$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Epäoleellinen integraali

Edellä integraali määriteltiin vain rajoitetulla välillä $[a,b]$ määritellylle rajoitetulle (yleensä paloittain jatkuvalle) funktiolle. Yleistetään integraalin määritelmä seuraavaksi tapauksiin, joissa

1. integroimisväli on rajoittamaton $(-\infty,b]$ tai $[a,\infty)$, tai
2. funktio ei ole rajoitettu, jolloin integroimisväli on puoliavoin, eli joko $(a,b]$ tai $[a,b)$.

Näitä integraaleja kutsutaan yhteisesti epäoleellisiksi (improper). Pistettä, jossa funktio ei ole rajoitettu eli jossa funktio saavuttaa mielivaltaisen suuren tai pienen arvon, kutsutaan funktion singulaaripisteeksi. Singulaaripiste sijaitsee puoliavoimen integroimisvälin avoimessa päässä.

Rajoittamaton integroimisväli

Integraalia rajoittamattomalla integroimisvälillä voidaan lähestyä laskemalla integraali jollain rajoitetulla välillä edellisen luvun tekniikoita hyödyntäen. Rajoittamaton integroimisväli saadaan huomioitua raja-arvon avulla siten, että rajoitetun välin jommankumman pään annetaan kasvaa tai vähentyä rajatta. Tällöin epäoleelliseksi integraaliksi määritellään näin saatava integraalin raja-arvo, mikäli se on olemassa.

Määritelmä 2.3.1

Olkoon $f$ jatkuva välillä $[a,\infty)$. Määritellään

$$\int_a^\infty f(x)\,\d x=\lim_{c\to\infty}\int_a^c f(x)\,\d x.$$

Vastaavasti jos $f$ on jatkuva välillä $(-\infty,a]$, määritellään

$$\int_{-\infty}^a f(x)\,\d x=\lim_{c\to-\infty}\int_c^a f(x)\,\d x.$$

Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee (converges), muulloin hajaantuu (diverges).

Lause 2.3.2

Olkoon $a>0$ ja $p$ reaaliluku. Tällöin epäoleellinen integraali

$$\int_a^\infty\frac{\d x}{x^p}$$

suppenee jos ja vain jos $p > 1$.

Piilota/näytä todistus

Olkoon $c>a$. Oletetaan ensin, että $p\ne1$. Tällöin

$$\begin{split}\int_a^c\frac{\d x}{x^p} =\frac{1}{1-p}\sij{a}{c}\frac{1}{x^{p-1}} =\frac{1}{1-p}\left(\frac{1}{c^{p-1}}-\frac{1}{a^{p-1}}\right) \to\begin{cases} \frac{a^{1-p}}{p-1},&\text{kun }p>1\\ \infty,&\text{kun }p<1, \end{cases} \text{ kun } c \to \infty.\end{split}$$

Tapauksessa $p=1$

$$\int_a^c\frac{\d x}{x} =\sij{a}{c}\ln x=\ln c-\ln a\to\infty,\qquad\text{kun } c \to \infty.\qedhere$$

Potenssifunktioiden integroituvuudessa välillä $[a,\infty)$ funktio $\frac{1}{x}$ on siis rajatapaus. Vertaa tulosta funktioiden kuvaajiin.

Hajaantuvan integraalin arvo ei välttämättä ole $\infty$ tai $-\infty$, vaan integraalin sanotaan hajaantuvan, jos määritelmän 2.3.1 mukainen raja-arvo ei ole olemassa. Seuraavassa esimerkissä raja-arvo säilyy rajoitettuna muttei lähesty mitään arvoa.

Esimerkki 2.3.3

Esimerkiksi

$$\int_0^c\cos x\,\d x=\sij{0}{c}\sin x=\sin c,$$

jolla ei ole raja-arvoa, kun $c\to\infty$. Niinpä esimerkiksi

$$\int_0^\infty\cos x\,\d x$$

hajaantuu.

Rajoittamaton funktio

Rajoittamattoman funktion integraali voidaan laskea myös raja-arvon avulla. Tällä kertaa funktion integraali lasketaan välillä, jonka toisen pään annetaan lähestyä toispuoleisesti funktion singulaaripistettä. Tällöin epäoleelliseksi integraaliksi määritellään näin saatava integraalin toispuoleinen raja-arvo, mikäli se on olemassa.

Määritelmä 2.3.4

Olkoon $f$ jatkuva välillä $[a,b)$ ja rajoittamaton pisteessä $b$. Määritellään

$$\int_a^b f(x)\,\d x=\lim_{c\to b-}\int_a^c f(x)\,\d x.$$

Vastaavasti jos $f$ on jatkuva välillä $(a,b]$ ja rajoittamaton pisteessä $a$, määritellään

$$\int_a^b f(x)\,\d x=\lim_{c\to a+}\int_c^b f(x)\,\d x.$$

Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee, muulloin hajaantuu.

Yllä määriteltyjä epäoleellisia integraaleja kutsutaan integraaleiksi yli puoliavoimen välin $[a,b)$ ja $(a,b]$.

Tehtävää ladataan...

Lause 2.3.5

Olkoon $a>0$ ja $p\in\R$. Tällöin epäoleellinen integraali

$$\int_0^a\frac{dx}{x^p}$$

suppenee jos ja vain jos $p < 1$.

Piilota/näytä todistus

Kyseessä on integraali yli puoliavoimen välin $(0,a]$. Todistus saadaan samaan tapaan kuin lause 2.3.2 rajoittamattomalle välille.

Esimerkki 2.3.6

Suppeneeko vai hajaantuuko $\displaystyle\int_1^2\frac{\d x}{(x-2)^2}$?

Piilota/näytä ratkaisu

Integroitava funktio

$$\frac{1}{(x-2)^2}\to\infty,$$

kun $x\to 2-$, joten kyseessä on epäoleellinen integraali yli puoliavoimen välin $[1,2)$ ja

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_1^2\frac{\d x}{(x-2)^2} &=\lim_{c\to2-}\int_1^c\frac{\d x}{(x-2)^2} =\lim_{c\to2-}\sij{1}{c}-\frac{1}{x-2}\\ &=\lim_{c\to2-}\left(-\frac{1}{c-2}-1\right)=\infty. \end{aligned}\end{split}$$

Integraali siis hajaantuu.

Integroimisvälin jako osiin

Jos integroimisväli $I$ on joko $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ tai on useampia pisteitä, joiden ympäristöissä $f$ on rajoittamaton, on integroimisväli jaettava osiin siten, että saadaan epäoleelliset integraalit $I_1,I_2,\ldots,I_n$, joissa on vain joko määritelmän mukainen rajoittamattoman välin tai rajoittamattoman funktion tapaus. Toisin sanoen jokainen $I_j$ on muotoa $(a,b]$, $[a,b)$, $(-\infty,b]$ tai $[a,\infty)$. Merkitään muodollisesti jakoa

$$I=I_1+I_2+\cdots+I_n.$$

Tällöin integraalia merkitään

$$\int_I f(x)\; \d x:= \int_{I_1} f(x)\; \d x+\cdots +\int_{I_n} f(x)\; \d x,$$

ja se suppenee jos ja vain jos jokainen

$$\int_{I_j} f(x)\; \d x,$$

kun $j=1,...,n$, suppenee. Havainnollistetaan tilannetta seuraavien esimerkkien avulla.

Esimerkki 2.3.7

Tutki epäoleellisten integraalien

1. $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\d x}{x^2}$,
2. $\displaystyle\int_{-1}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}$,
3. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\d x}{1+x^2}$

suppenemista, ja laske arvo suppenevassa tapauksessa.

Piilota/näytä ratkaisu

1. Integroitava funktio $\frac{1}{x^2}\to\infty$, kun $x\to0+$, joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa osiin

   $$\int_0^\infty\frac{\d x}{x^2}=\int_0^1\frac{\d x}{x^2}+\int_1^\infty\frac{\d x}{x^2}.$$

   Muotoa $\frac{1}{x^p}$ olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppenemistuloksen mukaan ensimmäinen näistä integraaleista hajaantuu, joten kysytty integraali myös hajaantuu.

2. Integroitava funktio $\frac{1}{x^{1/3}}\to\pm\infty$, kun $x\to0\pm$, joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa singulaaripisteen $0$ suhteen osiin

   $$\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}&=\int_{-1}^0\frac{\d x}{x^{1/3}}+\int_0^1\frac{\d x}{x^{1/3}} =\lim_{c\to0-}\int_{-1}^c\frac{\d x}{x^{1/3}}+\lim_{c'\to0+}\int_{c'}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}\\ &=\lim_{c\to0-}\sij{-1}{c}\frac32x^{2/3}+\lim_{c'\to0+}\sij{c'}{1}\frac32x^{2/3} =-\frac32+\frac32=0. \end{aligned}\end{split}$$

   Huomaa, että raja-arvojen muuttujat $c$ ja $c'$ ovat kaksi eri muuttujaa.

3. Integroitava funktio toteuttaa ehdon $0<\frac{1}{1 + x^2}\le1$ aina, kun $x \in \R$ joten se on rajoitettu. Integroimisväli puolestaan on molemmista päistä rajoittamaton, joten integroimisväli täytyy jakaa kahteen osaan. Jaetaan esimerkiksi pisteen $0$ kohdalta ja saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty\frac{\d x}{1+x^2} &=\int_{-\infty}^0\frac{\d x}{1+x^2}+\int_0^\infty\frac{\d x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\int_c^0\frac{\d x}{1+x^2}+\lim_{c'\to\infty}\int_0^{c'}\frac{\d x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\sij{c}{0}\arctan x+\lim_{c'\to\infty}\sij{0}{c'}\arctan x\\ &=\Big(0-\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)\Big)+\Big(\frac{\pi}{2}-0\Big) =\pi. \end{aligned}\end{split}$$

Huomautus 2.3.8

Epäoleellinen integraali

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\d x$$

lasketaan määritelmällisesti aina

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\d x = \lim_{c\to-\infty}\int_c^a f(x) \,\d x + \lim_{c'\to\infty} \int_a^{c'} f(x)\,\d x,$$

missä $a$ on jokin reaaliluku. Integraali hajaantuu, jos yksikin raja-arvoista hajaantuu. Sen sijaan integraalia

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\d x = \lim_{c\to\infty}\int_{-c}^c f(x) \,\d x$$

kutsutaan Cauchyn pääarvoksi. Tälle arvolle on omat sovelluksensa, mutta tällä kurssilla epäoleelliset integraalit lasketaan aina tässä osiossa esitettyjen määritelmien mukaisesti.

Huomautus 2.3.9

Analyysin peruslauseessa oletus funktion jatkuvuudesta koko suljetulla ja rajoitetulla välillä on oleellinen. Esimerkiksi huolimattomasti voisi laskea

$$\int_{-1}^1\frac{\d x}{x^2}\stackrel{\text{!}}{=}-\sij{-1}{1}\frac{1}{x}=-(1+1)=-2.$$

Tämän laskun tulos on selvästi virheellinen jo siksi, että integroitava funktio on positiivinen kaikilla $x\ne0$.

Seuraavia vertailuperiaatteita voidaan käyttää epäoleellisen integraalin suppenevuuden tai hajaantuvuuden tutkimiseen.

Lause 2.3.10 (Vertailuperiaate)

Olkoon $-\infty\le a<b\le\infty$ ja oletetaan, että jatkuville funktioille $f(x)$ ja $g(x)$ pätee $0\le f(x)\le g(x)$ aina, kun $f(x)$ ja $g(x)$ on määritelty. Tällöin

1. jos $\displaystyle\int_a^b g(x)\,\d x$ suppenee, niin $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x$ suppenee,
2. jos $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x$ hajaantuu, niin $\displaystyle\int_a^b g(x)\,\d x$ hajaantuu.

Kohtaa 1 kutsutaan majoranttiperiaatteeksi ja kohtaa 2 minoranttiperiaatteeksi.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan ensimmäinen kohta, kun $-\infty<a<\infty$ ja $b=\infty$. Oletuksen nojalla

$$0\le f(x)\le g(x).$$

Lauseen 1.5.5 neljännen kohdan mukaan

$$0\le \int_a^c f(x)\, \d x\le \int_a^c g(x)\, \d x$$

jokaisella $c\in [a,\infty)$. Kun $c\to\infty$, niin

$$0\le \int_a^\infty f(x)\, \d x\le \int_a^\infty g(x)\, \d x<\infty,$$

mistä tulos seuraa. Muut kohdat todistetaan samalla tavalla.

Esimerkki 2.3.11

Tutki epäoleellisten integraalien

1. $\displaystyle\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x+x^3}}$
2. $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}}$

suppenemista.

Piilota/näytä ratkaisu

1. Integraali suppenee, sillä

   $$0\le\frac{1}{\sqrt{x+x^3}}\le\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{3/2}},$$

   kun $x\ge1$ ja $\displaystyle\int_1^\infty\frac{\d x}{x^{3/2}}$ suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Usein tällainen arvio kirjoitetaan lyhyesti

   $$0\le\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x+x^3}}\le\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x^3}}=\int_1^\infty\frac{\d x}{x^{3/2}}<\infty.$$

2. Koska $1+\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}$, kun $x\ge1$, niin voidaan arvioida

   $$\int_0^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}} \ge\int_1^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}} \ge\frac12\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x}}=\infty.$$

   Integraali siis hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla.

Palautusta lähetetään...