Processing math: 100%

Sarja

Määritelmä 5.3.1

Olkoon (ak)n=1 lukujono. Muodollista summaa

a1+a2+a3+=k=1ak

kutsutaan sarjaksi (series). Luku ak on sarjan k:s termi. Sarjan ensimmäisten termien summa indeksiin n saakka on sarjan n:s osasumma (partial sum)

Sn=a1+a2+a3++an=nk=1ak.
Mikä seuraavista kuvaa sarjaa?

Esimerkki 5.3.2

Sarjan

12+14+18+116+=k=112k

neljä ensimmäistä osasummaa ovat

S1=12,S2=12+14=34,S3=12+14+18=78,S4=12+14+18+116=1516.

Minkä tahansa sarjan osasummista voidaan nyt muodostaa lukujono S1,S2,, jota voidaan käsitellä edellisen osion keinoin. Mikäli sarjan osasummista muodostettu lukujono suppenee, on luonnollista sanoa, että tällöin myös osasummia vastaava sarja suppenee ja määritellä muodollisen summan arvoksi lukujonon raja-arvo.

Määritelmä 5.3.3

Tarkastellaan sarjaa k=1ak. Jos osasummien Sn muodostama lukujono (Sn)n=1 suppenee ja sen raja-arvo on S=limnSn, niin sanotaan, että sarja suppenee ja että sen summa on S. Tällöin merkitään

k=1ak=S.

Jos (Sn)n=1 hajaantuu, niin sanotaan, että sarja hajaantuu. Jos limnSn=±, niin merkitään

k=1ak=±.

Esimerkki 5.3.4

Osoita, että k=11k(k+1)=112+123+134+ suppenee.

Piilota/näytä ratkaisu

Muodostamalla osamurtokehitelmä nähdään, että yleinen termi voidaan kirjoittaa muodossa

ak=1k(k+1)=1k1k+1,

joten osasumma

Sn=(112)+(1213)+(1314)++(1n11n)+(1n1n+1)=11n+11,

kun n. Siten sarja suppenee ja k=11k(k+1)=1.

Esimerkki 5.3.5

Osoita, että sarja k=1(1)k+1=11+11+ hajaantuu.

Piilota/näytä ratkaisu

Ensimmäiset osasummat ovat

S1=1,S2=11=0,S3=11+1=1,S4=11+11=0.

Nähdään, että osasummien jono on (1,0,1,0,1,0,), jolla ei ole raja-arvoa.

Huomautus 5.3.6

Sarjan indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin 1. Esimerkiksi

i=51(i4)2=1+14+19+.

Tämän sarjan osasummat ovat

S5=1,S6=1+14=54,S7=1+14+19=4936,.

Määritelmä 5.3.7

Sarja k=0ak on geometrinen sarja (geometric series), jos on olemassa sellainen reaaliluku r, että

ak+1=rak

kaikilla k. Toisin sanoen ensimmäisen termin jälkeen kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla suhdeluvulla (common ratio) r.

Jos geometrisen sarjan ensimmäistä termiä merkitään kirjaimella a, niin sarjan termit ovat a0=a, a1=ar, a2=ar2, a3=ar3, Niinpä geometrinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa

(1)k=0ark=a+ar+ar2+ar3+.

Huomaa, että tässä ensimmäinen indeksi on k=0.

Lause 5.3.8

Jos suhdeluku toteuttaa ehdon |r|<1, niin geometrinen sarja (1) suppenee ja

k=0ark=a1r.

Jos taas suhdeluku |r|1 ja a0, niin geometrinen sarja hajaantuu.

Piilota/näytä todistus

Kirjoitetaan n:s osasumma ja kerrotaan yhtälö puolittain suhdeluvulla, jolloin saadaan

Sn=a+ar+ar2++arn,rSn=ar+ar2++arn+arn+1.

Vähentämällä nämä yhtälöt puolittain saadaan

(1r)Sn=aarn+1,

joten

Sn={a(1rn+1)1r,kun r1,(n+1)a,kun r=1.

Kun |r|<1, niin

limnrn+1=0,

joten

S=limnSn=a1r.

Kun |r|>1, niin raja-arvoa limnrn+1 ei ole olemassa ja silloin sarja hajaantuu, mikäli a0. Myös tapauksissa r=±1, a0, sarja hajaantuu.

Geometrisen sarjan osasummaa Sn kutsutaan geometriseksi summaksi, jolle edellisen todistuksen mukaan

nk=0ark=a+ar+ar2++arn=a(1rn+1)1r,

kun r1.

Mikä väite ei pidä paikkaansa geometriselle sarjalle k=0ark?

Esimerkki 5.3.9

  1. Sarja

    12+14+18+116+=k=112k

    on geometrinen sarja, jonka suhdeluku r=12. Tällöin

    k=112k=k=012k1=11121=1.
  2. Sarja

    24+816+=k=02(2)k

    on geometrinen sarja, jonka suhdeluku r=2 ja a=2. Sarja siis hajaantuu.

  3. Sarja k=22k+15k on suppeneva geometrinen sarja, sillä voidaan laskea, että

    k=22k+15k=k=02k+15k21+15120+150=k=02(25)k452=2125452=815.

Koska sarjan arvo on sen osasummien jonon raja-arvo, seuraava perustulos seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.

Lause 5.3.10

Jos sarjat k=1ak ja k=1bk suppenevat ja cR, niin myös sarjat k=1cak ja k=1(ak+bk) suppenevat. Lisäksi

k=1cak=ck=1akjak=1(ak+bk)=k=1ak+k=1bk.

Esimerkki 5.3.11

Lauseen 5.3.10 avulla saadaan

k=1(2(13)k+πek)=2k=1(13)k+πk=1(1e)k=2k=0(13)k2+πk=0(1e)kπ=21+132+π11eπ=12+πe1.

Lause 5.3.12

Jos sarja k=1ak suppenee, niin limkak=0.

Piilota/näytä todistus

Merkitään S=k=1ak. Tällöin S=limnSn=limnSn1, joten

limnan=limn(SnSn1)=SS=0.

Seuraus 5.3.13

Jos limkak0 tai raja-arvoa ei ole olemassa, niin sarja k=1ak hajaantuu.

Huomautus 5.3.14

Lauseen 5.3.12 käänteinen väite ei päde, eli kyseessä on vain välttämätön ehto. Siis sarja k=1ak voi hajaantua, vaikka olisi limkak=0. Esimerkiksi tästä käy harmoninen sarja, jonka hajaantuminen voidaan osoittaa integraalitestin avulla.

Esimerkki 5.3.15

Sarja k=1k1k hajaantuu, sillä

k1k=11k10,

kun k.

Määritelmä 5.3.16

Sarjan k=1ak n:s jäännöstermi (remainder) on sarja k=n+1ak, kun n0. Jos jäännöstermi suppenee, niin sen summaa merkitään Rn.

Seuraava lause toteaa sen ilmeisen seikan, että suppenevan sarjan summa S voidaan jakaa osiin, eli

S=a1+a2++an=Sn+an+1+an+2+=Rn=Sn+Rn,

kun n0.

Lause 5.3.17

Sarja k=1ak suppenee, jos ja vain jos jäännöstermi Rn=k=n+1ak suppenee kaikilla n0. Suppenevassa tapauksessa

(2)S=k=1ak=nk=1ak+k=n+1ak=Sn+Rn

mielivaltaisella n0.

Piilota/näytä todistus

” Oletetaan, että k=1ak suppenee. Tällöin on olemassa raja-arvo

SSn=limmSmS=limm(SmSn).

Jos nyt m>n, niin

SSn=limmmk=n+1ak=k=n+1ak=Rn.

” Oletetaan, että jäännöstermi Rn suppenee jokaisella n0. Tällöin jäännöstermi R0 on itse asiassa koko sarja, joten väite on tosi.

Lauseen 5.3.17 mukaisesta jäännöstermien ja sarjan suppenemisen yhtäpitävyydestä seuraa erityisesti, että mikään äärellinen määrä sarjan alkupään termejä ei vaikuta sarjan suppenemiseen.

Huomautus 5.3.18

Jäännöstermin itseisarvo |Rn| on se virhe, joka syntyy, kun sarjaa k=1ak arvioidaan osasummalla Sn.

Sarja suppenee, jos
Palautusta lähetetään...