$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Lukujono

Määritelmä 5.2.1

Jos jokaista luonnollista lukua $n$ vastaa reaaliluku $a_n$, niin päättymätöntä järjestettyä luetteloa

$$(a_1,a_2,a_3,\ldots)=(a_n)_{n=1}^\infty$$

kutsutaan lukujonoksi (sequence). Luvut $a_n$ ovat lukujonon termejä (term) tai alkioita. Indeksointi voidaan aloittaa mistä tahansa kokonaisluvusta.

Esimerkki 5.2.2

1. $(2n)_{n=0}^\infty=(0,2,4,6,\ldots)$
2. $(2n-1)_{n=1}^\infty=(1,3,5,7,\ldots)$
3. $\big((-1)^n2^n\big)_{n=1}^\infty=(-2,4,-8,16,-32,\ldots)$
4. $\left(\dfrac{1}{3^n}\right)_{n=0}^\infty=\left(1,\dfrac13,\dfrac19,\dfrac{1}{27},\ldots\right)$

Joskus lukujonon termeille ei anneta (tai ei voida antaa) edellisen esimerkin mukaista kaavaa.

Esimerkki 5.2.3

1. Kasvavaan järjestykseen asetetut alkuluvut muodostavat jonon

   $$(2,3,5,7,11,13,\ldots).$$

2. Määrittely $a_1=1$ ja $a_n=2a_{n-1}+3$, kun $n>1$, tuottaa lukujonon

   $$(1,5,13,29,61,\ldots).$$

3. Määrittely $a_1=a_2=1$ ja $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, kun $n>2$, tuottaa niin sanotun Fibonaccin jonon

   $$(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots).$$

Kohdissa 2 ja 3 on kyse rekursiivisesti (induktiivisesti) määritellystä lukujonosta, joka asetetaan määräämällä, kuinka kukin termi riippuu edellisestä tai edellisistä termeistä.

Lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ voidaan samastaa funktion $f : \N\to\R$, $f(n)=a_n$, kanssa. Esimerkiksi lukujonoa

$$\left(\frac{(-1)^n}{n}+1\right)_{n=1}^\infty$$

vastaa funktio

$$f : \N\to\R,\qquad f(n)=\frac{(-1)^n}{n}+1.$$

Lukujonoa $(a_n)$ voidaan havainnollistaa geometrisesti piirtämällä sitä vastaavan funktion $f(n)$ kuvaaja.

Huomautus 5.2.4

Joskus lukujono esitellään listaamalla muutama ensimmäinen termi, esimerkiksi

$$(1,2,3,\ldots).$$

Esityksessä on ideana, että termeistä lukija pystyy näkemään ”säännön”, jonka mukaan jono jatkuu säännöllisesti. Edellä oleva jono jatkuu luonnollisesti

$$(1,2,3,4,5,6,7,8,....)$$

ja siis

$$(1,2,3,\ldots)=(n)_{n=1}^\infty.$$

Huomautus 5.2.5

Joidenkin rekursiivisesti määriteltyjen lukujonojen yleisen termin $a_n$ lauseke saadaan muodostettua päättelemällä ja kokeilemalla. Lausekkeen oikeellisuus voidaan todeta muun muassa induktiotodistuksella. Esimerkiksi lukujonon $a_1=1$ ja $a_{n}=2a_{n-1}$, kun $n>1$, termit ovat $(1,2,4,8,\ldots)$. Näin ollen yleisen termin lauseke näyttää olevan muotoa $a_n = 2^{n-1}$, kun $n \geq 1$.

Selvästikin alkeistapaus $n=1$ on voimassa, sillä $a_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan $a_k = 2^{k-1}$ jollain luonnollisella luvulla $k>1$. Kun hyödynnetään rekursiivista määritelmää ja induktio-oletusta, saadaan

$$a_{k+1} = 2a_k \stackrel{\text{i.o.}}{=} 2\cdot 2^{k-1} = 2^{(k+1)-1},$$

eli induktio-askel on tosi. Induktioperiaatteen mukaan lukujonon yleinen termi on siten $a_n = 2^{n-1}$.

Lukujonon raja-arvo

Mikäli lukujonon termit lähestyvät jotain tiettyä lukua indeksin kasvaessa rajatta, kutsutaan tätä lukua lukujonon raja-arvoksi. Vaikka tämä luonnehdinta käy hyvin järkeen, pitää lukujonon raja-arvo määritellä täsmällisesti, jotta sitä voidaan hyödyntää tässä osiossa esiteltävien raja-arvotuloksien todistamisessa.

Määritelmä 5.2.6

Lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ suppenee kohti raja-arvoa $L$, jos jokaista $\varepsilon > 0$ kohti löydetään sellainen luonnollinen luku $N$, että $|a_n - L| < \varepsilon$ aina, kun $n > N$, eli

$$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N : n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon.$$

Tällöin merkitään

$$\lim_{n\to\infty}a_n=L\qquad\text{tai}\qquad a_n\to L,\text{ kun }n\to\infty.$$

Jos lukujono ei suppene kohti mitään raja-arvoa, se hajaantuu.

Seuraavan kuvan tilanteessa valitulla $\varepsilon$ voidaan valita $N=4$.

Luonnollisesti kaikille lukujonoille raja-arvo ei ole olemassa. Seuraavassa esimerkissä on esitetty suppeneva ja hajaantuva lukujono.

Esimerkki 5.2.7

1. Lukujono $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots)$ suppenee kohti raja-arvoa $0$. Tämän voi todistaa raja-arvon määritelmällä, kunhan löytää jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle $\varepsilon$ jonkin luonnollisen luvun $N$, jolle on voimassa $|a_n-0| < \varepsilon$ aina, kun $n > N$.
2. Lukujono $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ hajaantuu, sillä se vaihtelee arvojen $1$ ja $-1$ välillä eikä lähesty mitään arvoa. Tämä voidaan todistaa epäsuorasti olettamalla, että raja-arvo $L$ onkin olemassa, eli se toteuttaa raja-arvon määritelmän. Tehty vastaoletus johtaa kuitenkin ristiriitaan, mikä todistaa alkuperäisen väitteen.

Raja-arvon määritelmän voi ajatella eräänlaisena kinasteluna, jossa kaksi henkilöä kinastelevat lukujonon raja-arvon $L$ olemassaolosta. Toinen henkilöistä on epäilijä ja toinen uskoja. Epäilijä antaa uskojalle jonkin positiivisen reaaliluvun $\varepsilon$, johon uskojan pitää vastata jollakin luonnollisella luvulla $N$. Luku $N$ toimii indeksirajana, jonka jälkeen lukujonon kaikkien termien on oltava alle luvun $\varepsilon$ päässä väitetystä raja-arvosta $L$. Mikäli uskoja onnistuu tässä, raja-arvo on olemassa. Muutoin epäilijä voittaa kinastelun, eikä raja-arvoa ole olemassa.

Suppeneville lukujonoille on voimassa seuraavat laskusäännöt.

Lause 5.2.8

Jos $(a_n)_{n=1}^\infty$ ja $(b_n)_{n=1}^\infty$ suppenevat ja $c\in\R$, niin

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim_{n\to\infty}a_n$,
2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n$,
3. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n$,
4. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$, jos $\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ne0$ ja $b_n \ne 0$ kaikilla $n$.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkkinä ensimmäinen kohta ja jätetään loput ylimääräisiksi harjoitustehtäviksi. Oletetaan, että lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ suppenee ja $c\in\mathbb{R}$. Jos $c=0$ on tulos selvä, joten oletetaan, että $c\neq 0$ ja $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$. Osoitetaan, että $cL$ on lukujonon $(ca_n)_{n=1}^\infty$ raja-arvo. Olkoon $\varepsilon>0$ mielivaltainen. Lukujonon $(a_n)_{n=1}^\infty$ raja-arvon määritelmän perusteella löytyy lukua $\varepsilon/|c|>0$ kohti indeksi $N\in\mathbb{N}$, jolle $|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{|c|}$ kun $n>N$. Tällöin

$$|ca_n-cL|=|c||a_n-L|<|c|\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon,$$

kun $n>N$, mikä todistaa väitteen.

Huomautus 5.2.9 (Funktion raja-arvo ja jatkuvuus)

Funktion $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ raja-arvo pisteessä $x_0\in (a,b)$ on luku $L\in\mathbb{R}$, jolle

$$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=L$$

jokaisella lukujonolla $(a_n)_{n=1}^\infty$, joka suppenee kohti pistettä $x_0$. Tällöin merkitään

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$$

Funktio on jatkuva pisteessä $x_0$, jos sen raja-arvo on sama kuin funktion arvo, eli

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

Funktio on jatkuva välillä $(a,b)$, jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä.

Jatkuvien funktioiden avulla voidaan laskea myös lukujonojen raja-arvoja seuraavasti.

Lause 5.2.10

Olkoon $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$ ja olkoon funktio $f(x)$ jatkuva pisteessä $x=a$. Silloin

$$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=f(a).$$

Lause 5.2.11 (Kuristusperiaate)

Olkoon $a_n\le b_n\le c_n$ kaikilla $n$ ja

$$\lim_{n\to\infty}a_n=L=\lim_{n\to\infty}c_n.$$

Silloin $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$.

Jos suppenevan lukujonon termien lauseke on tiedossa, niin raja-arvoa voidaan yrittää selvittää tutkimalla sopivan funktion raja-arvoa.

Lause 5.2.12

Oletetaan, että funktio $f : [1,\infty)\to\R$ ja lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ toteuttavat $a_n=f(n)$ aina, kun $n\in\N$. Jos $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = L$, niin $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L$.

Tarkastellaan seuraavaksi kahta perusesimerkkiä.

Esimerkki 5.2.13

1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,$$
2. $$\begin{split}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\begin{cases} 0, & \text{kun }\ p>0,\\ 1, & \text{kun }\ p=0,\\ \infty, & \text{kun }\ p<0.\\ \end {cases}\end{split}$$

Piilota/näytä ratkaisu

1. Olkoon $\varepsilon>0$ annettu. Näin ollen

   $$\Big|\frac{1}{n}-0\Big|=1/n.$$

   Koska $\frac{1}{\varepsilon}>0$ on positiivinen reaaliluku, niin on olemassa luonnollinen luku $N$, jolle $\frac{1}{\varepsilon}<N$ (tämä on ns. Arkhimeden ominaisuus reaaliluvuille). Tästä seuraa, että $\frac{1}{\varepsilon}<n$, kun $n\ge N$. Toisin sanoen löydetään $N$, jolle

   $$\frac{1}{n}< \varepsilon\ \text{ kun }\ n\ge N.$$

   Raja-arvon määritelmän nojalla $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.

2. Jos $p=0$, niin $n^0=1$ ja tulos on selvä. Olkoon $f(x)=x^p$. Kun $p>0$ on $f$ jatkuva reaalilukujen joukossa ja

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n\to\infty}f(\tfrac{1}{n})=f(\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n})=f(0)=0.$$

   Jos $p<0$, niin $q=-p>0$. Tällöin

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n\to\infty}n^q=\infty.$$

Esimerkki 5.2.14

1. Laskusääntöjen mukaan

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{4n^2-9n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4-9/n}=\frac{3}{4-0}=\frac34.$$

2. Tarkastellaan suppeneeko lukujono $\left(\dfrac{\cos n}{n}\right)_{n=1}^\infty$. Koska

   $$0\leftarrow-\frac1n\le\frac{\cos n}{n}\le\frac1n\to0,$$

   kun $n\to\infty$, niin kuristusperiaatteen mukaan

   $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0.$$

Lukujonon suppenemiseen ja mahdolliseen raja-arvoon ei äärellisen monella jonon alkupään termillä ole merkitystä. Niinpä esimerkiksi lukujonon raja-arvon laskusäännöissä ja kuristusperiaatteessa riittää, että lukujono toteuttaa vaaditun ehdon jostakin indeksin $n$ arvosta alkaen.

Kasvavat ja vähenevät lukujonot

Lukujonon määritelmä kattaa hyvinkin erilaisia lukujonoja. Yleisen lukujonon jäsenten käyttäytymisestä ei voida sanoa mitään, mutta tässä osiossa perehdytään erityislaatuisiin lukujonoihin, joiden jäsenet käyttäytyvät ennalta-arvattavasti. Seuraavaksi määritellään kasvavat ja vähenevät lukujonot, ja nimensä mukaan niiden jäsenet käyvät aina joko suuremmiksi tai pienemmiksi. Samalla määritellään, mitä tarkoitetaan ylhäältä tai alhaalta rajoitetulla lukujonolla.

Määritelmä 5.2.15

Lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ on kasvava, jos $a_n \leq a_{n + 1}$, ja vähenevä, jos $a_n \geq a_{n + 1}$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$. Lukujono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.

Lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $M$, jolle $a_n\le M$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$. Vastaavasti lukujono on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $m$, jolle $a_n \ge m$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$.

Esimerkki 5.2.16

1. Vakiolukujono $(1,1,1,\ldots)$ on kasvava, vähenevä, alhaalta rajoitettu ja ylhäältä rajoitettu.

2. Jos

   $$a_n=\frac{1}{2n^2+7},$$

   missä $n \in \N$, niin lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ on vähenevä, sillä $2n^2+7$ on kasvava joukossa $\N$. Lisäksi lukujono on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä selvästikin $0<a_n<1$ kaikilla $n$.

3. Jos

   $$a_n=\frac{n+2}{n+13},$$

   missä $n \in \N$, niin lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ on kasvava, sillä funktion

   $$f(x)=\frac{x+2}{x+13}$$

   derivaatta

   $$f'(x)=\frac{11}{(x+13)^2}>0$$

   kaikilla $x\ge1$. Lukujono on lisäksi sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä kasvavuuden nojalla $a_n\ge a_1=\frac{3}{14}$ ja koska $n+2\le n+13$ kaikilla $n$, niin $a_n\le1$ kaikilla $n$.

Seuraava monotonisten jonojen peruslause otetaan käyttöön ilman todistusta.

Lause 5.2.17 (Monotonisten jonojen peruslause)

• Ylhäältä rajoitettu ja kasvava lukujono suppenee.
• Alhaalta rajoitettu ja vähenevä lukujono suppenee.

Näiden perustulosten todistukset ylittävät kurssin vaatimukset, mutta niiden järkevyydestä voinee vakuuttua seuraavan kuvan avulla.

Tehtävää ladataan...

Lemma 5.2.18

Lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$, missä

$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n,$$

on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu, eli sillä on monotonisten jonojen peruslauseen mukaan raja-arvo. Merkitään tätä raja-arvoa kirjaimella $e$. Tunnetusti

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2{,}71828\ldots.$$

Lisäksi myös lukujono $(b_n)_{n=1}^\infty$, missä $b_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n$, on aidosti kasvava ja

$$\frac{1}{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n.$$

Piilota/näytä todistus

Todistetaan, että lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Oletetaan, että $0<x<y$, jolloin voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö ja edelleen arvioida lauseketta ylöspäin.

$$\begin{split}\begin{aligned} y^{n+1}-x^{n+1}&=(y-x)(y^n+y^{n-1}x+\cdots+yx^{n-1}+x^n)\\ &<(y-x)(y^n+y^n+\cdots+y^n+y^n)\\ &=(y-x)(n+1)y^n\\ &=(yn-(n+1)x)y^n+y^{n+1}, \end{aligned}\end{split}$$

kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$, joten

$$x^{n+1}>((n+1)x-yn)y^n$$

aina, kun $n \in \N$. Sovelletaan nyt tätä epäyhtälöä arvoilla $x=1+\frac{1}{n+1}$ ja $y=1+\frac{1}{n}$, joille selvästi $0<x<y$. Saadaan

$$\begin{aligned} a_{n+1}=x^{n+1}>((n+1+1)-(n+1))y^n=y^n=a_n. \end{aligned}$$

Lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ on siis aidosti kasvava. Toisaalta, jos sovelletaan samaa epäyhtälöä arvoilla $x=1$ ja $y=1+\frac{1}{2n}$, niin saadaan arvio

$$\begin{aligned} 1>\left((n+1)-\left(n+\frac12\right)\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n =\frac12\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n, \end{aligned}$$

josta

$$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n<2.$$

Edelleen neliöimällä saadaan

$$a_{2n}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}<4,$$

eli $a_{2n} < 4$. Kasvavuudesta seuraa, että $a_n \le a_{2n} < 4$ kaikilla $n$. Siis jono $(a_n)$ on ylhäältä rajoitettu.

Edellisen lukujonon raja-arvona saatua lukua $e$ kutsutaan Neperin luvuksi, ja sillä on erityisasema luonnollisen eksponentti- ja logaritmifunktion kantalukuna. Lemmaa 5.2.18 käytetään eksponenttifunktion $e^x$ määrittelemiseen ja derivoimiskaavan $D(e^x)=e^x$ todistamiseen.

Palautusta lähetetään...