- MATH.APP.160
- 5. Lukujonot ja sarjat
- 5.4 Positiivitermiset sarjat
Positiivitermiset sarjat¶
Sarjan summa voidaan laskea helposti vain joissakin erikoistapauksissa, kuten esimerkiksi edellä geometriselle sarjalle. Monissa sovelluksissa tarkkaa summaa tärkeämpää onkin perustella, että sarja ylipäätään suppenee. Tässä ja seuraavassa luvussa esitellään suppenemistestejä, joilla suppenemista ja hajantumista voi yrittää tutkia.
Määritelmä 5.4.1
Sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) on positiiviterminen, jos \(a_k\ge0\) kaikilla \(k\).
Lause 5.4.2
Positiiviterminen sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) joko suppenee tai \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k=\infty\).
Nyt jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on voimassa
sillä \(a_{n+1}\ge0\). Osasummien jono \((S_n)_{n=1}^\infty\) on siis kasvava, ja väite seuraa monotonisten jonojen peruslauseesta.
Positiivitermisille sarjoille on useita suppenemistestejä. Ensimmäisessä sarjan summaa verrataan sopivaan integraaliin. Kutsutaan tätä testiä integraalitestiksi (integral test).
Lause 5.4.3 (Integraalitesti)
Olkoon \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) positiiviterminen sarja sekä \(f : [1,\infty)\to\R\) vähenevä funktio, jolle \(f(k)=a_k\) aina, kun \(k\ge m \geq 1\). Tällöin
Tarkastellaan ensin väitettä kuvan avulla, kun \(m = 1\). Oheisissa kuvissa kunkin suorakulmion pinta-ala on \(1 \cdot f(k) = a_k\), missä \(k\) on sen järjestysluku. Sarjan summa on siis suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala. Integraalin pinta-alatulkinta huomioiden vasemmanpuoleisesta kuvasta voidaan nyt päätellä, että
jos \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\d x\) hajaantuu, niin myös \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) hajaantuu.
Oikeanpuoleisesta kuvasta taas voidaan päätellä, että
jos \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\d x\) suppenee, niin myös \(\displaystyle\sum_{k=2}^\infty a_k\) suppenee.
Sekä sarjan että integraalin alkupäähän voidaan lisätä äärellinen reaaliluku muuttamatta suppenevuutta tai hajaantuvuutta.
Tehdään sitten varsinainen todistus. Oletetaan ensin, että \(m \geq 1\) ja
suppenee. Koska \(f(x)\) on vähenevä, niin \(a_{k+1}\le f(x)\), kun \(m \leq k\le x\le k+1\). Niinpä
ja osasummien erotus
Tässä viimeinen arvio perustuu siihen, että ei-negatiiviselle jatkuvalle integroituvalle funktiolle \(f(x)\) integraali
lähestyy arvoa \(\lim\limits_{y\to\infty}F(y)=I\) alhaaltapäin. Siis \((S_n - S_m)\), ja täten myös \((S_n)_{n=1}^\infty\) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono, joten sarja suppenee.
Vastaavasti päätellään, että jos integraali
hajaantuu, niin myös sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) hajaantuu.
Määritelmä 5.4.4
Olkoon \(p\) reaaliluku. \(p\)-sarjalla tarkoitetaan sarjaa
ja
- jos \(p<1\), niin tämä on aliharmoninen sarja,
- jos \(p=1\), niin tämä on harmoninen sarja,
- jos \(p>1\), niin tämä on yliharmoninen sarja.
Lause 5.4.5
\(p\)-sarja suppenee jos ja vain jos \(p>1\). Toisin sanoen harmoninen ja aliharmoninen sarja hajaantuvat ja yliharmoninen sarja suppenee.
Tutkitaan suppenemista integraalitestillä vertaamalla funktioon \(f(x)=\frac{1}{x^p}\). Tämä kelpaa, sillä \(f(k)=\frac{1}{k^p}\) kaikilla \(k\) ja \(f\) on vähenevä funktio. Lauseen 2.3.2 nojalla
suppenee jos ja vain jos \(p>1\), joten integraalitestin nojalla \(p\)-sarja suppenee jos ja vain jos \(p>1\).
Esimerkki 5.4.6
Sarja
hajaantuu aliharmonisena sarjana \((p=\frac{1}{2} < 1)\) ja sarja
hajaantuu harmonisena sarjana \((p=1)\). Sen sijaan
on yliharmoninen sarja \((p=2 > 1)\) ja suppenee.
Huomautus 5.4.7
Muistetaan vielä Lause 5.3.12 ja huomautus sarjan termien raja-arvoista. Harmoniselle sarjalle on
mutta silti
Seuraavassa suppenemistestissä tutkittavaa sarjaa verrataan sopivaan sarjaan, jonka suppenemisesta tai hajaantumisesta on jo tietoa. Tätä suppenemistestiä kutsutaan vertailuperiaatteeksi (comparison test).
Lause 5.4.8 (Vertailuperiaate)
Oletetaan, että \(0\le a_k\le b_k\) kaikilla \(k\). Tällöin
- jos \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) suppenee, niin \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) suppenee,
- jos \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) hajaantuu, niin \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) hajaantuu.
Kohtaa 1 kutsutaan majoranttiperiaatteeksi ja kohtaa 2 minoranttiperiaatteeksi.
Todistetaan ensin majoranttiperiaate. Merkitään \(S=\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\). Nyt, koska \(a_{n + 1} \geq 0\), niin
kaikilla \(n \ge 1\), joten sarjan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) osasummien jono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu ja siten suppeneva.
Nyt minoranttiperiaate voidaan johtaa majoranttiperiaatteesta. Jos \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k\) suppenisi, niin kohdan majoranttiperiaatteen mukaan myös \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) suppenisi, mikä on ristiriita oletuksen kanssa. Sarjan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) täytyy siis hajaantua.
Esimerkki 5.4.9
Tutki sarjan
- \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k+1}\),
- \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\ln k}{k}\)
suppenevuutta.
Sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla, sillä
\[0\le\frac{1}{2^k+1}\le\frac{1}{2^k}\]kaikilla \(k \ge 1\) ja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k\) on suppeneva geometrinen sarja.
Funktio \(\ln x\) on kasvava ja \(\ln e=1\), joten \(\ln k\ge1\), kun \(k\ge3\). Siis
\[\frac{\ln k}{k}\ge\frac1k \ge 0\]kaikilla \(k\ge3\). Koska harmoninen sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\) hajaantuu, niin myös tutkittava sarja hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla.
Joskus sopivan vertailusarjan löytäminen on työläämpää, sillä arviointiin ei ole yleistä menetelmää. Tämän vuoksi arvioinnin oppiminen on tärkeää.
Esimerkki 5.4.10
Tutki sarjan
- \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{3k-2}{k^2+1}\),
- \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k-1}\)
suppenevuutta.
Suurilla \(k\) sekä osoittajan että nimittäjän vakio käy mitättömäksi, joten
\[\frac{3k-2}{k^2+1}\approx\frac{3k}{k^2}=\frac3k.\]\(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\) hajaantuu harmonisena sarjana, joten luultavasti tutkittava sarjakin hajaantuu. Vielä ei ole todistettu mitään, mutta päättely antaa vihjeen, että termejä kannattaa pyrkiä arvioimaan alhaalta päin termillä \(\frac{1}{k}\). Suoraan saatava arvio
\[\frac{3k-2}{k^2+1}\le\frac{3}{k}\]on käyttökelvoton, koska arvio menee väärään suuntaan. Arvioidaan seuraavasti. Kun \(k\ge 2\), on \(3k-2\ge 3k-k\) ja \(k^2+1\le k^2+k\), joten tällöin
\[\frac{3k-2}{k^2+1}\ge\frac{3k-k}{k^2+k}=\frac{2k}{k(k+1)}=\frac{2}{k+1} \geq 0.\]Koska
\[\sum_{k=2}^\infty\frac{2}{k+1}=2\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k}=\infty\]hajaantuu, niin tutkittava sarja hajaantuu.
Ilmeisesti käy samoin kuin edellisen esimerkin kohdassa 1, sillä taaskaan suurilla luvun \(k\) arvoilla nimittäjän vakiolla ei ole merkitystä. Nyt kuitenkin
\[\frac{1}{2^k-1}\ge\frac{1}{2^k},\]kaikilla \(k \ge 1\), joten ei voida suoraan verrata sarjaan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\). Sen sijaan havaitaan, että kaikilla \(k\geq 1\)
\[2^k-1 \geq 2^k - 2^{k-1} = 2^{k-1}, \qquad \text{eli} \qquad \frac{1}{2^k-1} \leq \frac{1}{2^{k-1}}.\]Koska sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{k-1}}\) suppenee geometrisena sarjana, niin tutkittava sarja suppenee.
Seuraavassa testissä ei tarvita vertailusarjaa, vaan sarjan suppeneminen tai hajaantuminen päätellään sarjan termien käyttäytymisestä. Kutsutaan tätä suhdetestiksi (ratio test).
Lause 5.4.11 (Suhdetesti)
Olkoon \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) positiiviterminen sarja ja olkoon
olemassa äärellisenä tai \(L=\infty\).
- Jos \(L<1\), niin sarja suppenee.
- Jos \(L>1\), niin sarja hajaantuu.
Tapauksessa \(L=1\) voi käydä kummin vain.
Käsitellään tapaukset erikseen.
Oletetaan, että \(L < 1\) ja valitaan luku \(r\) väliltä \((L,1)\). Tässä välttämättä \(L > 0\), sillä käsiteltävä sarja on positiiviterminen. Raja-arvon määritelmän mukaan on olemassa sellainen luonnollinen luku \(N\), että
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r \Leftrightarrow a_{n+1}\le a_nr.\]aina, kun \(n \geq N\). Siten
\[\begin{aligned} a_{N+1}&\le a_Nr, \qquad a_{N+2}\le a_{N+1}r\le a_Nr^2, \qquad\cdots\qquad a_{N+k}\le a_Nr^k. \end{aligned}\]Sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_Nr^k\) suppenee geometrisena sarjana, sillä \(|r| < 1\), joten jäännöstermi
\[0 < R_N=\sum_{k=N+1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty a_{N+k}\le\sum_{k=1}^\infty a_Nr^k<\infty.\]Siis \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.
Oletetaan, että \(L > 1\). Tällöin suurilla \(k\) on \(a_k>0\) ja \(\frac{a_{k+1}}{a_k}\ge 1\), jolloin \(0<a_k\le a_{k+1}\). Ei siis voi olla \(\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0\), eikä sarja siten suppene.
Viimeinen väite voidaan todistaa esimerkin avulla. Harmoniselle sarjalle ja yliharmoniselle sarjalle, jolle \(p = 2\), on
mutta ensin mainittu näistä ja jälkimmäinen suppenee. Tapauksessa \(L=1\) suhdetesti ei siis anna tulosta.
Määritelmä 5.4.12
Jos \(n\in\N\), niin määritellään \(n\)-kertoma \(n!\) asettamalla
Lisäksi asetetaan \(0!=1\).
Esimerkki 5.4.13
Suppeneeko \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{10^k}{k!}\)?
Sarja on positiiviterminen, joten voidaan käyttää suhdetestiä. Nyt
kun \(k\to\infty\), joten sarja suppenee.