- MATH.APP.160
- 2. Integraalikäsitteen laajennuksia ja sovelluksia
- 2.3 Epäoleellinen integraali
Epäoleellinen integraali¶
Edellä integraali määriteltiin vain rajoitetulla välillä \([a,b]\) määritellylle rajoitetulle (yleensä paloittain jatkuvalle) funktiolle. Yleistetään integraalin määritelmä seuraavaksi tapauksiin, joissa
- integroimisväli on rajoittamaton \((-\infty,b]\) tai \([a,\infty)\), tai
- funktio ei ole rajoitettu, jolloin integroimisväli on puoliavoin, eli joko \((a,b]\) tai \([a,b)\).
Näitä integraaleja kutsutaan yhteisesti epäoleellisiksi (improper). Pistettä, jossa funktio ei ole rajoitettu eli jossa funktio saavuttaa mielivaltaisen suuren tai pienen arvon, kutsutaan funktion singulaaripisteeksi. Singulaaripiste sijaitsee puoliavoimen integroimisvälin avoimessa päässä.
Rajoittamaton integroimisväli¶
Integraalia rajoittamattomalla integroimisvälillä voidaan lähestyä laskemalla integraali jollain rajoitetulla välillä edellisen luvun tekniikoita hyödyntäen. Rajoittamaton integroimisväli saadaan huomioitua raja-arvon avulla siten, että rajoitetun välin jommankumman pään annetaan kasvaa tai vähentyä rajatta. Tällöin epäoleelliseksi integraaliksi määritellään näin saatava integraalin raja-arvo, mikäli se on olemassa.
Määritelmä 2.3.1
Olkoon \(f\) jatkuva välillä \([a,\infty)\). Määritellään
Vastaavasti jos \(f\) on jatkuva välillä \((-\infty,a]\), määritellään
Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee (converges), muulloin hajaantuu (diverges).
Lause 2.3.2
Olkoon \(a>0\) ja \(p\) reaaliluku. Tällöin epäoleellinen integraali
suppenee jos ja vain jos \(p > 1\).
Olkoon \(c>a\). Oletetaan ensin, että \(p\ne1\). Tällöin
Tapauksessa \(p=1\)
Potenssifunktioiden integroituvuudessa välillä \([a,\infty)\) funktio \(\frac{1}{x}\) on siis rajatapaus. Vertaa tulosta funktioiden kuvaajiin.
Hajaantuvan integraalin arvo ei välttämättä ole \(\infty\) tai \(-\infty\), vaan integraalin sanotaan hajaantuvan, jos määritelmän 2.3.1 mukainen raja-arvo ei ole olemassa. Seuraavassa esimerkissä raja-arvo säilyy rajoitettuna muttei lähesty mitään arvoa.
Esimerkki 2.3.3
Esimerkiksi
jolla ei ole raja-arvoa, kun \(c\to\infty\). Niinpä esimerkiksi
hajaantuu.
Rajoittamaton funktio¶
Rajoittamattoman funktion integraali voidaan laskea myös raja-arvon avulla. Tällä kertaa funktion integraali lasketaan välillä, jonka toisen pään annetaan lähestyä toispuoleisesti funktion singulaaripistettä. Tällöin epäoleelliseksi integraaliksi määritellään näin saatava integraalin toispuoleinen raja-arvo, mikäli se on olemassa.
Määritelmä 2.3.4
Olkoon \(f\) jatkuva välillä \([a,b)\) ja rajoittamaton pisteessä \(b\). Määritellään
Vastaavasti jos \(f\) on jatkuva välillä \((a,b]\) ja rajoittamaton pisteessä \(a\), määritellään
Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee, muulloin hajaantuu.
Yllä määriteltyjä epäoleellisia integraaleja kutsutaan integraaleiksi yli puoliavoimen välin \([a,b)\) ja \((a,b]\).
Lause 2.3.5
Olkoon \(a>0\) ja \(p\in\R\). Tällöin epäoleellinen integraali
suppenee jos ja vain jos \(p < 1\).
Esimerkki 2.3.6
Suppeneeko vai hajaantuuko \(\displaystyle\int_1^2\frac{\d x}{(x-2)^2}\)?
Integroitava funktio
kun \(x\to 2-\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali yli puoliavoimen välin \([1,2)\) ja
Integraali siis hajaantuu.
Integroimisvälin jako osiin¶
Jos integroimisväli \(I\) on joko \(\mathbb{R}=(-\infty,\infty)\) tai on useampia pisteitä, joiden ympäristöissä \(f\) on rajoittamaton, on integroimisväli jaettava osiin siten, että saadaan epäoleelliset integraalit \(I_1,I_2,\ldots,I_n\), joissa on vain joko määritelmän mukainen rajoittamattoman välin tai rajoittamattoman funktion tapaus. Toisin sanoen jokainen \(I_j\) on muotoa \((a,b]\), \([a,b)\), \((-\infty,b]\) tai \([a,\infty)\). Merkitään muodollisesti jakoa
Tällöin integraalia merkitään
ja se suppenee jos ja vain jos jokainen
kun \(j=1,...,n\), suppenee. Havainnollistetaan tilannetta seuraavien esimerkkien avulla.
Esimerkki 2.3.7
Tutki epäoleellisten integraalien
- \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\d x}{x^2}\),
- \(\displaystyle\int_{-1}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}\),
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\d x}{1+x^2}\)
suppenemista, ja laske arvo suppenevassa tapauksessa.
Integroitava funktio \(\frac{1}{x^2}\to\infty\), kun \(x\to0+\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa osiin
\[\int_0^\infty\frac{\d x}{x^2}=\int_0^1\frac{\d x}{x^2}+\int_1^\infty\frac{\d x}{x^2}.\]Muotoa \(\frac{1}{x^p}\) olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppenemistuloksen mukaan ensimmäinen näistä integraaleista hajaantuu, joten kysytty integraali myös hajaantuu.
Integroitava funktio \(\frac{1}{x^{1/3}}\to\pm\infty\), kun \(x\to0\pm\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa singulaaripisteen \(0\) suhteen osiin
\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}&=\int_{-1}^0\frac{\d x}{x^{1/3}}+\int_0^1\frac{\d x}{x^{1/3}} =\lim_{c\to0-}\int_{-1}^c\frac{\d x}{x^{1/3}}+\lim_{c'\to0+}\int_{c'}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}\\ &=\lim_{c\to0-}\sij{-1}{c}\frac32x^{2/3}+\lim_{c'\to0+}\sij{c'}{1}\frac32x^{2/3} =-\frac32+\frac32=0. \end{aligned}\end{split}\]Huomaa, että raja-arvojen muuttujat \(c\) ja \(c'\) ovat kaksi eri muuttujaa.
Integroitava funktio toteuttaa ehdon \(0<\frac{1}{1 + x^2}\le1\) aina, kun \(x \in \R\) joten se on rajoitettu. Integroimisväli puolestaan on molemmista päistä rajoittamaton, joten integroimisväli täytyy jakaa kahteen osaan. Jaetaan esimerkiksi pisteen \(0\) kohdalta ja saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty\frac{\d x}{1+x^2} &=\int_{-\infty}^0\frac{\d x}{1+x^2}+\int_0^\infty\frac{\d x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\int_c^0\frac{\d x}{1+x^2}+\lim_{c'\to\infty}\int_0^{c'}\frac{\d x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\sij{c}{0}\arctan x+\lim_{c'\to\infty}\sij{0}{c'}\arctan x\\ &=\Big(0-\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)\Big)+\Big(\frac{\pi}{2}-0\Big) =\pi. \end{aligned}\end{split}\]
Huomautus 2.3.8
Epäoleellinen integraali
lasketaan määritelmällisesti aina
missä \(a\) on jokin reaaliluku. Integraali hajaantuu, jos yksikin raja-arvoista hajaantuu. Sen sijaan integraalia
kutsutaan Cauchyn pääarvoksi. Tälle arvolle on omat sovelluksensa, mutta tällä kurssilla epäoleelliset integraalit lasketaan aina tässä osiossa esitettyjen määritelmien mukaisesti.
Huomautus 2.3.9
Analyysin peruslauseessa oletus funktion jatkuvuudesta koko suljetulla ja rajoitetulla välillä on oleellinen. Esimerkiksi huolimattomasti voisi laskea
Tämän laskun tulos on selvästi virheellinen jo siksi, että integroitava funktio on positiivinen kaikilla \(x\ne0\).
Seuraavia vertailuperiaatteita voidaan käyttää epäoleellisen integraalin suppenevuuden tai hajaantuvuuden tutkimiseen.
Lause 2.3.10 (Vertailuperiaate)
Olkoon \(-\infty\le a<b\le\infty\) ja oletetaan, että jatkuville funktioille \(f(x)\) ja \(g(x)\) pätee \(0\le f(x)\le g(x)\) aina, kun \(f(x)\) ja \(g(x)\) on määritelty. Tällöin
- jos \(\displaystyle\int_a^b g(x)\,\d x\) suppenee, niin \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x\) suppenee,
- jos \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x\) hajaantuu, niin \(\displaystyle\int_a^b g(x)\,\d x\) hajaantuu.
Kohtaa 1 kutsutaan majoranttiperiaatteeksi ja kohtaa 2 minoranttiperiaatteeksi.
Todistetaan ensimmäinen kohta, kun \(-\infty<a<\infty\) ja \(b=\infty\). Oletuksen nojalla
Lauseen 1.5.5 neljännen kohdan mukaan
jokaisella \(c\in [a,\infty)\). Kun \(c\to\infty\), niin
mistä tulos seuraa. Muut kohdat todistetaan samalla tavalla.
Esimerkki 2.3.11
Tutki epäoleellisten integraalien
- \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x+x^3}}\)
- \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}}\)
suppenemista.
Integraali suppenee, sillä
\[0\le\frac{1}{\sqrt{x+x^3}}\le\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{3/2}},\]kun \(x\ge1\) ja \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{\d x}{x^{3/2}}\) suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Usein tällainen arvio kirjoitetaan lyhyesti
\[0\le\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x+x^3}}\le\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x^3}}=\int_1^\infty\frac{\d x}{x^{3/2}}<\infty.\]Koska \(1+\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}\), kun \(x\ge1\), niin voidaan arvioida
\[\int_0^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}} \ge\int_1^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}} \ge\frac12\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x}}=\infty.\]Integraali siis hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla.