Processing math: 100%

Integraalin geometrisia sovelluksia

Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden f,g:[a,b]R, f(x)g(x), kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on

A=ba(f(x)g(x))dx.
../_images/integraalifunktioidenkuvajvalala1.svg

Integraalilla voidaan laskea myös kuvaajan pituutta sekä pyörähdyskappaleiden tilavuutta ja vaipan pinta-alaa.

Lause 2.2.1

Olkoon funktio f:[a,b]R jatkuvasti derivoituva, eli myös f on jatkuva. Funktion f kuvaajan pituus on

s=ba1+f(x)2dx.

Kun funktion f kuvaaja pyörähtää x-akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on

A=2πba|f(x)|1+f(x)2dx

ja kappaleen tilavuus on

V=πbaf(x)2dx.
Piilota/näytä todistus

Johdetaan kuvaajan pituuden lauseke. Muut lausekkeet johdetaan vastaavalla tarkastelulla ja integraalin määritelmää hyödyntämällä.

Kuvaajan pituutta voidaan lähteä arvioimaan muodostamalla välin [a,b] jako P, joka koostuu äärellisen monesta jakopisteestä xi. Kun funktion f arvot näissä jakopisteissä yhdistetään janoilla, muodostaa janojen pituuksien summa arvion kuvaajan pituudelle. Tämä arvio on sitä parempi, mitä tiheämpi jako P on.

Tarkastellaan janan pituutta osavälillä [xi1,xi]. Merkitään

Δxi=xixi1jaΔyi=yiyi1=f(xi)f(xi1).

Tilannetta on havainnollistettu alla olevassa kuvassa, jossa kuvaajan pituutta arvioidaan punaisella murtoviivalla.

../_images/kuvaajanpituus.svg

Janan pituus Δsi saadaan nyt laskettua Pythagoraan lauseen avulla, eli

Δsi=(Δxi)2+(Δyi)2=(Δxi)2+(f(xi)f(xi1))2.

Differentiaalilaskennan väliarvolause takaa, että suljetulta väliltä [xi1,xi] löytyy vähintään yksi sellainen piste xi, jolle

f(xi)f(xi1)xixi1=f(xi), eli f(xi)f(xi1)=f(xi)(xixi1)=f(xi)Δxi.

Janan pituus Δsi voidaan siis ilmaista vaihtoehtoisesti muodossa

Δsi=(Δxi)2+(f(xi)Δxi)2=(1+f(xi)2)(Δxi)2Δxi>0=1+f(xi)2Δxi.

Kuvaajan pituuden arvio on näin ollen muotoa

sni=1Δsi=ni=11+f(xi)2Δxi,

ja tämä arvio paranee, kun jaon normi |P| pienenee. Toisin sanoen kuvaajan pituus saadaan yllä olevan lausekkeen raja-arvona, kun |P| lähestyy arvoa 0. Raja-arvon ottaminen puolestaan tuottaa lopputulokseksi määrätyn integraalin määritelmän, eli

s=lim|P|0ni=11+f(xi)2Δxi=ba1+f(x)2dx,

ja näin kuvaajan pituuden lauseke on saatu johdettua.

Esimerkki 2.2.2

Mikä on käyrän y=x32 pituus välillä 0x1? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?

Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään y(x)=x32. Nyt y(x)=32x12 on jatkuva, joten kysytty pituus saadaan kaavalla ??. Siispä

s=101+94xdx=/10827(1+94x)3/2=13138271,44.

Tilavuus on kaavan ?? mukaan

V=π10x3dx=π/1014x4=π4.
Jatkuvien funktioiden f,g:[a,b]R kuvaajien väliin jäävää pinta-alaa kuvaa
Palautusta lähetetään...