- MATH.APP.160
- 5. Lukujonot ja sarjat
- 5.3 Sarja
Sarja¶
Määritelmä 5.3.1
Olkoon (ak)∞n=1 lukujono. Muodollista summaa
kutsutaan sarjaksi (series). Luku ak on sarjan k:s termi. Sarjan ensimmäisten termien summa indeksiin n saakka on sarjan n:s osasumma (partial sum)
Esimerkki 5.3.2
Sarjan
neljä ensimmäistä osasummaa ovat
Minkä tahansa sarjan osasummista voidaan nyt muodostaa lukujono S1,S2,…, jota voidaan käsitellä edellisen osion keinoin. Mikäli sarjan osasummista muodostettu lukujono suppenee, on luonnollista sanoa, että tällöin myös osasummia vastaava sarja suppenee ja määritellä muodollisen summan arvoksi lukujonon raja-arvo.
Määritelmä 5.3.3
Tarkastellaan sarjaa ∞∑k=1ak. Jos osasummien Sn muodostama lukujono (Sn)∞n=1 suppenee ja sen raja-arvo on S=limn→∞Sn, niin sanotaan, että sarja suppenee ja että sen summa on S. Tällöin merkitään
Jos (Sn)∞n=1 hajaantuu, niin sanotaan, että sarja hajaantuu. Jos limn→∞Sn=±∞, niin merkitään
Esimerkki 5.3.4
Osoita, että ∞∑k=11k(k+1)=11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯ suppenee.
Muodostamalla osamurtokehitelmä nähdään, että yleinen termi voidaan kirjoittaa muodossa
joten osasumma
kun n→∞. Siten sarja suppenee ja ∞∑k=11k(k+1)=1.
Esimerkki 5.3.5
Osoita, että sarja ∞∑k=1(−1)k+1=1−1+1−1+⋯ hajaantuu.
Ensimmäiset osasummat ovat
Nähdään, että osasummien jono on (1,0,1,0,1,0,…), jolla ei ole raja-arvoa.
Huomautus 5.3.6
Sarjan indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin 1. Esimerkiksi
Tämän sarjan osasummat ovat
Määritelmä 5.3.7
Sarja ∞∑k=0ak on geometrinen sarja (geometric series), jos on olemassa sellainen reaaliluku r, että
kaikilla k. Toisin sanoen ensimmäisen termin jälkeen kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla suhdeluvulla (common ratio) r.
Jos geometrisen sarjan ensimmäistä termiä merkitään kirjaimella a, niin sarjan termit ovat a0=a, a1=ar, a2=ar2, a3=ar3,… Niinpä geometrinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa
Huomaa, että tässä ensimmäinen indeksi on k=0.
Lause 5.3.8
Jos suhdeluku toteuttaa ehdon |r|<1, niin geometrinen sarja (1) suppenee ja
Jos taas suhdeluku |r|≥1 ja a≠0, niin geometrinen sarja hajaantuu.
Kirjoitetaan n:s osasumma ja kerrotaan yhtälö puolittain suhdeluvulla, jolloin saadaan
Vähentämällä nämä yhtälöt puolittain saadaan
joten
Kun |r|<1, niin
joten
Kun |r|>1, niin raja-arvoa limn→∞rn+1 ei ole olemassa ja silloin sarja hajaantuu, mikäli a≠0. Myös tapauksissa r=±1, a≠0, sarja hajaantuu.
Geometrisen sarjan osasummaa Sn kutsutaan geometriseksi summaksi, jolle edellisen todistuksen mukaan
kun r≠1.
Esimerkki 5.3.9
Sarja
12+14+18+116+⋯=∞∑k=112kon geometrinen sarja, jonka suhdeluku r=12. Tällöin
∞∑k=112k=∞∑k=012k−1=11−12−1=1.Sarja
2−4+8−16+⋯=∞∑k=02(−2)kon geometrinen sarja, jonka suhdeluku r=−2 ja a=2. Sarja siis hajaantuu.
Sarja ∞∑k=22k+15k on suppeneva geometrinen sarja, sillä voidaan laskea, että
∞∑k=22k+15k=∞∑k=02k+15k−21+151−20+150=∞∑k=02(25)k−45−2=21−25−45−2=815.
Koska sarjan arvo on sen osasummien jonon raja-arvo, seuraava perustulos seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.
Lause 5.3.10
Jos sarjat ∞∑k=1ak ja ∞∑k=1bk suppenevat ja c∈R, niin myös sarjat ∞∑k=1cak ja ∞∑k=1(ak+bk) suppenevat. Lisäksi
Esimerkki 5.3.11
Lauseen 5.3.10 avulla saadaan
Lause 5.3.12
Jos sarja ∞∑k=1ak suppenee, niin limk→∞ak=0.
Merkitään S=∞∑k=1ak. Tällöin S=limn→∞Sn=limn→∞Sn−1, joten
Seuraus 5.3.13
Jos limk→∞ak≠0 tai raja-arvoa ei ole olemassa, niin sarja ∞∑k=1ak hajaantuu.
Huomautus 5.3.14
Lauseen 5.3.12 käänteinen väite ei päde, eli kyseessä on vain välttämätön ehto. Siis sarja ∞∑k=1ak voi hajaantua, vaikka olisi limk→∞ak=0. Esimerkiksi tästä käy harmoninen sarja, jonka hajaantuminen voidaan osoittaa integraalitestin avulla.
Esimerkki 5.3.15
Sarja ∞∑k=1k−1k hajaantuu, sillä
kun k→∞.
Määritelmä 5.3.16
Sarjan ∞∑k=1ak n:s jäännöstermi (remainder) on sarja ∞∑k=n+1ak, kun n≥0. Jos jäännöstermi suppenee, niin sen summaa merkitään Rn.
Seuraava lause toteaa sen ilmeisen seikan, että suppenevan sarjan summa S voidaan jakaa osiin, eli
kun n≥0.
Lause 5.3.17
Sarja ∞∑k=1ak suppenee, jos ja vain jos jäännöstermi Rn=∞∑k=n+1ak suppenee kaikilla n≥0. Suppenevassa tapauksessa
mielivaltaisella n≥0.
”⇒” Oletetaan, että ∞∑k=1ak suppenee. Tällöin on olemassa raja-arvo
Jos nyt m>n, niin
”⇐” Oletetaan, että jäännöstermi Rn suppenee jokaisella n≥0. Tällöin jäännöstermi R0 on itse asiassa koko sarja, joten väite on tosi.
Lauseen 5.3.17 mukaisesta jäännöstermien ja sarjan suppenemisen yhtäpitävyydestä seuraa erityisesti, että mikään äärellinen määrä sarjan alkupään termejä ei vaikuta sarjan suppenemiseen.
Huomautus 5.3.18
Jäännöstermin itseisarvo |Rn| on se virhe, joka syntyy, kun sarjaa ∑∞k=1ak arvioidaan osasummalla Sn.