala- ja yläsummien avulla siten, että jos jaon tihentyessä ala- ja yläsummien arvot lähestyvät samaa arvoa, määrätty integraali määritellään täksi arvoksi. Tällöin määritelmän 1.5.1 mukainen integraali on myös olemassa raja-arvolaskennan kuristusperiaatteen nojalla. Mielivaltaisen pisteen avulla määritelty integraali on laskennallisesti ala- ja yläsummia miellyttävämpi, sillä esimerkiksi jos integroitava funktio ei ole monotoninen, pisteiden $x_{m_i}$ ja $x_{M_i}$ määrittäminen kullakin osavälillä $[x_{i-1},x_i]$ voi olla hankalaa.

Huomautus 1.5.2

Jos funktio ei ole jatkuva jollain osavälillä $[x_{i-1},x_i]$, ei pisteitä $x_{m_i}$ ja $x_{M_i}$ välttämättä löydy. Tällöin ala- ja yläsumma pitää määritellä infimumin ja supremumin avulla, ja näin määriteltyjä summia kutsutaan kirjallisuudessa Darboux’n integraaliksi. Tällä kurssilla ei kuitenkaan paneuduta näihin käsitteisiin sen tarkemmin, vaan riittää, että hahmottaa ala- ja yläsummat jatkuvien funktioiden tapauksessa.

Integraalin määritelmässä esiintyvä raja-arvo tarkoittaa tarkemmin ottaen seuraavaa. Raja-arvo on $I$, jos jokaista $\varepsilon>0$ kohti löydetään sellainen $\delta>0$, että

$$\left|I-\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i\right|<\varepsilon,$$

olivatpa pisteet $x_i^*$ mitkä tahansa ja $P$ mikä tahansa välin $[a,b]$ jako, jolle $|P|<\delta$. Toisin sanoen suorakulmioilla arvioitu pinta-ala saadaan mielivaltaisen lähelle arvoa $I$, kunhan välin $[a,b]$ jako on riittävän tiheä. Geometrinen tulkinta integraalin määritelmälle on, että jos $f(x)\geq 0$ ja $f$ on integroituva, niin reaaliluku

$$\int_a^bf(x)\,\d x$$

on funktion $f$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[a,b]$. Jos $f(x)\le0$, niin funktion $f$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala on

$$-\int_a^bf(x)\,\d x.$$

Kysymys 1

Kun Riemannin summassa pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa,

kyseinen raja-arvo on funktion määrätyn integraalin arvo koko reaalilukujen joukossa.

summan jokainen termi kuvaa integroituvaa funktiota.

kyseisen raja-arvon olemassaolo ei takaa funktion integroituvuutta.

kyseisen raja-arvon olemassaolo takaa funktion integroituvuuden koko reaalilukujen joukossa.

Riemannin summa antaa arvion funktion kuvaajan ja y-akselin väliin jäävästä pinta-alasta, kun funktion arvot ovat positiivisia.

kyseinen raja-arvo on funktion määrätyn integraalin arvo.

Määrätyn integraalin ominaisuuksia

Seuraavan lauseen otamme käyttöön todistamatta. Täsmällisessä todistuksessa tarvitaan tasaisen jatkuvuuden (uniform continuity) käsitettä. Intuitiivisesti tulos on kuitenkin selvä, sillä äärellisellä välillä jatkuva funktio voi rajata vain äärellisen pinta-alan ja on näin sen on oltava integroituva.

Lause 1.5.3

Suljetulla välillä $[a,b]$ jatkuva funktio on integroituva välillä $[a,b]$.

Tarkastellaan sitten, miten yksinkertaisessa tapauksessa integraalin arvo voidaan laskea määritelmän avulla.

Esimerkki 1.5.4

Laske $\displaystyle\int_0^1x^2\,\d x$.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon $n$ luonnollinen luku ja valitaan välille $[0,1]$ kullakin $n$:llä tasavälinen jako, jonka jakopisteinä ovat $x_i=\frac{i}{n}$, kun $i=0,1,2,\ldots,n$. Tällöin kunkin jakovälin pituus on $\frac{1}{n}$. Mielivaltaisiksi pisteiksi $x_i^*$ valitaan jakovälien oikeanpuoleiset päätepisteet, eli $x_i^*=\frac{i}{n}$. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} R&=\sum_{i=1}^n(x_i^*)^2\Delta x_i =\sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^2\frac{1}{n} =\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\\ &=\frac{1}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \end{aligned}\end{split}$$

missä summakaava

$$\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

voidaan todistaa induktiolla. Funktio $x^2$ on jatkuva välillä $[0,1]$, joten se on integroituva ja siis Riemannin summat suppenevat kohti integraalia, kun $|P|\to0$. Nyt kun $n\to\infty$, niin $|P|\to0$, joten

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_0^1x^2\,\d x &=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\,\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{6}=\frac13. \end{aligned}\end{split}$$

Mielivaltaisten pisteiden valinta tuotti tässä tapauksessa yläsumman. Alasumma saadaan, kun otetaan välin vasemmanpuoleiset pisteet $\frac{i-1}{n}$. Raja-arvoksi saadaan vastaavasti $\frac{1}{3}$, kuten integroituvan funktion tapauksessa pitääkin.

Edellinen esimerkki osoitaa sen, että määritelmään perustuva tapa laskea määrättyjä integraaleja on varsin epäkäytännöllinen. Jatkossa huomataan, että integraaleja voi määrittää yksinkertaisemmin integraalifunktioiden avulla. Ennen tämän tuloksen perustelemista pitää esitellä muutamia tuloksia määrättyyn integraaliin liittyen.

Lause 1.5.5

Olkoot $f,g : [a,b]\to\R$ välillä $[a,b]$ integroituvia ja $c$ reaaliluku. Tällöin

1. $\displaystyle\int_a^b cf(x)\,\d x=c\int_a^b f(x)\,\d x$,
2. $\displaystyle\int_a^b(f(x)+g(x))\,\d x=\int_a^b f(x)\,\d x+\int_a^b g(x)\,\d x$,
3. $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x=\int_a^c f(x)\,\d x+\int_c^b f(x)\,\d x$, kun $a < c < b$,
4. jos $f(x)\le g(x)$ kaikilla $x\in[a,b]$, niin $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x\le\int_a^b g(x)\,\d x$,
5. $\displaystyle\bigg\vert\int_a^b f(x)\,\d x\bigg\vert\le\int_a^b|f(x)|\,\d x$.

Perustele väitteet ensin kuvien avulla pinta-alatulkintaa käyttäen. Kohtien 1 ja 2 mukaan integrointi on integroitavan funktion suhteen lineaarinen operaatio.

Piilota/näytä todistus

Väitteiden täsmällinen todistaminen vaatisi integraalin määritelmän raja-arvon tarkkaa analysointia eri jaoilla ja jakopisteillä. Kaavojen todistusta voidaan kuitenkin luonnostella seuraavaan tapaan. Tarkastellaan kohtia 2 ja 3.

2. Käytetään jakoa $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$. Voidaan laskea, että

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b(f(x)+g(x))\,\d x &=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^n(f(x_i^*)+g(x_i^*))\Delta x_i\\ &=\lim_{|P|\to0}\left(\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i+\sum_{i=1}^ng(x_i^*)\Delta x_i\right)\\ &=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i+\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^ng(x_i^*)\Delta x_i\\ &=\int_a^b f(x)\,\d x+\int_a^b g(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}$$

3. Käytetään väleillä $[a,c]$ ja $[c,b]$ jakoja

$$P_1=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\qquad\text{ja}\qquad P_2=\{x_n,x_{n+1},\ldots,x_{2n}\}$$

vastaavassa järjestyksessä. Nyt $P=P_1\cup P_2=\{x_0,x_1,\ldots,x_{2n}\}$ on välin $[a,b]$ jako ja

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_a^bf(x)\,\d x &=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^{2n}f(x_i^*)\Delta x_i\\ &=\lim_{|P|\to0}\left(\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i+\sum_{i=n+1}^{2n}f(x_i^*)\Delta x_i\right)\\ &=\lim_{|P_1|\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i+\lim_{|P_2|\to0}\sum_{i=n+1}^{2n}f(x_i^*)\Delta x_i\\ &=\int_a^c f(x)\,\d x+\int_c^b f(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}$$

Näissä kohdissa integraalin ominaisuudet siis palautuvat raja-arvon vastaaviin ominaisuuksiin.

Sovitaan, että jos $a<b$, niin merkitään

$$\begin{aligned} \int_a^af(x)\,\d x=0\qquad\text{ja}\qquad\int_b^a f(x)\,\d x=-\int_a^bf(x)\,\d x. \end{aligned}$$

Silloin integraalin ominaisuuksia koskevan Lauseen 1.5.5 kohta 3 on voimassa, olivatpa $a$, $b$ ja $c$ missä järjestyksessä tahansa tai vaikka yhtäsuuria, kunhan $f$ ja $g$ ovat integroituvia kyseisillä väleillä.

Voidaan osoittaa, että jatkuvien funktioiden lisäksi myös paloittain jatkuvat funktiot ovat integroituvia. Monesti paloittain jatkuvan funktion integraali lasketaan laskemalla integraali erikseen kullakin välillä, jolla $f$ on jatkuva ja laskemalla nämä integraalit yhteen kohdan 3 mukaisesti. Funktion $f : [a,b]\to\R$ integroituvuuteen tai integraaliin ei vaikuta sen arvojen muuttaminen äärellisen monessa välin $[a,b]$ pisteessä, joten paloittain jatkuvan funktion arvoilla hyppäyspisteissä ei ole merkitystä.

Kysymys 1

Määrätylle integraalille ei ole voimassa

lineaarisen operaation laskutoimitukset

$\int_{a}^{a} f(x)\,\d x = 0$,

$\int_{a}^{b} f(x)\,\d x = \int_{a}^{c} f(x)\,\d x + \int_{c}^{b} f(x)\,\d x$, kun $a<c<b$,

$\left|\int_{a}^{b} f(x)\,\d x\right| \le \int_{a}^{b} |f(x)|\,\d x$,

$\int_{b}^{a} f(x)\,\d x = \int_{a}^{b} f(x)\,\d x$, kun $a<b$,

$\int_{a}^{b} f(x)\,\d x \le \int_{a}^{b} g(x)\,\d x$, jos $f(x) \le g(x)$ aina, kun $x \in [a,b]$.

Esimerkki 1.5.6

Kaikki rajoitetut funktiot eivät ole integroituvia. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $f : [0,1]\to\R$,

$$\begin{split}f(x)=\begin{cases} 0, &\text{kun}\ x\in\R\setminus\Q\\ 1, &\text{kun}\ x\in\Q. \end{cases}\end{split}$$

Jos $P$ on mikä tahansa välin $[0,1]$ jako, voidaan yhtäältä jokaiselta osaväliltä valita $x_i^*\in\R\setminus\Q$, jolloin Riemannin summa on $0$, tai toisaalta jokaiselta osaväliltä $x_i^*\in\Q$, jolloin Riemannin summa on $1$. Täten Riemannin summilla ei voi olla raja-arvoa.

Voidaan ajatella, että tässä lähdetään liikkeelle nollafunktiosta, jonka arvoja muutetaan kaikissa rationaalipisteissä. Jos arvoja olisi muutettu vain äärellisen monessa pisteessä, niin $f$ olisi paloittain jatkuvana funktiona integroituva ja integraali olisi $0$.

Lause 1.5.7

Jos $c\in\R$ on vakio, niin

$$\int_a^bc\,\d x=c(b-a).$$

Tämä tulos on geometrisesti ilmeinen, koska tapauksessa $c>0$ laskettavana on sellaisen suorakulmion pinta-ala, jonka kanta on $b-a$ ja korkeus $c$.

Piilota/näytä todistus

Valitaan mikä tahansa välin $[a,b]$ jako ja jakopisteet. Tällöin

$$\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i =\sum_{i=1}^nc\Delta x_i =c\sum_{i=1}^n\Delta x_i =c(b-a).\qedhere$$

Seuraavaa lausetta kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseeksi.

Lause 1.5.8 (Integraalilaskennan väliarvolause)

Jos $f : [a,b]\to\R$ on jatkuva, niin on olemassa sellainen välin $[a, b]$ piste $c$, että

$$\int_a^bf(x)\,\d x=f(c)(b-a).$$

Piilota/näytä todistus

Suljetulla ja rajoitetulla välillä $[a,b]$ jatkuvana funktiona $f$ saavuttaa siellä pienimmän arvonsa $m$ ja suurimman arvonsa $M$. Nyt $m\le f(x)\le M$ kaikilla $x\in[a,b]$, joten integraalien ominaisuuden 4 mukaan

$$\begin{aligned} \int_a^bm\,\d x\le\int_a^bf(x)\,\d x\le\int_a^bM\,\d x. \end{aligned}$$

Laskemalla oikean ja vasemmanpuoleiset integraalit Lauseen 1.5.7 mukaisesti saadaan

$$m(b-a)\le\int_a^bf(x)\,\d x\le M(b-a),$$

joten

$$m\le\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\d x\le M.$$

Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen mukaan $f$ jatkuvana funktiona saavuttaa kaikki pienimmän arvonsa $m$ ja suurimman arvonsa $M$ väliset arvot, joten se saavuttaa eräässä välin $[a, b]$ pisteessä $c$ arvon

$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\d x.\qedhere$$

Kysymys 1

Minkä ehtojen toteutuessa on olemassa $c$, jolle

$$f(c)(b-a) = \int_{a}^{b} f(x)\,\d x\text{?}$$

Valitse yksi.

Kun on olemassa funktio $f$ ja piste $c$ on välillä $[a,b]$,

Kun piste $c$ on välillä $[a,b]$ ja funktio $f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ on jatkuva,

Kun funktio $f \colon [c,b] \rightarrow \mathbb{R}$ on jatkuva ja $c<b$,

Kun funktio $f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ on jatkuva,

Kun on olemassa piste $c \in [a,b]$,

Kun on olemassa piste $c$ ja funktio $f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ on jatkuva.

Kehitellään integraalilaskennan väliarvolauseen ideaa edelleen. Olkoon $c$ kuten edellisessä lauseessa. Silloin

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b(f(x)-f(c))\,\d x &=\int_a^bf(x)\,\d x-\int_a^bf(c)\,\d x\\ &=\int_a^bf(x)\,\d x-f(c)(b-a)\\ &=\int_a^bf(x)\,\d x-\int_a^bf(x)\,\d x =0. \end{aligned}\end{split}$$

Niinpä funktion $f(x)-f(c)$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävästä pinta-alasta on yhtä paljon $x$-akselin ala- kuin yläpuolella. Siis funktion $f(x)$ kuvaajan ja suoran $y=f(c)$ väliin jäävästä pinta-alasta on yhtä paljon suoran $y=f(c)$ ala- kuin yläpuolella.

Tällä perusteella arvoa $f(c)$ voidaan sanoa funktion $f$ keskiarvoksi välillä $[a,b]$. Keskiarvo voidaan määritellä myös niille integroituville funktioille, jotka eivät ole jatkuvia.

Määritelmä 1.5.9

Integroituvan funktion $f : [a,b]\to\R$ keskiarvo (average value) on luku

$$\overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\d x.$$

Integraalilaskennan väliarvolause voidaan nyt muotoilla niin, että ”jatkuva funktio saavuttaa keskiarvonsa”.

Määrätyn integraalin yhteys integraalifunktioon

Esimerkki 1.5.4 havainnollistaa, miten epäkäytännöllistä integraalin laskeminen on suoraan määritelmän avulla. Tässä osiossa luodaan määrätyn integraalin ja integraalifunktion välille yhteys, jonka ansiosta määrätyn integraalin laskeminen muuttuu huomattavasti mielekkäämmäksi verrattuna määritelmään perustuvaan tapaan.

Seuraavaksi esitellään tärkeä integraalilaskennan väliarvolauseen sovellus, jolle on annettu nimeksi analyysin peruslause. Lauseesta tekee erityisen tärkeän se, että lause yhdistää funktion $f$ määrätyn integraalin sekä sen integraalifunktion $F$. Toisin sanoen integraalifunktio voidaan laskea määrätyn integraalin avulla. Myöhemmin huomataan, että määrätty integraali saadaan puolestaan laskettua integraalifunktion avulla.

Lause 1.5.10 (Analyysin peruslause)

Jos $f : [a,b]\to\R$ on jatkuva, niin funktion $f$ määrätty integraali ylärajansa funktiona

$$F(x)=\int_a^xf(t)\,\d t$$

on derivoituva funktio ja $F'(x)=f(x)$ aina, kun $x\in[a,b]$.

Piilota/näytä todistus

Tutkitaan funktion $F$ erotusosamäärää pisteessä $x$. Oletetaan, että $h>0$ (tapaus $h<0$ käsitellään vastaavasti). Käyttäen tietoa

$$\int_a^{x+h}f(t)\,\d t=\int_a^xf(t)\,\d t+\int_x^{x+h}f(t)\,\d t$$

sovelletaan integraalilaskennan väliarvolausetta välillä $[x,x+h]$ ja saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} &=\frac{1}{h}\left(\int_a^{x+h}f(t)\,\d t-\int_a^xf(t)\,\d t\right)\\ &=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,\d t=f(c), \end{aligned}\end{split}$$

missä $c$ on lukujen $x$ ja $x+h$ välissä. Koska $c\to x$, kun $h\to0$, niin

$$F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}f(c)=\lim_{c\to x}f(c)=f(x),$$

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa funktion $f$ jatkuvuudesta.

Lause 1.5.11

Jos $G$ on jokin funktion $f$ integraalifunktio, niin

$$\int_a^bf(x)\,\d x=G(b)-G(a)=:\sij{a}{b} G(x).$$

Piilota/näytä todistus

Olkoon $G$ mikä tahansa funktion $f$ integraalifunktio ja

$$F(x)=\int_a^xf(t)\,\d t,$$

joka myös on analyysin peruslauseen mukaan funktion $f$ integraalifunktio. Kaikki integraalifunktiot eroavat vakiolla, joten $G(x)=F(x)+C$ jollakin reaaliluvulla $C$. Nyt

$$G(b)-G(a)=\left(\int_a^bf(t)\,\d t+C\right)-\left(\int_a^af(t)\,\d t+C\right)=\int_a^bf(t)\,\d t.\qedhere$$

Määrätty integraali saadaan siis laskettua yksinkertaisesti löytämällä jokin integrandin integraalifunktio ja laskemalla tämän arvojen erotus integrointivälin ylä- ja alapäässä.

Esimerkki 1.5.12

Lauseen 1.5.11 mukaan

1. $\displaystyle\int_{-1}^3(5x^2+2)\,\d x=\sij{-1}{3}\Big(\frac53x^3+2x\Big)=51-\Big(-\frac{11}{3}\Big)=\frac{164}{3}$,
2. $\displaystyle\int_1^2\frac{x}{x^2+1}\,\d x=\frac{1}{2}\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}\,\d x =\frac12\sij{1}{2}\ln(x^2+1)=\frac12(\ln 5-\ln2)$.

Esimerkki 1.5.13

Derivoi funktiot $\displaystyle F(x)=\int_{-3}^xe^{-t^2}\,\d t$ ja $\displaystyle G(x)=\int_{x^2}^{x^3}e^{-t^2}\,\d t$.

Piilota/näytä ratkaisu

Analyysin peruslauseen mukaan $F'(x)=e^{-x^2}$. Funktiota $G$ varten voidaan kirjoittaa

$$G(x)=\int_{x^2}^0e^{-t^2}\,\d t+\int_0^{x^3}e^{-t^2}\,\d t =-\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\d t+\int_0^{x^3}e^{-t^2}\,\d t.$$

Merkitsemällä

$$H(y)=\int_0^ye^{-t^2}\,\d t,\qquad f(x)=x^2\qquad\text{ja}\qquad g(x)=x^3$$

voidaan $G$ ilmoittaa muodossa $G(x)=-H(f(x))+H(g(x))$, joten ketjusääntöä ja analyysin peruslausetta soveltaen saadaan

$$G'(x)=-H'(f(x))f'(x)+H'(g(x))g'(x) =-2xe^{-x^4}+3x^2e^{-x^6}.\qedhere$$

Seuraava tulos seuraa suoraan analyysin peruslauseesta.

Seuraus 1.5.14

Jatkuvalla funktiolla $f : I\to\R$ on integraalifunktio $F : I\to\R$.

Huomautus 1.5.15

Jatkuva funktio $f : [a,b]\to\R$ on siis aina integroituva ja sillä on integraalifunktio, jonka avulla määrätty integraali voidaan laskea. Yleisesti ottaen tilanne on hieman mutkikkaampi.

1. Myös epäjatkuvalla funktiolla voi olla integraalifunktio. Esimerkiksi tällaisesta tapauksesta käy funktio $F : \R\to\R$, jolle $F(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$, kun $x\ne0$, ja $F(0)=0$. Funktiolla $F$ on pisteessä $0$ epäjatkuva derivaatta $F'(x)=f(x)$, joten $F$ on funktion $f$ integraalifunktio.
2. Integroituvalla funktiolla ei välttämättä ole integraalifunktiota. Esimerkiksi integraalifunktiota käsittelevän luvun esimerkin hyppyfunktio on integroituva välillä $[-1,1]$, mutta sillä ei ole integraalifunktiota.
3. Integraalifunktion olemassaolosta ei välttämättä seuraa integroituvuus.

Todistetaan seuraavaksi seuraavat klassiset integrointikaavat.

Lause 1.5.16 (Osoittaisintegrointi)

Jos $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ ovat derivoituvia funktioita, niin

(2) $$\int_a^b f'(x)g(x)\,\d x=\sij{a}{b}f(x)g(x)-\int_a^b f(x)g'(x)\,\d x.$$

Piilota/näytä todistus

Tulon derivointissäntö antaa

$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$$

Analyysin peruslauseen seurauksen mukaan

$$\int_a^b\left(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\right)\,\d x=\sij{a}{b}f(x)g(x),$$

mikä todistaa tuloksen.

Lause 1.5.17 (Sijoitusmenetelmä)

Olkoon $u:[a,b]\to I$ jatkuvasti derivoituva funktio ja $I\subset \mathbb{R}$ reaalilukuväli. Olkoon lisäksi $f:I\to\mathbb{R}$ jatkuva funktio. Tällöin

(3) $$\int_a^bf(u(x))u'(x)\,\d x=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,\d u.$$

Piilota/näytä todistus

Oletusten nojalla funktio $f(u(x))u'(x)$ on jatkuva ja siis myös integroituva välillä $[a,b]$. Tästä seuraa, että integraalit

$$\int_a^bf(u(x))u'(x)\,\d x\ \text{ ja }\ \int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,\d u$$

ovat olemassa. Osoitetaan niiden yhtäsuuruus. Olkoon $F$ funktion $f$ integraalifunktio. Yhdistetyn funktion derivointi antaa

$$(F\circ u)'(x)=(F'\circ u)(x) u'(x)=(f\circ u)(x)u'(x)=f(u(x))u'(x).$$

Soveltamalla analyysin peruslauseen seurausta kahdesti, saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_a^bf(u(x))u'(x)\,\d x&=\int_a^b(F\circ u)'(x)\,\d x\\ &=(F\circ u)(b)-(F\circ u)(a)\\ &=F(u(b))-F(u(a))\\ &=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,\d u. \end{aligned}\end{split}$$

Nyrkkisääntönä on hyvä pitää mielessä, että sijoitusta tehtäessä kaikki, eli integrandi $f(x)$, diffentiaalimuoto $\d x$ ja rajat, on lausuttava funktion $u$ avulla.

Esimerkki 1.5.18

Laske integraalit

1. $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\d x$,
2. $\displaystyle\int_1^2\frac{\d x}{(1+2x)^2}$,
3. $\displaystyle\int_{-1}^2\frac{x}{x^4+1}\,\d x$,
4. $\displaystyle\int_{-1/3}^2\frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}}\,\d x$.

Piilota/näytä ratkaisu

1. Osittaisintegroidaan kuten esimerkissä 1.3.2, eli valitaan $f'(x)=e^{-x}$ ja $g(x)=x$, jolloin $f(x)=-e^{-x}$ ja $g'(x)=1$ ja täten

   $$\begin{aligned} \int_0^1 xe^{-x}\,\d x=-\sij{0}{1}xe^{-x}+\int_0^1e^{-x}\,\d x= -\frac{1}{e}-\sij{0}{1}e^{-x}=1-\frac{2}{e}. \end{aligned}$$

2. Sijoitetaan $u=1+2x$, jolloin $\d u=2\,\d x$. Uusiksi rajoiksi saadaan $u(1)=3$ ja $u(2)=5$. Näin ollen

   $$\int_1^2\frac{\d x}{(1+2x)^2} =\frac12\int_3^5\frac{\d u}{u^2} =-\frac12\sij{3}{5}\frac{1}{u}=\frac{1}{15}.$$

3. Kuten esimerkissä 1.3.8, sijoitetaan $u=x^2$, jolloin $\d u=2x\,\d x$. Uusiksi rajoiksi saadaan $u(-1)=1$ ja $u(2)=4$, joten

   $$\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1}^2\frac{x}{x^4+1}\,\d x&=\frac12\int_{1}^4\frac{\d u}{u^2+1} =\frac12\sij{1}{4}\arctan u\\ &=\frac12(\arctan 4-\arctan 1)=\frac12\arctan 4-\frac\pi8. \end{aligned}\end{split}$$

4. Sijoitetaan $u=\sqrt[3]{3x+2}$, jolloin

   $$\begin{aligned} \frac{\d u}{\d x}&=\frac{\d}{ \d x}(3x+2)^{1/3} =(3x+2)^{-2/3}=\frac{1}{(\sqrt[3]{3x+2})^2}=\frac{1}{u^2}, \end{aligned}$$

   eli $\d x=u^2\,\d u$. Lisäksi sijoitusta varten ratkaistaan $x=\frac{u^3-2}{3}$. Uusiksi rajoiksi saadaan $u(-1/3)=1$ ja $u(2)=2$, ja näin ollen

   $$\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1/3}^2\frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}}\,\d x &=\int_1^2\frac{u^3/3-2/3}{u}\,u^2\,\d u =\frac13\int_1^2(u^4-2u)\,\d u\\ &=\frac13\sij{1}{2}\Big(\frac{u^5}{5}-u^2\Big)=\frac{16}{15}. \end{aligned}\end{split}$$

Huomautus 1.5.19

Vaikka sijoitusmenetelmässä integroitava funktio ja integroimisrajat muuttuvat, pinta-alatulkinnan mukaisesti integraalia vastaavan pinta-alan pitää sijoituksen jälkeen säilyä yhtä suurena.

Esimerkiksi integraali $\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,\d x$ vastaa puolikkaan yksikköympyrän pinta-alaa, jonka arvo $\frac{\pi}{2}$ tiedetään tasogeometriasta. Sijoitetaan $x = \sin u$, jolloin $\d x = \cos u\, \d u$ ja integroimisrajat $u(-1) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ ja $u(1) = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$. Siispä

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,\d x &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2 u}\cos u \,\d u = \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \sqrt{\cos^2 u}\cos u \,\d u \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} |\cos u|\cos u \,\d u \stackrel{\cos u \geq 0}{=} \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \cos^2 u \,\d u = \frac{\pi}{2}. \end{aligned}\end{split}$$

Palautusta lähetetään...