- MATH.APP.160
- 7. Liitteet
- 7.2 Kompleksiluvut
Kompleksiluvut¶
Tämä liite on otettu suoraan Analyysin peruskurssin opintomonisteesta.
Reaaliluvut eivät riitä!¶
Palautetaan mieleen luonnolliset luvut 1, 2, 3, \ldots, joihin viitataan myös kirjaimella \N. Näitä lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, sillä kahden luonnollisen luvun summa ja tulo on aina myös luonnollinen luku. Vähennyslasku puolestaan ei onnistu kaikilla luonnollisilla luvuilla, sillä esimerkiksi 2 - 7 ei ole esitettävissä luonnollisena lukuna. Tämän puutteen korjaamiseksi otetaan käyttöön kokonaisluvut \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots, joita edustaa kirjain \Z. Jokainen luonnollinen luku on kokonaisluku, ja nyt myös erotus 2 - 7 = -5 on esitettävissä negatiivisena kokonaislukuna.
Kokonaislukujen ongelmana on, että niitä ei voi aina jakaa keskenään. Tiedetään, että 4 : 2 = 2, mutta esimerkiksi 1 : 3 ei ole kokonaisluku. Rationaaliluvut, \Q, muodostuvat kokonaislukujen osamääristä, ja tällöin merkitään 1 : 3 = \frac{1}{3}. Jokainen kokonaisluku on myös rationaaliluku, ja näillä luvuilla voidaan suorittaa kaikkia neljää peruslaskutoimitusta.
Seuraavaksi halutaan ottaa käyttöön myös luvun potenssiin korottaminen ja sen juuren ottaminen. Ensimmäinen ei tuota ongelmia, sillä esimerkiksi potenssi 5^3 määritellään asettamalla 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5. Rationaalilukujen kertolasku tuottaa aina rationaaliluvun, jolloin (kokonaisluku)potenssiin korotus toimii samoin. Juuren ajatus on käänteinen: esimerkiksi luvun \frac{16}{9} neliöjuuren ottaminen tuottaa sen luvun, jonka toinen potenssi on \frac{16}{9}. Koska \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}, merkitään \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}.
Jo neliöjuuren avulla päädytään kahteen hankaluuteen. On mahdollista osoittaa, että \sqrt{2} ei ole rationaaliluku, ts. minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole 2. Tämä kierretään laajentamalla rationaaliluvut reaaliluvuiksi, \R, joihin kuuluu myös muita tuttuja irrationaalilukuja, kuten \pi ja e. Toinen ongelma koskee negatiivisten lukujen neliöjuuria. Niin ikään voidaan todistaa, että \sqrt{-1} ei ole edes reaaliluku. Tämän ongelman kiertämiseksi määritellään kompleksiluvut, \C, joiden ominaisuuksia käsitellään tässä osiossa.
- Kompleksiluvun geometrinen tulkinta ja kompleksitaso
- Liittoluku, sen ominaisuudet ja liittoluvulla laventaminen
- Itseisarvo ja sen ominaisuudet
- Yhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen
- Napakoordinaattimuoto ja eksponenttiesitys
- Moivren kaava
- Kompleksiluvun kompleksiset juuret
- Algebran peruslause ja polynomin jako tekijöihin
Peruslaskutoimitukset¶
Määritelmä 7.2.1
Kompleksiluvut, \C, koostuvat luvuista z = a + b\iu, missä a ja b ovat reaalilukuja, sekä \iu on imaginaariyksikkö. Kompleksilukujen summa määritellään kaavalla
ja tulo kaavalla
Havaitaan, että kompleksilukujen summa ja tulo ovat myös kompleksilukuja, sillä edellisessä määritelmässä luvut a + c, b + d, ac - bd ja ad + bc ovat reaalilukuja. Kompleksiluvusta käytetään myös merkintöjä
Kompleksilukuja voidaan havainnollistaa esittämällä ne pisteinä tai vektoreina kompleksitasossa (complex plane), kuten alla olevassa kuvassa.
Kompleksiluku a + 0\iu samastetaan reaaliluvun a kanssa ja merkitään a + 0\iu = a. Niinpä voidaan sanoa, että jokainen reaaliluku on myös kompleksiluku. Samoin voidaan merkitä 0 + b\iu = b\iu. Erityisesti
Imaginaariyksikkö \iu on siis myös kompleksiluku. Otetaan käyttöön seuraava kompleksilukua z=a+b\iu koskeva terminologia.
- a = \re z on luvun z reaaliosa ja b = \im z on luvun z imaginaariosa.
- Jos b = 0, luku z on reaalinen.
- Jos b \ne 0, luku z on imaginaarinen.
- Jos a = 0 ja b \ne 0, luku z on puhtaasti imaginaarinen.
Kompleksiluvut z ja w ovat samoja, jos niiden reaali- ja imaginaariosat ovat samoja. Toisin sanoen z = w jos ja vain jos \re z = \re w ja \im z = \im w.
Määritelmä 7.2.2
Kompleksiluvun z=a+b\iu vastaluku (negative) on
(jolloin z+(-z)=0). Kompleksilukujen z=a+b\iu ja w=c+d\iu erotus (difference) z-w määritellään asettamalla
Lasketaan reaaliluvun t=t+0\iu ja kompleksiluvun a+b\iu tulo määritelmän mukaan.
eli samaan tulokseen päästään vain kertomalla sekä reaali- että imaginaariosa luvulla t. Tiivistetysti voidaan todeta, että kompleksilukujen summa, vastaluku, erotus ja reaaliluvulla kertominen toimivat täsmälleen samoin kuin tasovektorien vastaavat operaatiot. Näiden geometriset tulkinnat voidaan siis esittää kuten alla.
Esimerkki 7.2.3
- \re(-2-3\iu)=-2 ja \im(-2-3\iu)=-3
- (3-2\iu)-(-5+3\iu)=8-5\iu
Kompleksilukujen kertolaskun määritelmästä seuraa mielenkiintoinen ja hyödyllinen luvun \iu ominaisuus.
Lause 7.2.4
\iu^2=\iu\cdot \iu=-1.
Kirjoitetaan \iu=0+1\iu ja lasketaan tulo määritelmän mukaan. Nyt a=c=0 ja b=d=1, joten
Käsitellään seuraavaksi kompleksilukuja a+b\iu ja c+d\iu kuten reaalisia binomeja ja lasketaan niiden tulo käyttämällä tulosta \iu^2 = -1.
Tulos on sama kuin kertolaskun määritelmässä, joten kompleksilukujen tulo voidaan laskea kuten binomien tulo osittelulakia käyttäen. Tulon geometriseen tulkintaan palataan myöhemmin.
Esimerkki 7.2.5
(-3-2\iu)(5+\iu)=-15-3\iu-10\iu-2\iu^2=-13-13i.
Reaaliluvuille a=a+0\iu ja b=b+0\iu kompleksilukujen laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaaliset laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan lauseen mukaan kaikkia tuttuja laskusääntöjä saa soveltaa myös kompleksilukuja käsiteltäessä
Lause 7.2.6
Jokaisella kompleksiluvulla z\ne0 on olemassa yksikäsitteinen käänteisluku (reciprocal) z^{-1}, joka toteuttaa ehdon zz^{-1}=1.
Käänteisluvun olemassaolo ja yksikäsitteisyys on todistettava erikseen. Olkoon z=a+b\iu\ne0 ja merkitään
Suoralla laskulla nähdään, että
eli luku w toteuttaa käänteisluvun ehdon. Täten z^{-1} = w on olemassa.
Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi väitetään, että u ja v ovat luvun z \not= 0 käänteislukuja, eli esimerkiksi uz = 1 ja zv = 1. Tällöin kuitenkin välttämättä
eli luvut u ja v ovat samat. Täten käänteisluku on yksikäsitteinen.
Koska jokaiselle nollasta poikkeavalle kompleksiluvulle löytyy käänteisluku, niille on mahdollista määritellä jakolasku vastaavasti kuin reaaliluvuille.
Määritelmä 7.2.7
Kompleksilukujen z ja w osamäärä (quotient) \dfrac{z}{w}, missä w\ne0, määritellään asettamalla
Erityisesti \dfrac{1}{w}=1 \cdot w^{-1}=w^{-1}.
Reaaliluvuille a=a+0\iu ja b=b+0\iu kompleksiset laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaalilukujen laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan luvun mukaan kompleksiset laskutoimitukset toteuttavat samat peruslait kuin reaalilukujen laskutoimitukset. Siis kompleksilukujen laskutoimitukset laajentavat reaalilukujen laskutoimitukset \R^2:een.
Lause 7.2.8
Kun x, y ja z ovat kompleksilukuja, niin
- x + y = y + x ja xy = yx (vaihdantalait),
- x + (y + z) = (x + y) + z ja x(yz) = (xy)z (liitäntälait),
- x(y + z) = xy + xz (osittelulaki).
Nämä voidaan todistaa suorilla laskuilla, kun sopivissa välivaiheissa sovelletaan reaalilukujen laskusääntöjä. Todistetaan esimerkkinä tulon vaihdantalaki. Merkitään x=x_1+x_2\iu ja y=y_1+y_2\iu. Tällöin
Muut kohdat vastaavasti.
Lemma 7.2.9
Jos z \not= 0 ja w \not= 0 ovat kompleksilukuja, niin (zw)^{-1} = z^{-1}w^{-1}, eli
Määritelmän nojalla zz^{-1}=1 ja ww^{-1}=1, joten tulon liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla
Niinpä z^{-1}w^{-1} on luvun zw käänteisluku.
Tästä tuloksesta seuraa, että tavanomainen laventaminen ja supistaminen on luvallista myös kompleksiluvuilla. Jos z\ne0, niin zz^{-1} = 1 ja siten
Laventaminen tarjoaa yksinkertaisimman tavan etsiä kompleksiluvun käänteisluku. Suoralla laskulla voidaan tarkistaa, että (a + b\iu)(a - b\iu) = a^2 + b^2, missä a ja b ovat reaalisia. Tällöin myös luku a^2 + b^2 on reaalinen, eli
joka on sama luku kuin aiemmassa lauseen 7.2.6 todistuksessa.
Esimerkki 7.2.10
- Etsi luvun 2 + 3\iu käänteisluku muodossa a + b\iu.
- Ilmoita luku \dfrac{3 - 4\iu}{-2 + \iu} muodossa a + b\iu.
- Ratkaise z muodossa a + bi yhtälöstä (2 - \iu)z = 1 + \iu.
Hyödynnetään sopivalla luvulla laventamista.
Lavennetaan luvulla 2 - 3\iu.
(2+3\iu)^{-1}=\frac{1}{2+3\iu}=\frac{2-3\iu}{(2+3\iu)(2-3\iu)}=\frac{2-3\iu}{4-9\iu^2}=\frac{2-3\iu}{13}=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}\iuLavennetaan luvulla -2 - \iu.
\frac{3-4\iu}{-2+\iu}=\frac{(3-4\iu)(-2-\iu)}{(-2+\iu)(-2-\iu)}=\frac{-10+5\iu}{5}=-2+\iuRatkaisu on olemassa, sillä luvulla 2 - \iu on käänteisluku. Jaetaan yhtälö puolittain sillä ja lavennetaan luvulla 2 + \iu.
z=\frac{1+\iu}{2-\iu}=\frac{(1+\iu)(2+\iu)}{(2-\iu)(2+\iu)}=\frac{1+3\iu}{5}=\frac15+\frac35\iu\qedhere
Liittoluku ja itseisarvo¶
Määritelmä 7.2.11
Kompleksiluvun z=a+b\iu liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) \overline{z} määritellään asettamalla
Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli b < 0, niin sen liittoluvun imaginaariosa -b on positiivinen.
Esimerkki 7.2.12
\overline{-2-3\iu}=-2+3\iu.
Lause 7.2.13
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin
- \overline{\overline{z}}=z
- \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}
- \overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}
- \overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\quad(w\ne 0)
- z on reaalinen jos ja vain jos z=\overline{z}.
Merkitään z=a+b\iu ja w=c+d\iu ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt
ja jos w \not= 0, niin
Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä.
Määritelmä 7.2.14
Kompleksiluvun z=a+b\iu itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) |z| määritellään asettamalla
Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.
Esimerkki 7.2.15
\left|-2-3\iu\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}
Lause 7.2.16
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin
- |z|^2=z\overline{z}
- |z|=0 jos ja vain jos z=0
- |z|=|\overline{z}|
- |zw|=|z||w|
- \left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\quad(w\ne 0)
- |z+w|\le|z|+|w|\quad (kolmioepäyhtälö)
Merkitään z = a + b\iu ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt
ja tätä hyödyntämällä nähdään, että
eli |zw| = |z||w|. Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua |z+w| edustaa summavektorin pituus, kun |z| ja |w| ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.
Täsmällisempi todistus sivuutetaan.
Huomautus 7.2.17
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin |z - w| on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.
Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä z=x+y\iu, missä x ja y ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja xy-koordinaatistossa.
Esimerkki 7.2.18
Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.
- \overline{z} - z = \iu\overline{z} + 4
- \left|\dfrac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = 1
- |z - (2 + 3\iu)| = 2
Merkitään kaikissa kohdissa z = x + y\iu, missä x ja y ovat reaalilukuja.
Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon
\begin{split}\begin{aligned} &&x-y\iu-(x+y\iu)&=\iu(x-y\iu)+4\\ \Leftrightarrow&&-2y\iu&=x\iu+y+4\\ \Leftrightarrow&&-(y + 4)-(x + 2y)\iu&=0. \end{aligned}\end{split}Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten -(y + 4) = 0 ja -(x + 2y) = 0, eli y = -4 ja x = -2y = 8. Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on z = 8 - 4\iu.
Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava z \not= 1. Tällöin myös
\left|\frac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = \frac{|z - 2\iu|}{|z - 1|} = 1,eli |z - 2\iu| = |z - 1|. Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.
\begin{split}\begin{aligned} &&|x+y\iu-2\iu|&=|x+y\iu-1|\\ \Leftrightarrow&&|x+(y-2)\iu|&=|(x-1)+y\iu|\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2+(y-2)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ \Rightarrow&&x^2+y^2-4y+4&=x^2-2x+1+y^2\\ \Leftrightarrow&&y&=\frac12x+\frac34 \end{aligned}\end{split}Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle |z-2\iu|=|z-1| on, että haetaan kaikki ne pisteet z, jotka ovat yhtä kaukana luvuista 2\iu ja 1.
Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon
\begin{split}\begin{aligned} &&|x+y\iu-(2+3\iu)|=|(x-2)+(y-3)\iu|&=2\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=2\\ \Rightarrow&&(x-2)^2+(y-3)^2&=4. \end{aligned}\end{split}Ratkaisujoukko on siis kompleksitason 2-säteinen ympyrä keskipisteenään 2 + 3\iu. Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön |z - w| = r toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut z, joiden etäisyys luvusta w on r.
Napakoordinaattimuoto¶
Kompleksiluku z=x+y\iu voidaan ilmaista myös napakoordinaattien (polar coordinates) r ja \theta avulla, missä r=|z| on luvun z etäisyys origosta kompleksitasossa ja \theta on luvun z paikkavektorin ja reaaliakselin välinen kulma mitattuna reaaliakselista vastapäivään. Kosinin ja sinin määritelmien mukaan kulmaa \theta vastaava kehäpiste yksikköympyrällä on (\cos\theta,\sin\theta), joten r-säteisellä ympyrällä kehäpiste on (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta). Niinpä kompleksiluvun z napakoordinaattimuoto (polar form) on
Kulmaa \theta merkitään myös \theta=\arg z ja kutsutaan vaihekulmaksi eli argumentiksi (argument).
Reaali- ja imaginaariosien x ja y ja napakoordinaattien r ja \theta välinen riippuvuus on siis
Tapauksessa 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2} riippuvuudet voidaan lukea myös seuraavan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta.
Käänteiseen suuntaan muunnoskaavat voidaan kirjoittaa muodossa
Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan laskea argumentiksi suoraan \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right) silloin, kun -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}, eli kun \re(x + y\iu ) = x > 0. Muissa tapauksissa kulman osuminen oikeaan neljännekseen tulee erikseen pohtia esimerkiksi kuvan avulla. Argumentti \theta ei ole yksikäsitteinen, sillä siihen voidaan lisätä tai vähentää mielivaltainen määrä kokonaisia kierroksia ja päätyä jälleen samaan lukuun, eli
Tilanteesta ja sovelluksesta riippuen käsiteltävä argumentti on tapana valita väliltä [0,2\pi] tai [-\pi,\pi].
Esimerkki 7.2.19
Esitä kompleksiluvut z = \sqrt{3} + \iu ja w = -3 + \iu napakoordinaattimuodossa.
Napakoordinaattimuotoa varten lasketaan kummankin luvun itseisarvo ja jokin vaihekulma. Itseisarvoiksi lasketaan
Merkitään \theta = \arg z ja \varphi = \arg w, jolloin \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} ja \tan\varphi = -\frac{1}{3}. Piirretään kuva.
Kulma \theta voidaan päätellä muistikolmiosta, jolloin saadaan \theta = \frac{\pi}{6}. Kulman \varphi määrittämiseksi lasketaan ensin esimerkiksi \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}3218. Koska luku w sijoittuu kompleksitason toiseen neljännekseen, tähän tulokseen voidaan lisätä \pi oikean vaihekulman löytämiseksi. Siis \varphi = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi \approx 2{,}820, eli
Lause 7.2.20
Jos z_1=r_1(\cos\theta_1+\iu \sin\theta_1) ja z_2=r_2(\cos\theta_2+\iu \sin\theta_2), niin
- z_1z_2=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+\iu \sin(\theta_1+\theta_2)\big),
- \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2} \big(\cos(\theta_1-\theta_2)+\iu \sin(\theta_1-\theta_2)\big), kun z_2 \not= 0.
Lasketaan.
missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa sinin ja kosinin summakaavoista. Osamäärä \frac{z_1}{z_2} lasketaan vastaavasti, kun ensin on lavennettu nimittäjän liittoluvulla \overline{z}_2.
Tämä lause mahdollistaa kompleksilukujen tulon ja osamäärän geometrisen tulkinnan. Ensimmäisen kaavan mukaan tulon z_1z_2 itseisarvo on r_1r_2, eli tekijöiden itseisarvojen tulo ja vastaavasti tulon argumentti on \theta_1+\theta_2, eli tekijöiden argumenttien summa. Osamäärän z_1/z_2 tulkinnassa puolestaan sen itseisarvoksi tulee r_1/r_2 ja argumentiksi \theta_1 - \theta_2.
Tulon ja osamäärän tulkinnat ovat erityisen yksinkertaisia silloin, kun kertojan ja jakajan itseisarvo on 1. Tällaiset luvut ovat muotoa \cos\theta + \iu \sin\theta jollakin reaalisella vaihekulmalla \theta, sillä
Tällä luvulla kertominen tai jakaminen jättää toisen luvun itseisarvon sikseen, jolloin kyseessä on vain kierto kulman \theta tai -\theta verran. Esimerkiksi luvulla \iu =\cos\frac{\pi}{2}+\iu \sin\frac{\pi}{2} kertominen vastaa kiertoa kulman \frac{\pi}{2} verran vastapäivään ja jakaminen samanlaista kiertoa myötäpäivään.
Kompleksilukujen potenssit z^n ja z^{-n}, missä n on luonnollinen luku, määritellään samoin kuin reaaliluvuille. Luku z^{-n} on luvun z^n käänteisluku, eli z^{-n} = 1/z^n ja z^0 = 1 aina, kun z \not= 0.
Esimerkki 7.2.21
Laske (1 + \iu )^9 ja (1 + \iu )^{-9}.
Suoraan määritelmän avulla voidaan laskea esimerkiksi
jolloin
Reaalisten binomien tapaan myös kompleksilukujen korkeat potenssit käyvät työläiksi laskea suoraan. Napakoordinaattiesitys tarjoaa tähän kuitenkin eräänlaisen oikotien.
Lause 7.2.22 (Moivren kaava)
Jos z=r(\cos\theta+\iu \sin\theta) ja n on luonnollinen luku, niin
Todistetaan väite induktiolla. Jos n = 1, väite on selvästi tosi. Oletetaan sitten, että se on tosi jollakin luonnollisella luvulla k, eli että
Nyt potenssi z^{k + 1} on
eli väite on tosi. Täten kaava toteutuu kaikilla luonnollisilla luvuilla n induktioperiaatteen nojalla.
Esimerkki 7.2.23
Laske (1 + \iu)^9 ja (1 + \iu)^{-9} Moivren kaavan avulla.
Luvun 1 + \iu napakoordinaattiesitys on \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \iu\sin\frac{\pi}{4}\right) (tarkista). Tällöin Moivren kaavan mukaan
ja tämän käänteisluku
Eksponenttifunktio ja eksponenttiesitys¶
Palautetaan mieleen reaalisen eksponenttifunktion e^x määritelmä ja ominaisuudet. Pyritään laajentamaan eksponenttifunktion käsitettä kattamaan myös kompleksiset eksponentit. Tämä halutaan tehdä niin, että funktio käyttäytyy reaalisilla muuttujan arvoilla kuten aiemminkin. Käy ilmi, että on olemassa vain yksi tapa määritellä tällainen laajennus.
Määritelmä 7.2.24
Kompleksimuuttujan z = x + \iu y eksponenttifunktio saa arvokseen
Kun kompleksisen eksponenttifunktion arvoa verrataan napakoordinaattiesitykseen, havaitaan että luvun e^z itseisarvo on |e^z| = e^x ja argumentti \arg e^z = y, missä x = \re z ja y = \im z. Mikäli z on puhtaasti reaalinen, e^{z} = e^{x}(\cos 0 + \iu \sin 0) = e^x, eli kompleksinen eksponenttifunktio saa saman arvon kuin tuttu reaalinen versio. Myös tutut laskusäännöt ovat voimassa kompleksiselle eksponenttifunktiolle.
Lause 7.2.25
Jos z_1, z_2, z \in \C, niin e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2} ja e^{-z}=\dfrac{1}{e^z}.
Merkitään z_1=x_1+\iu y_1 ja z_2=x_2+\iu y_2. Reaalisen eksponenttifunktion ja kompleksilukujen kertolaskun ominaisuuksia hyödyntäen voidaan kirjoittaa yhtälö
Jälkimmäisen väitteen todistuksessa käytetään hyväksi jo todistettua ensimmäistä väitettä. Koska
niin jakamalla puolittain luvulla e^z saadaan
Jos eksponenttifunktion muuttuja z = x + \iu y saa puhtaasti imaginaarisen arvon, eli x = 0, saadaan erityisen tärkeä Eulerin kaava
Yhtälö muistuttaa huomattavasti kompleksiluvun napakoordinaattiesitystä, ja sille saadaankin Eulerin kaavan avulla lyhyt merkintä
Muotoa z=re^{\iu \theta} kutsutaan napakoordinaattiesityksen eksponenttimuodoksi. Sen avulla esitettynä kerto- ja jakolasku, komplementointi ja Moivren kaava voidaan kirjoittaa muodoissa
- z_1z_2=r_1e^{\iu \theta_1}r_2e^{\iu \theta_2}=r_1r_2e^{\iu (\theta_1+\theta_2)},
- \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1e^{\iu \theta_1}}{r_2e^{\iu \theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{\iu (\theta_1-\theta_2)},
- \overline{z}=\overline{re^{\iu \theta}}=re^{-\iu \theta},
- z^n=\big(re^{\iu \theta}\big)^n=r^ne^{\iu n\theta}.
Näistä 1 ja 2 seuraavat suoraan aiemmasta lauseesta ja 4 on vain Moivren kaavan napakoordinaattiesitys kirjoitettuna eksponenttifunktion avulla. Kohta 3 seuraa siitä, että \cos(-\theta) = \cos\theta ja \sin(-\theta) = -\sin\theta kaikilla argumentin \theta arvoilla.
Korostetaan vielä, että |re^{\iu \theta}|=r ja \arg(re^{\iu \theta})=\theta, eli luvulla re^{\iu \theta} kertominen tarkoittaa geometrisesti pituuden kertomista luvulla r ja kiertoa kulman \theta verran.
Esimerkki 7.2.26
Olkoon z=\sqrt3-\iu ja w=2+2\iu. Muunna z ja w napakoordinaattimuotoon re^{\iu \theta} ja laske zw ja z/w.
Jälleen on etsittävä lukujen z ja w itseisarvot ja argumentit.
Luku z sijoittuu neljänteen neljännekseen, joten \arg z = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}, missä kulman tarkka arvo voidaan lukea muistikolmiosta. Vastaavasti, koska w on ensimmäisessä neljänneksessä, \arg w = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4}. Täten z = 2e^{-\iu \frac{\pi}{6}} ja w = 2\sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{4}}, sekä
Esimerkki 7.2.27
Olkoon z=2-2\iu ja w=-5. Esitä z ja w muodossa re^{\iu \theta} ja laske zw, w/z, \overline{z} ja z^5.
Edellistä esimerkkiä mukaillen nähdään, että z=2\sqrt2e^{-i\pi/4}. Lisäksi erityistapauksena Eulerin kaavasta -1 = e^{\iu \pi}, jolloin w=5e^{\iu \pi}. Täten
Tässä viimeisessä kohdassa kulma -5\pi/4 ei sisälly kumpaankaan väleistä [-\pi,\pi] tai [0,2\pi], joten luvun z^5 argumentti on syytä palauttaa muotoon \arg z^5 = -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4}.
Huomautus 7.2.28
Tekniikassa napakoordinaattimuodolle käytetään myös merkintää
eli esimerkiksi
Esimerkki 7.2.29
Eulerin kaavasta saadaan tekniikassa usein käytetyt yhteydet trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktion välille. Laskemalla kaavat
puolittain yhteen ja vähentämällä ne puolittain saadaan kosinin ja sinin muunnoskaavat
Esimerkki 7.2.30
Moivren kaavan mukaan
Toisaalta suoraan laskemalla nähdään, että
Vertaamalla yhtälöiden oikeiden puolten reaali- ja imaginaariosia saadaan trigonometriset kaksoiskulmakaavat
Myös muita trigonometrisiä identiteettejä voidaan todistaa vastaavasti.
Kompleksiluvun juuret¶
Määritelmä 7.2.31
Olkoon n luonnollinen luku. Kompleksiluvun z \not= 0 n:s juuri (root) on mikä tahansa kompleksiluku w, joka toteuttaa yhtälön
Reaaliluvun y reaalijuuria tarkasteltaessa voidaan tunnistaa seuraavat, kuvan avulla helposti muistettavat tapaukset.
- Jos n on pariton, on täsmälleen yksi reaalinen juuri \sqrt[n]{y}.
- Jos n on parillinen ja y < 0, ei ole reaalisia juuria.
- Jos n on parillinen ja y>0, on täsmälleen kaksi reaalista juurta -\sqrt[n]{y} ja \sqrt[n]{y}.
Esimerkki 7.2.32
Luvun -1 eräät toiset juuret ovat \iu ja -\iu, sillä
\iu^2=-1\qquad\text{ja}\qquad (-\iu)^2=\iu^2=-1.Löydätkö muita kompleksilukuja, joiden neliö on -1?
Luvun -8 = 8e^{\iu \pi} eräs kolmas juuri on 2e^{\iu \pi/3}, sillä
\left(2e^{\iu \pi/3}\right)^3=2^3e^{\iu (\pi/3)\cdot 3}=8e^{\iu \pi}=-8.Mitkä muut luvut voisivat olla reaaliluvun -8 kolmansia juuria? Ovatko ne kaikki kompleksisia?
Jos tarkastellaan vain reaalilukuja, mahdollinen juurten lukumäärä vaihtelee nollasta kahteen. Kompleksilukujen mukaan ottaminen ikäänkuin täydentää juurten etsimisen teorian, sillä tällöin jokaisella luvulla on täsmälleen n kappaletta n:siä juuria.
Lause 7.2.33
Kompleksiluvulla z=re^{\iu\theta}\ne0 on täsmälleen n erisuurta n:ttä juurta, jotka sijaitsevat \sqrt[n]{r}-säteisellä origokeskisellä ympyrällä tasaisesti kulman \frac{2\pi}{n} välein.
Oletetaan, että kompleksiluku se^{\iu\varphi} on luvun z n:s juuri, jolloin on siis oltava s^ne^{\iu n\varphi} = z = re^{\iu \theta}. Jotta kaksi kompleksilukua voisivat olla yhtä suuria, niiden itseisarvojen on oltava samat. Tästä päätellään, että s^n = r. Tässä r > 0 on reaaliluku, joten reaalinen n:s juuri on olemassa. Lisäksi luvun s on oltava myös positiivinen, sillä se on kompleksiluvun itseisarvo. Siis s = \sqrt[n]{r}.
Myös molempien lukujen eksponenttiosien on oltava yhtä suuret, eli e^{\iu n\varphi} = e^{\iu \theta}. Tämä ehto toteutuu varmasti, jos n\varphi = \theta. Muistetaan kuitenkin, että kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, vaan sitä voidaan aina kasvattaa tai vähentää luvun 2\pi verran aiheuttamatta muutoksia. Tämän vuoksi siis yleisesti n\varphi = \theta + 2\pi k, missä k on kokonaisluku. Argumentti saadaan ratkaistua jakamalla luvulla n, jolloin siis luvun z = re^{\iu \theta} n:net juuret ovat muotoa
missä k on kokonaisluku. Koska kaikkien juurten itseisarvo on \sqrt[n]{r}, ne kaikki sijaitsevat \sqrt[n]{r}-säteisellä origokeskisellä ympyrällä. Jokainen parametrin k valinta ei tuota erillistä juurta, sillä
Yhteensä n eri juurta saadaan siis tuotettua valitsemalla luvuksi k esimerkiksi kokonaisluvut 0, 1, 2, \ldots, n - 1. Peräkkäisten juurten vaihe-ero on
kuten väitettiinkin.
Huomautus 7.2.34
Kompleksiluvun z n:ttä juurta merkitään joskus z^{1/n} tai \sqrt[n]{z}. Näiden merkintöjen kanssa on kuitenkin oltava varovainen, sillä juuria on n kappaletta. Erityisesti tällä merkintätavalla \sqrt{-1}=\iu ja \sqrt{-1}=-\iu, mutta silti \iu \not= -\iu!
Käytännössä kompleksiluvun re^{\iu \theta} juuret voi etsiä suoraan edellä esitetyn kaavan avulla, kun parametrin k arvoa vaihtelee sopivasti. Toinen helppo keino hakea yksi juuri kirjoittamalla suoraan
ja muistaa, että loput juuret löytyvät kasvattamalla tämän argumenttia \frac{2\pi}{n} kerrallaan. Olennaisinta on kuitenkin, että kompleksiluvun juuret on ylivoimaisesti helpoin löytää eksponenttimuodon avulla! Kuvan piirtäminen selventää useissa tapauksissa ratkaisua.
Esimerkki 7.2.35
Etsi
- luvun 1 neljännet juuret, eli neljännet yksikönjuuret,
- luvun 1 + \iu kolmannet juuret.
Kirjoitetaan 1 = 1e^{\iu \cdot 0}, jolloin sen erilliset neljännet juuret ovat
w_k = \sqrt[4]{1}e^{\iu (0 + 2\pi k)/4} = e^{\iu \frac{\pi}{2}k}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2, 3.Juuret ovat siis w_0 = e^{\iu \cdot 0} = 1, w_1 = e^{\iu \frac{\pi }{2}} = \iu, w_2 = e^{\iu \pi} = -1 ja w_3 = e^{\iu \frac{3\pi}{2}} = -\iu. Toinen tapa olisi havaita, että w_0 = \sqrt[4]{1}e^{\iu \cdot 0} = 1 on eräs juuri, jonka jälkeen loput juuret löytyvät kulman \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} välein, eli w_1 = \iu, w_2 = -1 ja w_3 = -\iu. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.
Kirjoitetaan 1 + \iu = \sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{4}}, jolloin sen erilliset kolmannet juuret ovat
w_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)/3} = \sqrt[6]{2}e^{\iu \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}k\right)}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2.Juuret ovat siis w_0 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{\pi}{12}}, w_1 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{3\pi}{4}} ja w_2 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{17\pi}{12}} = \sqrt[6]{2}e^{-\iu \frac{7\pi}{12}}. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.
Kompleksinen polynomi¶
Kompleksikertoiminen polynomi määritellään kuten vastaava reaalikertoiminen polynomi: astetta n oleva polynomi (polynomial) p on muuttujan x lauseke
missä kertoimet (coefficients) a_0,a_1,\ldots,a_n ovat kompleksisia vakioita ja korkeimman asteen termin kerroin a_n\ne0.
Merkinnällä p(z), missä z on kompleksiluku, tarkoitetaan polynomin p arvoa (value) pisteessä z, ja se voidaan selvittää kirjoittamalla muuttujan x paikalle luku z ja sieventämällä syntyvä lauseke. Jos halutaan selventää, minkä muuttujan polynomista on kyse, voidaan merkitä p = p(x).
Esimerkki 7.2.36
- Polynomin p=7x^5-\iu x^2+3x+1+\iu aste \deg p = 5 ja sen arvo pisteessä \iu on p(\iu)=7\iu^5-\iu^3+3\iu+1+\iu=1+12\iu.
- Toisen ja kolmannen asteen polynomien x^2+1 ja 3x^3-2x+1 tulo on viidennen asteen polynomi (x^2+1)(3x^3-2x+1)=3x^5+x^3+x^2-2x+1.
Lause 7.2.37 (Algebran peruslause)
Jokaisella vähintään ensimmäistä astetta olevalla polynomilla on ainakin yksi nollakohta kompleksitasossa.
Määritelmä 7.2.38
Olkoon p polynomi ja k luonnollinen luku. Jos p=(x-z)^kq, missä q\ne0 on polynomi, niin kompleksiluku z on polynomin p k-kertainen nollakohta.
Esimerkki 7.2.39
Polynomilla
on yksinkertainen nollakohta -2 ja kaksinkertainen nollakohta 3. Monikerrat huomioiden voidaan sanoa myös, että polynomin p nollakohdat ovat -2, 3 ja 3.
Algebran peruslauseesta, eli vähintään yhden nollakohdan olemassaolosta seuraa myös n:n nollakohdan olemassaolo.
Lause 7.2.40
Polynomilla p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0, jonka aste \deg p = n, on monikerrat huomioiden täsmälleen n kompleksista nollakohtaa. Jos nollakohdat ovat z_1, \ldots, z_n, niin polynomi p voidaan esittää muodossa
Algebran peruslauseen mukaan polynomilla p on vähintään yksi nollakohta. Merkitään täksi nollakohdaksi z_1, jolloin binomi x - z_1 jakaa polynomin p, eli
missä polynomin q_{1} aste on n-1. Algebran peruslauseen mukaan polynomilla q_{1} on kompleksinen nollakohta z_2, joten q_1 = (x - z_2)q_2 ja
missä polynomin q_{2} aste on n-2. Menettelyä voidaan jatkaa kunnes viimeisenä saadun osamäärän q_n aste on nolla. Samalla on tuotettu täsmälleen n nollakohtaa polynomille p. Tällöin q_n on vakiopolynomi c ja polynomi p voidaan kirjoittaa tulona
Jos nyt tämä tulo lasketaan, tuloksena syntyvän polynomin n. asteen termiksi saadaan cx^n. Sen on kuitenkin oltava sama kuin polynomin p korkeimman asteen termi a_nx^n, eli c=a_n ja väitteen viimeinen osa on todistettu.
Matala-asteisten polynomien tapauksessa voidaan löytää yleisiä ratkaisukaavoja, joissa nollakohdat määräytyvät suoraan polynomin kertoimista.
Lause 7.2.41
Toisen asteen polynomiyhtälön ax^2 + bx + c = 0 juuret ovat
missä \sqrt{b^2 - 4ac} tarkoittaa kompleksiluvun b^2 - 4ac toista juurta.
Jotta yhtälö todella olisi toista astetta, oletetaan että a \not= 0. Tällöin yhtälön vasen puoli voidaan täydentää neliöksi seuraavalla tavalla.
Kompleksiluvulla \Delta = b^2 - 4ac on napakoordinaattiesitys \Delta = |\Delta|e^{\iu \theta}, missä \theta = \arg\Delta. Täten sen toiset juuret ovat
Tässä kuitenkin e^{\iu \pi} = -1, joten w_1 = -w_0. Merkitään esimerkiksi juurta w_0 = \sqrt{b^2 - 4ac}, jolloin yhtälön ratkaisut voidaan esittää muodossa
Näiden lineaaristen yhtälöiden ratkaisut voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa
Huomautus 7.2.42
Reaalisten kertoimien tapauksessa yhtälöllä ax^2 + bx + c = 0 on reaaliset ratkaisut vain, jos \Delta = b^2 - 4ac \geq 0. Tällöin ei myöskään tarvitse tehdä eroa luvun \Delta toisen juuren ja neliöjuuren välille. Tapauksessa \Delta < 0 ratkaisukaavan käyttämiseksi on etsittävä negatiivisen reaaliluvun toiset juuret. Napakoordinaateissa \Delta = |\Delta|e^{\iu \pi}, joten luvun \Delta toiset juuret ovat w_0 = \sqrt{|\Delta|}e^{\iu \frac{\pi}{2}} = \iu \sqrt{|\Delta|} ja w_1 = -\iu \sqrt{|\Delta|}. Merkitsemällä
nähdään, että ratkaisut ovat
Esimerkki 7.2.43
Ratkaise yhtälö
- 2x^2 + 4x - 3 = 0,
- 4x^2 - 4x + 3 = 0,
- x^2 + 2\iu x - \iu \sqrt{3} = 0.
Ratkaisukaavalla x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = -1 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}.
Ratkaisukaavalla
x = \dfrac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-32}}{8} = \dfrac{4 \pm \iu \sqrt{32}}{8} = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\iu .Jos ratkaisukaavan juuren alle jäävä luku on negatiivinen, voidaan käyttää muistisääntöä \sqrt{-1} = \pm \iu kompleksisten ratkaisujen esittämiseksi.
Ratkaisukaavalla
x = \frac{-2\iu \pm \sqrt{(2\iu )^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\iu \sqrt{3})}}{2 \cdot 1} = -\iu \pm \sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}}.Tässä \sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}} tarkoittaa luvun -1 + \iu \sqrt{3} = 2e^{\iu \frac{2\pi}{3}} toista juurta, jolloin voidaan valita esimerkiksi
\sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}} = \sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\iu .Täten yhtälön ratkaisut ovat
x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2}\iu \qquad\text{ja}\qquad x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{2}\iu .\qedhere
Myös kolmannen ja neljännen asteen polynomien nollakohdille on olemassa yleiset algebralliset ratkaisukaavat. Näissä tapauksissa juurten hakeminen tapahtuu kuitenkin jo useassa vaiheessa, ja mainittujen ratkaisukaavojen monimutkaisuuden vuoksi niitä ei kuitenkaan juuri käytetä. Kuuluisa Abel-Ruffinin lause toteaa lisäksi, että viidennen ja sitä korkeamman asteen polynomiyhtälöille ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa. Kuitenkin meillä on olemassa numeerisia menetelmiä nollakohtien löytämiseen korkeamman asteen polynomiyhtälöille.
Polynomin tekijöihinjako tarjoaa eräänlaisen juurtenhakualgoritmin. Ensin etsitään yksi juuri arvaamalla ja kokeilemalla, jonka jälkeen tehdään jakolasku vastaavalla binomilla. Tuloksena on matalampiasteinen polynomi, jolle prosessi voidaan toistaa. Algoritmi jatkuu, kunnes tekijäksi saadaan toisen asteen polynomi, ja sen juuret haetaan lopuksi ratkaisukaavalla. Käsin laskettaessa menetelmä ei käytännössä ole käyttökelpoinen, jos ei ole tehokasta keinoa arvata uutta juurta. Tietokoneella voidaan arvauksen sijaan arvioida seuraavaa juurta numeerisesti, ja monet laskennalliset polynomin juurtenhakualgoritmit perustuvatkin tähän yksinkertaiseen runkoon.
Esimerkki 7.2.44
Hae polynomien p = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x - \frac{3}{2} ja q = x^3 - 6x^2 + 21x - 26 nollakohdat ja jaa ne tekijöihin.
Polynomin p tapauksessa havaitaan, että
eli -1 on eräs sen nollakohdista. Binomi x + 1 siis jakaa polynomin p, ja jakolaskun tuloksena
Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat
eli \frac{3}{2} ja -1, jolloin
Polynomille q puolestaan
eli 2 on eräs sen nollakohdista. Täten laskemalla osamäärä jakokulmassa havaitaan, että
Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat
joten
Reaalikertoimisten polynomien kompleksiset nollakohdat löytyvät aina liittolukupareina.
Lause 7.2.45
Jos kompleksiluku z on reaalikertoimisen polynomin p nollakohta, niin myös \overline{z} on saman polynomin nollakohta.
Merkitään p = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0, missä kaikki kertoimet ovat reaalisia. Tämän vuoksi \overline{a_i} = a_i jokaisella i = 0, 1, \ldots, n. Jos nyt p(z) = 0, niin liittoluvun ominaisuuksien nojalla
ja täten \overline{z} on myös juuri.
Huomautus 7.2.46
Edellinen tulos on voimassa ainoastaan reaalikertoimisille polynomeille! Lisäksi reaalisen juuren z tapauksessa liittoluku \overline{z} = z on sama, eikä samaan pisteeseen syntyvä moninkertainen juuri.
Lause 7.2.47
Reaalikertoiminen polynomi p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 voidaan jakaa ensimmäisen ja toisen asteen reaalikertoimisiin tekijöihin seuraavasti:
missä x_1,\ldots,x_k ovat polynomin p erilliset reaaliset nollakohdat, m_1,\ldots,m_k niiden kertaluvut, ja polynomeilla x^2+b_i x+c_i, i = 1, \ldots, l ei ole reaalisia nollakohtia.
Olkoot x_1, \ldots, x_k polynomin p erilliset reaaliset ja z_1, \overline{z}_1, \ldots, z_l, \overline{z}_l sen erilliset imaginaariset nollakohdat. Olkoot lisäksi m_1, \ldots, m_k ja n_1, \ldots, n_l niiden kertaluvut samassa järjestyksessä, jolloin tekijöihinjaon vuoksi
Reaalijuuria koskeva osuus on täten jo todistettu, ja loput väitteestä seuraa siitä, että jokaista i = 1, \ldots, l kohti tulo
on toisen asteen polynomi, jonka kertoimet b_i=-2\re z_i ja c_i=|z_i|^2 ovat reaalisia.
Sovellus: vaihtovirtapiirien mallintaminen¶
Vaihtovirtapiirissä kulkee ajasta t riippuva virta
missä I_0 on virran maksimiarvo eli amplitudi ja \omega värähtelyn kulmanopeus. Piirin jännite riippuu sen resistanssista R (vastus), kapasitanssista C (kondensaattori) ja induktanssista L (käämi). Oletetaan ensin, että piirissä on vain yksi näistä komponenteista, jolloin sähkömagnetismin lakien avulla jännitteeksi voidaan johtaa
Jokaisessa tapauksessa sinifunktio toimii lausekkeelle \omega t + \varphi, missä lukua \varphi kutsutaan jännitteen vaihekulmaksi. Pelkän vastuksen aiheuttaman vaihtojännitteen sanotaan olevan samassa vaiheessa kuin virta, sillä niiden vaihekulmat ovat samat. Kondensaattori myöhäistää jännitteen värähtelyä verrattuna virtaan, ja tällöin vaihe-ero on -\frac{\pi}{2}. Vastaavasti käämi aikaistaa jännitettä suhteessa virtaan, eli vaihe-ero on \frac{\pi}{2}. Seuraavat kuvaajat havainnollistavat kutakin jännitettä suhteessa harmaalla piirrettyyn vaihtovirtaan.
Eulerin kaavan mukaan \sin(\omega t) on myös kompleksiluvun e^{\iu\omega t} imaginaariosa:
Eri komponenttien aiheuttamat jännitteetkin voidaan siis muotoilla samoin. Koska on voimassa e^{-\iu \frac{\pi}{2}}=-\iu ja e^{\iu \frac{\pi}{2}}=\iu, niin
Määritellään resistiivinen, kapasitatiivinen ja induktiivinen impedanssi
sekä kompleksinen impedanssi
Tällöin kussakin edellisistä tapauksista jännite voidaan esitettää muodossa
missä X viittaa tunnukseen R, C tai L, ja kaikki komponentit sisältävässä RLC-piirissä kokonaisjännite on
Koska piirin vastus R = \re Z > 0, kompleksiluku Z sijaitsee imaginaariakselin oikealle puolelle jäävässä puolitasossa. Tällöin luvulla Z on napakoordinaattiesitys Z = |Z|e^{\iu\varphi}, missä
Niinpä RLC-piirin kokonaisjännite on
Jännitteen vaihekulma \varphi on siis piirin kompleksisen impedanssin argumentti. Lisäksi skaalauskertoimena toimivaa itseisarvoa
kutsutaan LCR-piirin impedanssiksi.