\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Lukujono

Määritelmä 5.2.1

Jos jokaista luonnollista lukua \(n\) vastaa reaaliluku \(a_n\), niin päättymätöntä järjestettyä luetteloa

\[(a_1,a_2,a_3,\ldots)=(a_n)_{n=1}^\infty\]

kutsutaan lukujonoksi (sequence). Luvut \(a_n\) ovat lukujonon termejä (term) tai alkioita. Indeksointi voidaan aloittaa mistä tahansa kokonaisluvusta.

Esimerkki 5.2.2

1. \((2n)_{n=0}^\infty=(0,2,4,6,\ldots)\)
2. \((2n-1)_{n=1}^\infty=(1,3,5,7,\ldots)\)
3. \(\big((-1)^n2^n\big)_{n=1}^\infty=(-2,4,-8,16,-32,\ldots)\)
4. \(\left(\dfrac{1}{3^n}\right)_{n=0}^\infty=\left(1,\dfrac13,\dfrac19,\dfrac{1}{27},\ldots\right)\)

Joskus lukujonon termeille ei anneta (tai ei voida antaa) edellisen esimerkin mukaista kaavaa.

Esimerkki 5.2.3

1. Kasvavaan järjestykseen asetetut alkuluvut muodostavat jonon

   \[(2,3,5,7,11,13,\ldots).\]

2. Määrittely \(a_1=1\) ja \(a_n=2a_{n-1}+3\), kun \(n>1\), tuottaa lukujonon

   \[(1,5,13,29,61,\ldots).\]

3. Määrittely \(a_1=a_2=1\) ja \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), kun \(n>2\), tuottaa niin sanotun Fibonaccin jonon

   \[(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots).\]

Kohdissa 2 ja 3 on kyse rekursiivisesti (induktiivisesti) määritellystä lukujonosta, joka asetetaan määräämällä, kuinka kukin termi riippuu edellisestä tai edellisistä termeistä.

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) voidaan samastaa funktion \(f : \N\to\R\), \(f(n)=a_n\), kanssa. Esimerkiksi lukujonoa

\[\left(\frac{(-1)^n}{n}+1\right)_{n=1}^\infty\]

vastaa funktio

\[f : \N\to\R,\qquad f(n)=\frac{(-1)^n}{n}+1.\]

Lukujonoa \((a_n)\) voidaan havainnollistaa geometrisesti piirtämällä sitä vastaavan funktion \(f(n)\) kuvaaja.

Huomautus 5.2.4

Joskus lukujono esitellään listaamalla muutama ensimmäinen termi, esimerkiksi

\[(1,2,3,\ldots).\]

Esityksessä on ideana, että termeistä lukija pystyy näkemään ”säännön”, jonka mukaan jono jatkuu säännöllisesti. Edellä oleva jono jatkuu luonnollisesti

\[(1,2,3,4,5,6,7,8,....)\]

ja siis

\[(1,2,3,\ldots)=(n)_{n=1}^\infty.\]

Huomautus 5.2.5

Joidenkin rekursiivisesti määriteltyjen lukujonojen yleisen termin \(a_n\) lauseke saadaan muodostettua päättelemällä ja kokeilemalla. Lausekkeen oikeellisuus voidaan todeta muun muassa induktiotodistuksella. Esimerkiksi lukujonon \(a_1=1\) ja \(a_{n}=2a_{n-1}\), kun \(n>1\), termit ovat \((1,2,4,8,\ldots)\). Näin ollen yleisen termin lauseke näyttää olevan muotoa \(a_n = 2^{n-1}\), kun \(n \geq 1\).

Selvästikin alkeistapaus \(n=1\) on voimassa, sillä \(a_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1\). Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan \(a_k = 2^{k-1}\) jollain luonnollisella luvulla \(k>1\). Kun hyödynnetään rekursiivista määritelmää ja induktio-oletusta, saadaan

\[a_{k+1} = 2a_k \stackrel{\text{i.o.}}{=} 2\cdot 2^{k-1} = 2^{(k+1)-1},\]

eli induktio-askel on tosi. Induktioperiaatteen mukaan lukujonon yleinen termi on siten \(a_n = 2^{n-1}\).

Lukujonon raja-arvo

Mikäli lukujonon termit lähestyvät jotain tiettyä lukua indeksin kasvaessa rajatta, kutsutaan tätä lukua lukujonon raja-arvoksi. Vaikka tämä luonnehdinta käy hyvin järkeen, pitää lukujonon raja-arvo määritellä täsmällisesti, jotta sitä voidaan hyödyntää tässä osiossa esiteltävien raja-arvotuloksien todistamisessa.

Määritelmä 5.2.6

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) suppenee kohti raja-arvoa \(L\), jos jokaista \(\varepsilon > 0\) kohti löydetään sellainen luonnollinen luku \(N\), että \(|a_n - L| < \varepsilon\) aina, kun \(n > N\), eli

\[\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N : n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{n\to\infty}a_n=L\qquad\text{tai}\qquad a_n\to L,\text{ kun }n\to\infty.\]

Jos lukujono ei suppene kohti mitään raja-arvoa, se hajaantuu.

Seuraavan kuvan tilanteessa valitulla \(\varepsilon\) voidaan valita \(N=4\).

Luonnollisesti kaikille lukujonoille raja-arvo ei ole olemassa. Seuraavassa esimerkissä on esitetty suppeneva ja hajaantuva lukujono.

Esimerkki 5.2.7

1. Lukujono \((1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots)\) suppenee kohti raja-arvoa \(0\). Tämän voi todistaa raja-arvon määritelmällä, kunhan löytää jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle \(\varepsilon\) jonkin luonnollisen luvun \(N\), jolle on voimassa \(|a_n-0| < \varepsilon\) aina, kun \(n > N\).
2. Lukujono \(((-1)^n)_{n=1}^\infty\) hajaantuu, sillä se vaihtelee arvojen \(1\) ja \(-1\) välillä eikä lähesty mitään arvoa. Tämä voidaan todistaa epäsuorasti olettamalla, että raja-arvo \(L\) onkin olemassa, eli se toteuttaa raja-arvon määritelmän. Tehty vastaoletus johtaa kuitenkin ristiriitaan, mikä todistaa alkuperäisen väitteen.

Raja-arvon määritelmän voi ajatella eräänlaisena kinasteluna, jossa kaksi henkilöä kinastelevat lukujonon raja-arvon \(L\) olemassaolosta. Toinen henkilöistä on epäilijä ja toinen uskoja. Epäilijä antaa uskojalle jonkin positiivisen reaaliluvun \(\varepsilon\), johon uskojan pitää vastata jollakin luonnollisella luvulla \(N\). Luku \(N\) toimii indeksirajana, jonka jälkeen lukujonon kaikkien termien on oltava alle luvun \(\varepsilon\) päässä väitetystä raja-arvosta \(L\). Mikäli uskoja onnistuu tässä, raja-arvo on olemassa. Muutoin epäilijä voittaa kinastelun, eikä raja-arvoa ole olemassa.

Suppeneville lukujonoille on voimassa seuraavat laskusäännöt.

Lause 5.2.8

Jos \((a_n)_{n=1}^\infty\) ja \((b_n)_{n=1}^\infty\) suppenevat ja \(c\in\R\), niin

1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim_{n\to\infty}a_n\),
2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n\),
3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n\),
4. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}\), jos \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ne0\) ja \(b_n \ne 0\) kaikilla \(n\).

Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkkinä ensimmäinen kohta ja jätetään loput ylimääräisiksi harjoitustehtäviksi. Oletetaan, että lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) suppenee ja \(c\in\mathbb{R}\). Jos \(c=0\) on tulos selvä, joten oletetaan, että \(c\neq 0\) ja \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L\). Osoitetaan, että \(cL\) on lukujonon \((ca_n)_{n=1}^\infty\) raja-arvo. Olkoon \(\varepsilon>0\) mielivaltainen. Lukujonon \((a_n)_{n=1}^\infty\) raja-arvon määritelmän perusteella löytyy lukua \(\varepsilon/|c|>0\) kohti indeksi \(N\in\mathbb{N}\), jolle \(|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{|c|}\) kun \(n>N\). Tällöin

\[|ca_n-cL|=|c||a_n-L|<|c|\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon,\]

kun \(n>N\), mikä todistaa väitteen.

Huomautus 5.2.9 (Funktion raja-arvo ja jatkuvuus)

Funktion \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\) raja-arvo pisteessä \(x_0\in (a,b)\) on luku \(L\in\mathbb{R}\), jolle

\[\lim_{n\to\infty}f(a_n)=L\]

jokaisella lukujonolla \((a_n)_{n=1}^\infty\), joka suppenee kohti pistettä \(x_0\). Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=L.\]

Funktio on jatkuva pisteessä \(x_0\), jos sen raja-arvo on sama kuin funktion arvo, eli

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).\]

Funktio on jatkuva välillä \((a,b)\), jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä.

Jatkuvien funktioiden avulla voidaan laskea myös lukujonojen raja-arvoja seuraavasti.

Lause 5.2.10

Olkoon \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\) ja olkoon funktio \(f(x)\) jatkuva pisteessä \(x=a\). Silloin

\[\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=f(a).\]

Lause 5.2.11 (Kuristusperiaate)

Olkoon \(a_n\le b_n\le c_n\) kaikilla \(n\) ja

\[\lim_{n\to\infty}a_n=L=\lim_{n\to\infty}c_n.\]

Silloin \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L\).

Jos suppenevan lukujonon termien lauseke on tiedossa, niin raja-arvoa voidaan yrittää selvittää tutkimalla sopivan funktion raja-arvoa.

Lause 5.2.12

Oletetaan, että funktio \(f : [1,\infty)\to\R\) ja lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) toteuttavat \(a_n=f(n)\) aina, kun \(n\in\N\). Jos \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = L\), niin \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L\).

Tarkastellaan seuraavaksi kahta perusesimerkkiä.

Esimerkki 5.2.13

1. \[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,\]
2. \[\begin{split}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\begin{cases} 0, & \text{kun }\ p>0,\\ 1, & \text{kun }\ p=0,\\ \infty, & \text{kun }\ p<0.\\ \end {cases}\end{split}\]

Piilota/näytä ratkaisu

1. Olkoon \(\varepsilon>0\) annettu. Näin ollen

   \[\Big|\frac{1}{n}-0\Big|=1/n.\]

   Koska \(\frac{1}{\varepsilon}>0\) on positiivinen reaaliluku, niin on olemassa luonnollinen luku \(N\), jolle \(\frac{1}{\varepsilon}<N\) (tämä on ns. Arkhimeden ominaisuus reaaliluvuille). Tästä seuraa, että \(\frac{1}{\varepsilon}<n\), kun \(n\ge N\). Toisin sanoen löydetään \(N\), jolle

   \[\frac{1}{n}< \varepsilon\ \text{ kun }\ n\ge N.\]

   Raja-arvon määritelmän nojalla \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\).

2. Jos \(p=0\), niin \(n^0=1\) ja tulos on selvä. Olkoon \(f(x)=x^p\). Kun \(p>0\) on \(f\) jatkuva reaalilukujen joukossa ja

   \[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n\to\infty}f(\tfrac{1}{n})=f(\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n})=f(0)=0.\]

   Jos \(p<0\), niin \(q=-p>0\). Tällöin

   \[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n\to\infty}n^q=\infty.\]

Esimerkki 5.2.14

1. Laskusääntöjen mukaan

   \[\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{4n^2-9n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4-9/n}=\frac{3}{4-0}=\frac34.\]

2. Tarkastellaan suppeneeko lukujono \(\left(\dfrac{\cos n}{n}\right)_{n=1}^\infty\). Koska

   \[0\leftarrow-\frac1n\le\frac{\cos n}{n}\le\frac1n\to0,\]

   kun \(n\to\infty\), niin kuristusperiaatteen mukaan

   \[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0.\]

Lukujonon suppenemiseen ja mahdolliseen raja-arvoon ei äärellisen monella jonon alkupään termillä ole merkitystä. Niinpä esimerkiksi lukujonon raja-arvon laskusäännöissä ja kuristusperiaatteessa riittää, että lukujono toteuttaa vaaditun ehdon jostakin indeksin \(n\) arvosta alkaen.

Kasvavat ja vähenevät lukujonot

Lukujonon määritelmä kattaa hyvinkin erilaisia lukujonoja. Yleisen lukujonon jäsenten käyttäytymisestä ei voida sanoa mitään, mutta tässä osiossa perehdytään erityislaatuisiin lukujonoihin, joiden jäsenet käyttäytyvät ennalta-arvattavasti. Seuraavaksi määritellään kasvavat ja vähenevät lukujonot, ja nimensä mukaan niiden jäsenet käyvät aina joko suuremmiksi tai pienemmiksi. Samalla määritellään, mitä tarkoitetaan ylhäältä tai alhaalta rajoitetulla lukujonolla.

Määritelmä 5.2.15

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on kasvava, jos \(a_n \leq a_{n + 1}\), ja vähenevä, jos \(a_n \geq a_{n + 1}\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\). Lukujono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku \(M\), jolle \(a_n\le M\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\). Vastaavasti lukujono on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku \(m\), jolle \(a_n \ge m\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\).

Esimerkki 5.2.16

1. Vakiolukujono \((1,1,1,\ldots)\) on kasvava, vähenevä, alhaalta rajoitettu ja ylhäältä rajoitettu.

2. Jos

   \[a_n=\frac{1}{2n^2+7},\]

   missä \(n \in \N\), niin lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on vähenevä, sillä \(2n^2+7\) on kasvava joukossa \(\N\). Lisäksi lukujono on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä selvästikin \(0<a_n<1\) kaikilla \(n\).

3. Jos

   \[a_n=\frac{n+2}{n+13},\]

   missä \(n \in \N\), niin lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on kasvava, sillä funktion

   \[f(x)=\frac{x+2}{x+13}\]

   derivaatta

   \[f'(x)=\frac{11}{(x+13)^2}>0\]

   kaikilla \(x\ge1\). Lukujono on lisäksi sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä kasvavuuden nojalla \(a_n\ge a_1=\frac{3}{14}\) ja koska \(n+2\le n+13\) kaikilla \(n\), niin \(a_n\le1\) kaikilla \(n\).

Seuraava monotonisten jonojen peruslause otetaan käyttöön ilman todistusta.

Lause 5.2.17 (Monotonisten jonojen peruslause)

• Ylhäältä rajoitettu ja kasvava lukujono suppenee.
• Alhaalta rajoitettu ja vähenevä lukujono suppenee.

Näiden perustulosten todistukset ylittävät kurssin vaatimukset, mutta niiden järkevyydestä voinee vakuuttua seuraavan kuvan avulla.

Kysymys 1

Valitse epätosi väite.

Kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono suppenee.

Monotoninen lukujono voi olla kasvava tai vähenevä.

Ylhäältä rajoitetulle lukujonolle löydetään sellainen \(M \in \R\), että \(a_n \le M\) kaikille \(n \in \N\).

Kuristusperiaatteessa riittää, että lukujono toteuttaa vaaditut ehdot vain jostakin indeksin \(n\) arvosta alkaen.

Mikään lukujono ei voi olla yhtäaikaa kasvava, vähenevä sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu.

Vähenevälle lukujonolle on voimassa \(a_n \ge a_{n+1}\).

Lemma 5.2.18

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\), missä

\[a_n=\left(1+\frac1n\right)^n,\]

on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu, eli sillä on monotonisten jonojen peruslauseen mukaan raja-arvo. Merkitään tätä raja-arvoa kirjaimella \(e\). Tunnetusti

\[e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2{,}71828\ldots.\]

Lisäksi myös lukujono \((b_n)_{n=1}^\infty\), missä \(b_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n\), on aidosti kasvava ja

\[\frac{1}{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n.\]

Piilota/näytä todistus

Todistetaan, että lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Oletetaan, että \(0<x<y\), jolloin voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö ja edelleen arvioida lauseketta ylöspäin.

\[\begin{split}\begin{aligned} y^{n+1}-x^{n+1}&=(y-x)(y^n+y^{n-1}x+\cdots+yx^{n-1}+x^n)\\ &<(y-x)(y^n+y^n+\cdots+y^n+y^n)\\ &=(y-x)(n+1)y^n\\ &=(yn-(n+1)x)y^n+y^{n+1}, \end{aligned}\end{split}\]

kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), joten

\[x^{n+1}>((n+1)x-yn)y^n\]

aina, kun \(n \in \N\). Sovelletaan nyt tätä epäyhtälöä arvoilla \(x=1+\frac{1}{n+1}\) ja \(y=1+\frac{1}{n}\), joille selvästi \(0<x<y\). Saadaan

\[\begin{aligned} a_{n+1}=x^{n+1}>((n+1+1)-(n+1))y^n=y^n=a_n. \end{aligned}\]

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on siis aidosti kasvava. Toisaalta, jos sovelletaan samaa epäyhtälöä arvoilla \(x=1\) ja \(y=1+\frac{1}{2n}\), niin saadaan arvio

\[\begin{aligned} 1>\left((n+1)-\left(n+\frac12\right)\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n =\frac12\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n, \end{aligned}\]

josta

\[\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n<2.\]

Edelleen neliöimällä saadaan

\[a_{2n}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}<4,\]

eli \(a_{2n} < 4\). Kasvavuudesta seuraa, että \(a_n \le a_{2n} < 4\) kaikilla \(n\). Siis jono \((a_n)\) on ylhäältä rajoitettu.

Edellisen lukujonon raja-arvona saatua lukua \(e\) kutsutaan Neperin luvuksi, ja sillä on erityisasema luonnollisen eksponentti- ja logaritmifunktion kantalukuna. Lemmaa 5.2.18 käytetään eksponenttifunktion \(e^x\) määrittelemiseen ja derivoimiskaavan \(D(e^x)=e^x\) todistamiseen.

Palautusta lähetetään...