- MATH.APP.160
- 2. Integraalikäsitteen laajennuksia ja sovelluksia
- 2.2 Integraalin geometrisia sovelluksia
Integraalin geometrisia sovelluksia¶
Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden f,g:[a,b]→R, f(x)≥g(x), kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on
Integraalilla voidaan laskea myös kuvaajan pituutta sekä pyörähdyskappaleiden tilavuutta ja vaipan pinta-alaa.
Lause 2.2.1
Olkoon funktio f:[a,b]→R jatkuvasti derivoituva, eli myös f′ on jatkuva. Funktion f kuvaajan pituus on
Kun funktion f kuvaaja pyörähtää x-akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on
ja kappaleen tilavuus on
Johdetaan kuvaajan pituuden lauseke. Muut lausekkeet johdetaan vastaavalla tarkastelulla ja integraalin määritelmää hyödyntämällä.
Kuvaajan pituutta voidaan lähteä arvioimaan muodostamalla välin [a,b] jako P, joka koostuu äärellisen monesta jakopisteestä xi. Kun funktion f arvot näissä jakopisteissä yhdistetään janoilla, muodostaa janojen pituuksien summa arvion kuvaajan pituudelle. Tämä arvio on sitä parempi, mitä tiheämpi jako P on.
Tarkastellaan janan pituutta osavälillä [xi−1,xi]. Merkitään
Tilannetta on havainnollistettu alla olevassa kuvassa, jossa kuvaajan pituutta arvioidaan punaisella murtoviivalla.
Janan pituus Δsi saadaan nyt laskettua Pythagoraan lauseen avulla, eli
Differentiaalilaskennan väliarvolause takaa, että suljetulta väliltä [xi−1,xi] löytyy vähintään yksi sellainen piste x∗i, jolle
Janan pituus Δsi voidaan siis ilmaista vaihtoehtoisesti muodossa
Kuvaajan pituuden arvio on näin ollen muotoa
ja tämä arvio paranee, kun jaon normi |P| pienenee. Toisin sanoen kuvaajan pituus saadaan yllä olevan lausekkeen raja-arvona, kun |P| lähestyy arvoa 0. Raja-arvon ottaminen puolestaan tuottaa lopputulokseksi määrätyn integraalin määritelmän, eli
ja näin kuvaajan pituuden lauseke on saatu johdettua.
Esimerkki 2.2.2
Mikä on käyrän y=x32 pituus välillä 0≤x≤1? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?
Merkitään y(x)=x32. Nyt y′(x)=32x12 on jatkuva, joten kysytty pituus saadaan kaavalla ??. Siispä
Tilavuus on kaavan ?? mukaan