$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Kertausta alkeisfunktioista

Alkeisfunktiot ovat keskeisessä roolissa luonnontieteiden ja tekniikan matemaattisessa ilmaisussa. Alkeisfunktioihin kuuluvat lukiosta tutut potenssi- ja juurifunktiot, polynomifunktiot, trigonometriset funktiot ja niiden käänteisfunktiot sekä eksponentti- ja logaritmifunktiot. Näiden lisäksi myös hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot ovat alkeisfunktioita.

Tässä osiossa kerrataan trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot eli arkusfunktiot sekä hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot, joita kutsutaan areafunktioiksi. Arkus- ja areafunktioiden derivaattoja voidaan määrittää käänteisfunktion derivaatan avulla. Näin saadaan hyödyllisiä derivointi- ja integrointikaavoja, joita on koottu liitteisiin ?? ja ??.

Arkusfunktiot

Arkusfunktiot määritellään trigonometristen funktioiden eli sinin, kosinin ja tangentin käänteisfunktioina. Näin saadaan funktiot arkussini $\arcsin$, arkuskosini $\arccos$ ja arkustangentti $\arctan$. Arkusfunktioita voidaan merkitä vaihtoehtoisesti $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ ja $\tan^{-1}$, mutta tätä merkintätapaa ei saa sekoittaa potenssiin $-1$ korottamiseen.

Arkusfunktioiden tarkempi määrittely seuraa suoraan trigonometristen funktioiden määrittelystä. Käänteisfunktion olemassaolo vaatii sen, että alkuperäinen funktio on bijektio. Sini, kosini ja tangentti eivät sellaisenaan ole bijektioita, sillä ne ovat jaksollisia funktioita. Sinin ja kosinin jakso on $2\pi$ ja tangentin $\pi$. Kun trigonometriset funktiot rajataan niin kutsuttuihin päähaaroihinsa, voidaan niille muodostaa edellä mainitut käänteisfunktiot.

Sinin päähaaraksi on sovittu väli $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, jolla $\sin x$ saa kaikki arvot väliltä $[-1,1]$. Siispä arkussini määritellään funktiona $\arcsin : [-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, jolle on voimassa

$$\arcsin(\sin(x)) = x \qquad \text{ja} \qquad \sin(\arcsin(y)))=y$$

kaikilla $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ja $y\in [-1,1]$.

Kosinin päähaaraksi on sovittu väli $[0,\pi]$, jolla $\cos x$ saa kaikki arvot väliltä $[-1,1]$. Siispä arkuskosini määritellään funktiona $\arccos : [-1,1] \to [0,\pi]$, jolle on voimassa

$$\arccos(\cos(x)) = x \qquad \text{ja} \qquad \cos(\arccos(y)))=y$$

kaikilla $x\in[0,\pi]$ ja $y\in [-1,1]$.

Tangentin päähaaraksi on sovittu väli $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, jolla $\tan x$ saa kaikki arvot väliltä $(-\infty,\infty)$. Siispä arkustangentti määritellään funktiona $\arctan : \R \to \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, jolle on voimassa

$$\arctan(\tan(x)) = x \qquad \text{ja} \qquad \tan(\arctan(y)))=y$$

kaikilla $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ ja $y\in \R$.

Esimerkissä 1.3.9 on näytetty arkustangentin osalta, miten arkusfunktioiden derivaatat saadaan johdettua käänteisfunktion derivaatan avulla.

Hyperboliset funktiot

Hyperboliset funktiot ovat yhteydessä trigonometrisiin funktioihin, ja sinille, kosinille ja tangentille määritellään tässä osiossa hyperboliset vastineet. Siinä missä trigonometriset funktiot voidaan määritellä yksikköympyrän avulla, hyperboliset funktiot löydetään vastaavasti yksikköhyperbeliltä. Voidaan johtaa, että hyperboliset funkiot saadaan esitettyä yksinkertaisesti alkeisfunktioiden lineaarikombinaationa, mistä syystä ne määritellään usein irrallaan yksikköhyperbelistä.

Hyperbolisia funktioita esiintyy sovelletussa matematiikassa ja fysiikassa. Esimerkiksi kahdesta pisteestä kiinnitetty vapaasti roikkuva ketju asettuu muotoon, joka voidaan ilmaista hyperbolisen kosinin avulla. Hyperboliset funktiot on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja niiden lausekkeet voidaan ilmaista tiiviisti eksponenttifunktioiden $e^x$ ja $e^{-x}$ avulla.

Määritelmä 7.3.1

Hyperbolinen sini $\sinh$ ja hyperbolinen kosini $\cosh$ ovat reaalifunktioita, joiden lausekkeet ovat

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\qquad\text{ja}\qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$$

Hyperbolinen tangentti $\tanh$ on näiden suhde

$$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}.$$

Funktioiden kuvaajien perusteella hyperbolisen sinin arvojoukko on $\R$, hyperbolisen kosinin $[1,\infty)$ ja hyperbolisen tangentin $(-1,1)$. Näitä hyödynnetään areafunktioiden määritelmissä.

Seuraavat ominaisuudet seuraavat suoraviivaisesti hyperbolisten funktioiden määritelmistä. Ne muistuttavat paljolti trigonometristen funktioiden vastaavia ominaisuuksia.

Lause 7.3.2

Hyperboliset funktiot toteuttavat seuraavat ominaisuudet.

1. $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ kaikilla $x\in\R$
2. :math:`D sinh x = cosh x` ja $D \cosh x = \sinh x$
3. $D \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$

Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkiksi, että :math:` D sinh x = cosh x `. Loput kohdat todistetaan vastaavasti. Eksponenttifunktion derivoimissääntöjen mukaan

$$D \sinh x = D \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x-e^{-x}(-1)}{2} = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \cosh x.$$

Areafunktiot

Hyperbolisista funktioista saadaan bijektioita rajoittamalla niiden määrittely- ja maalijoukkoa. Hyperbolinen sini on jo bijektio, mutta hyperbolisen kosinin ja tangentin maalijoukko $\R$ pitää rajata funktioiden arvojoukoiksi. Lisäksi hyperbolisen kosinin määrittelyjoukko pitää rajata joukoksi $[0,\infty)$, jotta siitä saadaan bijektio. Hyperbolisten käänteisfunktioita kutsutaan areasiniksi $\arsinh$, areakosiniksi $\arcosh$ ja areatangentiksi $\artanh$.

Määritelmä 7.3.3

Areafunktiot ovat käänteisfunktioita hyperbolisille funktioille, jotka on rajattu bijektioiksi.

$$\begin{split}\begin{aligned} &\sinh : \R \to \R && \arsinh : \R \to \R \\ &\cosh : [0, \infty) \to [1, \infty) && \arcosh : [1, \infty) \to [0, \infty) \\ &\tanh : \R \to (-1, 1) && \artanh : (-1, 1) \to \R \end{aligned}\end{split}$$

Näistä funktioista käytetään myös merkintöjä $\arsinh = \sinh^{-1}$, $\arcosh = \cosh^{-1}$ ja $\artanh = \tanh^{-1}$, joita ei tule sekoittaa potenssiin $-1$.

Areafunktioille voidaan kehittää lausekkeet hyperbolisten funktioiden määritelmistä alkaen. Siinä missä hyperbolisissa funktioissa esiintyy eksponenttifunktioita, areafunktiot saadaan esitettyä logaritmifunktion avulla.

Lause 7.3.4

Areasinille, areakosinille ja areatangentille saadaan seuraavat lausekkeet.

1. $\arsinh x = \ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\big),$ kun $x\in\R$
2. $\arcosh x = \ln\big(x+\sqrt{x^2-1}\big), ` kun :math:`x \geq 1$
3. $\artanh x = \frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right),$ kun $-1 < x < 1$

Piilota/näytä todistus

Todistetaan areakosinin lauseke esimerkiksi. Muut kohdat todistetaan vastaavasti. Olkoon $x\in[0,\infty)$ ja $y\in[1,\infty)$ siten, että $\cosh x = y$. Käänteisfunktion lauseke saadaan tästä ratkaisemalla muuttuja $x$ muuttujan $y$ suhteen. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} \cosh x &= y \\ \Longleftrightarrow \frac{e^x+e^{-x}}{2} &= y \\ \Longleftrightarrow e^x+e^{-x} &= 2y \\ \Longleftrightarrow \left(e^x\right)^2 + 1 &= 2ye^x \\ \Longleftrightarrow \left(e^x\right)^2 -2ye^x +1 &= 0 \end{aligned}\end{split}$$

Tämä on toisen asteen yhtälö termin $e^x$ suhteen. Siispä sen ratkaisu saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.

$$\begin{split}\begin{aligned} e^x &= \frac{-(-2y) \pm \sqrt{(-2y)^2-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1} \\ &= y \pm \sqrt{y^2-1} \end{aligned}\end{split}$$

Negatiivinen vaihtoehto pitää hylätä, sillä oletuksesta $x\in[0,\infty)$ seuraa, että

$$e^x = y \pm \sqrt{y^2-1} \geq 1$$

pitää olla aina voimassa, kun $y\in [1,\infty)$. Tämä ei toteudu negatiivisessa tapauksessa. Perustellaan tätä tarkemmin seuraavalla epäyhtälöketjulla.

$$\begin{split}\begin{aligned} y & \geq 1 \\ \Longleftrightarrow 2y &\geq 2 \\ \Longleftrightarrow -1 &\geq -2y + 1 \\ \Longleftrightarrow y^2 -1 &\geq y^2 -2y + 1 \end{aligned}\end{split}$$

Nyt epäyhtälön oikealla puolella on binomin neliö $y^2-2y+1 = (y-1)^2$, joka tunnetusti on aina epänegatiivista. Siispä yllä olevan epäyhtälön viimeisen rivin molemmat puolet ovat epänegatiivisia, ja neliöjuuren ottaminen molemmilta puolilta ei muuta suuruusjärjestystä. Toisin sanoen

$$\sqrt{y^2-1} \geq y-1, \text{ kun }y \geq 1.$$

Tämän avulla voidaan nyt todeta, että kun $y \geq 1$,

$$y-\sqrt{y^2 - 1} \leq y - (y - 1) = 1,$$

missä yhtäsuuruus on voimassa vain, kun $y=1$. Siispä negatiivinen ratkaisuvaihtoehto pitää hylätä, jolloin

$$e^x = y + \sqrt{y^2 - 1} \qquad \Longleftrightarrow \qquad x = \ln \left(y+\sqrt{y^2 - 1}\right),$$

mikä todistaa väitteen.

Palautusta lähetetään...