\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
\({}^*\)Parilliset ja parittomat funktiot
Tietyissä tilanteissa integroituvilla funktioilla voi olla ominaisuuksia, jotka yksinkertaistavat integrointia. Tällaisia ovat esimerkiksi funktion parillisuus ja parittomuus.
Funktion \(f\) sanotaan olevan parillinen, jos
\[f(-x)=f(x)\]
ja pariton jos
\[f(-x)=-f(x).\]
Parillisia ja parittomia funktiota on alkeisfuntioiden parissa runsaasti. Parittomia funktioita ovat esimerkiksi \(\sin(x)\), \(\sinh(x)\) ja \(x^{2k+1}\), ja parillisia puolestaan ovat \(\cos(x)\), \(\cosh(x)\) ja \(x^{2k}\), missä \(k\in\mathbb{Z}\). Kuitenkin vain nollafunktio voi olla samanaikaisesti sekä parillinen että pariton, kuten seuraavassa lauseessa osoitetaan.
Lause 1.6.1
Jos funktio on sekä parillinen että pariton on se nollafunktio.
Piilota/näytä todistus
Oletetaan, että funktio \(f\) on sekä parillinen että pariton, eli
\[\begin{split}\begin{aligned}
f(x)&=f(-x),\\
f(x)&=-f(-x).
\end{aligned}\end{split}\]
Laskemalla yllä olevat yhtälöt puolittain yhteen, saadaan \(2f(x)=0\), josta seuraa \(f(x)=0\), mikä todistaa lauseen.
Kaikki funktiot eivät ole suinkaan parillisia tai parittomia, esimerkiksi kelpaa \(f(x)=e^x\). Kuitenkin jokainen funktio voidaan esittää parillisen ja parittoman funktion summana, kuten seuraavassa lauseessa osoitetaan.
Lause 1.6.2
Jokainen funktio \(f\) voidaan esittää parillisen ja parittoman funktion summana muodossa
\[f(x)=f_e(x)+f_o(x),\]
missä
\[f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\]
on parillinen (even) ja
\[f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\]
on pariton (odd).
Piilota/näytä todistus
Suoraan laskemalla on helppoa nähdä, että
\[f_e(x)+f_o(x)=f(x).\]
Lisäksi
\[f_e(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=f_e(x)\]
ja
\[f_o(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f_o(x).\qedhere\]
Esimerkki 1.6.3
Eksponenttifunktio voidaan esittää parillisen ja parittoman funktion summana
\[e^x=\cosh(x)+\sinh(x).\]
Tämä seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä
\[\cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\]
ja
\[\sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}.\]
Parillisilla ja parittomilla funktioilla on runsaasti algebrallisia ominaisuuksia, joita kerätään seuraavaan lauseeseen.
Lause 1.6.4
- Parillisten funktioiden summa, erotus ja tulo on parillinen funktio.
- Parittomien funktioiden summa ja erotus on pariton funktio.
- Parittomien funktioiden tulo on parillinen funktio.
- Kahden parillisen funktion osamäärä on parillinen funktio.
- Kahden parittoman funktion osamäärä on parillinen funktio.
- Parittoman ja parillisen funktion osamäärä on pariton funktio.
Piilota/näytä todistus
Todistetaan vain alin kohta ja jätetään muut kohdat lukijan vastuulle. Olkoot \(f\) pariton ja \(g\) parillinen funktio. Oletetaan lisäksi, että \(g(x)\neq 0\). Merkitään \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Tällöin
\[h(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{-g(x)}=-h(x).\qedhere\]
Differentiaali- ja integraalilaskennassa parillisilla ja parittomilla funktioilla on omat erityispiirteensä.
Lause 1.6.5
Olkoon \(f\) derivoituva funktio.
- Jos \(f\) on parillinen, niin \(f'\) on pariton.
- Jos \(f\) on pariton, niin \(f'\) on parillinen.
Piilota/näytä todistus
Olkoon \(f\) derivoituva parillinen funktio. Merkitään \(h(x)=-x\), jolloin parillisuudesta seuraa, että \(f\circ h=f\). Derivoimalla tämä puolittain ja soveltamalla yhdistetyn funktion derivointisääntöä saadaan
\[f'(x)=Df(h(x))h'(x)=-Df(h(x))=-f'(-x),\]
joka todistaa kohdan 1. Kohta 2 jätetään lukijan vastuulle,
Integraalilaskennassa huomataan, että symmetrisen välin yli integraalit riippuvat vain funktion parillisesta osasta.
Lause 1.6.6
Jos \(f : [-a,a]\to\R\) on integroituva, niin
\[\int_{-a}^af(x)\,\d x=2\int_{0}^af_e(x)\,\d x\]
Piilota/näytä todistus
Yleisesti
\[\int_{-a}^af(x)\,\d x=\int_{-a}^0f(x)\,\d x+\int_{0}^af(x)\,\d x.\]
Tehdään oikean puolen ensimmäiseen integraaliin sijoitus \(u=-x\), jolloin \(\d x=-\d u\) ja
\[\int_{-a}^0f(x)\,\d x=-\int_{a}^0f(-u)\,\d u\]
Sijoitetaan \(u\):n paikalle \(x\), jolloin saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int_{-a}^af(x)\,\d x&=-\int_{a}^0f(-x)\,\d x+\int_{0}^af(x)\,\d x=\int_{0}^a(f(x)+f(-x))\,\d x \\
&=2\int_{0}^a\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,\d x=2\int_{0}^af_e(x)\,\d x.
\end{aligned}\end{split}\]
Soveltamalla edellistä lausetta saadaan seuraava klassinen tulos.
Seuraus 1.6.7
Olkoon \(f : [-a,a]\to\R\) integroituva. Jos \(f\) on pariton, niin
\[\int_{-a}^af(x)\,\d x=0\]
ja jos \(f\) on parillinen, niin
\[\int_{-a}^af(x)\,\d x=2\int_0^af(x)\,\d x.\]
Esimerkki 1.6.8
Funktio \(f(x)=\sin(2x)\) on pariton, joten
\[\int_{-3\pi/2}^{3\pi/2}\sin(2x)\,\d x=0.\]
Funktio \(f(x)=x^4-2\) on parillinen, joten
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int_{-2}^2(x^4-2)\,\d x
&=2\int_0^2(x^4-2)\,\d x\\
&=2\sij{0}{2}\left(\frac15x^5-2x\right) \\
&=2\left(\left(\frac{32}{5}-4\right)-0\right) \\
&=\frac{24}{5}.
\end{aligned}\end{split}\]