$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

${}^*$Parilliset ja parittomat funktiot

Tietyissä tilanteissa integroituvilla funktioilla voi olla ominaisuuksia, jotka yksinkertaistavat integrointia. Tällaisia ovat esimerkiksi funktion parillisuus ja parittomuus.

Funktion $f$ sanotaan olevan parillinen, jos

$$f(-x)=f(x)$$

ja pariton jos

$$f(-x)=-f(x).$$

Parillisia ja parittomia funktiota on alkeisfuntioiden parissa runsaasti. Parittomia funktioita ovat esimerkiksi $\sin(x)$, $\sinh(x)$ ja $x^{2k+1}$, ja parillisia puolestaan ovat $\cos(x)$, $\cosh(x)$ ja $x^{2k}$, missä $k\in\mathbb{Z}$. Kuitenkin vain nollafunktio voi olla samanaikaisesti sekä parillinen että pariton, kuten seuraavassa lauseessa osoitetaan.

Lause 1.6.1

Jos funktio on sekä parillinen että pariton on se nollafunktio.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että funktio $f$ on sekä parillinen että pariton, eli

$$\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=f(-x),\\ f(x)&=-f(-x). \end{aligned}\end{split}$$

Laskemalla yllä olevat yhtälöt puolittain yhteen, saadaan $2f(x)=0$, josta seuraa $f(x)=0$, mikä todistaa lauseen.

Kaikki funktiot eivät ole suinkaan parillisia tai parittomia, esimerkiksi kelpaa $f(x)=e^x$. Kuitenkin jokainen funktio voidaan esittää parillisen ja parittoman funktion summana, kuten seuraavassa lauseessa osoitetaan.

Lause 1.6.2

Jokainen funktio $f$ voidaan esittää parillisen ja parittoman funktion summana muodossa

$$f(x)=f_e(x)+f_o(x),$$

missä

$$f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

on parillinen (even) ja

$$f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

on pariton (odd).

Piilota/näytä todistus

Suoraan laskemalla on helppoa nähdä, että

$$f_e(x)+f_o(x)=f(x).$$

Lisäksi

$$f_e(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=f_e(x)$$

ja

$$f_o(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f_o(x).\qedhere$$

Esimerkki 1.6.3

Eksponenttifunktio voidaan esittää parillisen ja parittoman funktion summana

$$e^x=\cosh(x)+\sinh(x).$$

Tämä seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä

$$\cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

ja

$$\sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}.$$

Parillisilla ja parittomilla funktioilla on runsaasti algebrallisia ominaisuuksia, joita kerätään seuraavaan lauseeseen.

Lause 1.6.4

1. Parillisten funktioiden summa, erotus ja tulo on parillinen funktio.
2. Parittomien funktioiden summa ja erotus on pariton funktio.
3. Parittomien funktioiden tulo on parillinen funktio.
4. Kahden parillisen funktion osamäärä on parillinen funktio.
5. Kahden parittoman funktion osamäärä on parillinen funktio.
6. Parittoman ja parillisen funktion osamäärä on pariton funktio.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan vain alin kohta ja jätetään muut kohdat lukijan vastuulle. Olkoot $f$ pariton ja $g$ parillinen funktio. Oletetaan lisäksi, että $g(x)\neq 0$. Merkitään $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$. Tällöin

$$h(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{-g(x)}=-h(x).\qedhere$$

Differentiaali- ja integraalilaskennassa parillisilla ja parittomilla funktioilla on omat erityispiirteensä.

Lause 1.6.5

Olkoon $f$ derivoituva funktio.

1. Jos $f$ on parillinen, niin $f'$ on pariton.
2. Jos $f$ on pariton, niin $f'$ on parillinen.

Piilota/näytä todistus

Olkoon $f$ derivoituva parillinen funktio. Merkitään $h(x)=-x$, jolloin parillisuudesta seuraa, että $f\circ h=f$. Derivoimalla tämä puolittain ja soveltamalla yhdistetyn funktion derivointisääntöä saadaan

$$f'(x)=Df(h(x))h'(x)=-Df(h(x))=-f'(-x),$$

joka todistaa kohdan 1. Kohta 2 jätetään lukijan vastuulle,

Integraalilaskennassa huomataan, että symmetrisen välin yli integraalit riippuvat vain funktion parillisesta osasta.

Lause 1.6.6

Jos $f : [-a,a]\to\R$ on integroituva, niin

$$\int_{-a}^af(x)\,\d x=2\int_{0}^af_e(x)\,\d x$$

Piilota/näytä todistus

Yleisesti

$$\int_{-a}^af(x)\,\d x=\int_{-a}^0f(x)\,\d x+\int_{0}^af(x)\,\d x.$$

Tehdään oikean puolen ensimmäiseen integraaliin sijoitus $u=-x$, jolloin $\d x=-\d u$ ja

$$\int_{-a}^0f(x)\,\d x=-\int_{a}^0f(-u)\,\d u$$

Sijoitetaan $u$:n paikalle $x$, jolloin saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_{-a}^af(x)\,\d x&=-\int_{a}^0f(-x)\,\d x+\int_{0}^af(x)\,\d x=\int_{0}^a(f(x)+f(-x))\,\d x \\ &=2\int_{0}^a\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,\d x=2\int_{0}^af_e(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}$$

Soveltamalla edellistä lausetta saadaan seuraava klassinen tulos.

Seuraus 1.6.7

Olkoon $f : [-a,a]\to\R$ integroituva. Jos $f$ on pariton, niin

$$\int_{-a}^af(x)\,\d x=0$$

ja jos $f$ on parillinen, niin

$$\int_{-a}^af(x)\,\d x=2\int_0^af(x)\,\d x.$$

Esimerkki 1.6.8

1. Funktio $f(x)=\sin(2x)$ on pariton, joten

   $$\int_{-3\pi/2}^{3\pi/2}\sin(2x)\,\d x=0.$$

2. Funktio $f(x)=x^4-2$ on parillinen, joten

   $$\begin{split}\begin{aligned} \int_{-2}^2(x^4-2)\,\d x &=2\int_0^2(x^4-2)\,\d x\\ &=2\sij{0}{2}\left(\frac15x^5-2x\right) \\ &=2\left(\left(\frac{32}{5}-4\right)-0\right) \\ &=\frac{24}{5}. \end{aligned}\end{split}$$

Palautusta lähetetään...