$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Vuorottelevat sarjat ja itseinen suppeneminen

Tähän asti käsiteltyjen positiivitermisten sarjojen yleistäminen on itse asiassa yksinkertaisempaa kuin voisi kuvitella. Lähdetään liikkeelle sarjasta, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia.

Määritelmä 5.5.1

Sarja on vuorotteleva, jos sen termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Toisin sanoen vuorotteleva sarja on oleellisesti muotoa

$$\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}a_k=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-\cdots$$

missä $a_k>0$ kaikilla $k\in\mathbb{N}$.

Avaa tämä tehtävä uudessa välilehdessä (suositellaan näppäimistön ja avustavan teknologian käyttäjille)

Et voi palauttaa tätä tehtävää

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Näytä kuitenkin

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Palautusta lähetetään...

Palautuksen lähettämisessä arvosteluun tapahtui virhe eikä palautuskertoja kulunut. Voit yrittää vielä uudestaan. Tarkistathan internet-yhteytesi. Henkilökunnalle on ilmoitettu mikäli onglema on palvelussa.

Tehtävä 1

Kysymys 1 1 piste Sarja on aina vuorotteleva, jos

sen termit ovat vuorotellen negatiivisia ja nollia.

sen termit ovat vuoroin positiivisia ja vuoroin negatiivisia.

sen termit ovat vuorotellen nollia ja positiivisia.

se suppenee integraalitestin nojalla.

sarja on harmoninen.

sarja on yliharmoninen.

Tehtävää ladataan...

Vuorotteleville sarjoille on käytössä seuraava Leibnizin testi, joka antaa myös arvion sarjan jäännöstermille $R_n$.

Lause 5.5.2 (Leibnizin testi)

Jos vuorottelevalle sarjalle on voimassa

1. $a_k\ge a_{k+1}$ kaikilla $k$ ja
2. $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0$,

niin sarja suppenee. Jäännöstermille on voimassa arvio $|R_n|\leq a_{n+1}$.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että sarja

$$\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k$$

toteuttaa oletukset. Olkoon $n$. osasumma

$$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}a_k.$$

Tällöin kaikilla $n \geq 1$ on voimassa

$$S_{2(n+1)-1} = S_{2n-1} - a_{2n} + a_{2n+1} \leq S_{2n-1} - a_{2n} + a_{2n} = S_{2n-1}$$

ja

$$S_{2(n+1)} = S_{2n} + a_{2n+1} - a_{2n+2} \geq S_{2n} + a_{2n+2} - a_{2n+2} = S_{2n},$$

eli lukujono $(S_{2n-1})_{n=1}^\infty$ on vähenevä ja lukujono $(S_{2n})_{n=1}^\infty$ on kasvava. Tästä seuraa, että

$$S_{2n} = S_{2n-1} - a_{2n} \leq S_{2n-1} \leq S_1 \qquad \text{ja} \qquad S_{2n+1} = S_{2n} + a_{2n+1} \geq S_{2n} \geq S_2.$$

Näin ollen kasvava lukujono $(S_{2n})_{n=1}^\infty$ on rajoitettu ylhäältä osasummalla $S_1$ ja vähenevä lukujono $(S_{2n+1})_{n=1}^\infty$ on rajoitettu alhaalta osasummalla $S_2$. Monotonisten jonojen peruslauseen nojalla kumpikin lukujono suppenee. Koska

$$\lim_{n\to\infty} (S_{2n+1}-S_{2n})=\lim_{n\to \infty}a_{2n+1}=0,$$

suppenevat lukujonot $(S_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ ja $(S_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ kohti samaa lukua $S$ ja tällöin myös

$$S=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k.$$

Jäännöstermin suuruutta voidaan nyt arvioida ylöspäin sen tiedon valossa, että lukujono $(S_{2n-1})_{n=1}^\infty$ on vähenevä ja lukujono $(S_{2n})_{n=1}^\infty$ on kasvava. Kaikille $n\geq 1$ on voimassa

$$|R_{2n-1}| = |S-S_{2n-1}| = S_{2n-1} - S \leq S_{2n-1} - S_{2n} = -(-a_{2n}) = a_{2n}$$

ja

$$|R_{2n}| = |S-S_{2n}| = S-S_{2n} \leq S_{2n+1} - S_{2n} = a_{2n+1},$$

mikä todistaa väitteen.

Tehtävää ladataan...

Esimerkki 5.5.3

Vuorotteleva harmoninen sarja

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots$$

suppenee, sillä

$$a_k=\frac1k\ge\frac{1}{k+1}=a_{k+1}$$

aina, kun $k\in\N$ ja

$$\lim\limits_{k\to\infty}a_k=\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac1k=0.$$

Esimerkki 5.5.4

Tutki vuorottelevan sarjan

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{\sqrt{3k+1}}$$

suppenemista Leibnizin testillä.

Piilota/näytä ratkaisu

Sarjan yleinen termi on $a_k=\frac{1}{\sqrt{3k+1}}$. Neliöjuuri on kasvava funktio, joten koska $3k+1<3(k+1)+1$, niin

$$\sqrt{3k+1}<\sqrt{3(k+1)+1}\ \Leftrightarrow\ \frac{1}{\sqrt{3(k+1)+1}}<\frac{1}{\sqrt{3k+1}}\ \Leftrightarrow\ a_{k+1}<a_k,$$

ja Leibnizin testin ensimmäinen kohta on tosi. Toisaalta,

$$\lim_{k\to\infty} a_k=\lim_{k\to\infty} \frac{1}{\sqrt{3k+1}}=0,$$

joten myös toinen kohta on voimassa ja sarja suppenee Leibnizin testin nojalla.

Mikäli sarja ei ole positiiviterminen eikä vuorotteleva, voi olla vaikea sanoa suoraan, suppeneeko vai hajaantuuko kyseinen sarja. Mistä tahansa sarjasta voidaan kuitenkin muodostaa positiiviterminen sarja ottamalla itseisarvot sarjan jokaisesta termistä. Mikäli näin muodostettu sarja suppenee, sanotaan, että alkuperäinen sarja suppenee itseisesti (converges absolutely).

Määritelmä 5.5.5

Sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ suppenee itseisesti, jos sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ suppenee.

Itseinen suppeneminen on tärkeä käsite, sillä seuraavan tuloksen mukaan jokainen itseisesti suppeneva sarja suppenee. Toisin sanonen minkä tahansa sarjan suppenemista voidaan tutkia itseisen suppenemisen avulla.

Lause 5.5.6

Jos sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee. Toisin sanoen jos $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ suppenee, niin $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ suppenee.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ suppenee. Koska

$$\begin{split}|a_k|= \begin{cases} a_k,&\text{jos }a_k\ge0\\ -a_k,&\text{jos }a_k\le0, \end{cases}\end{split}$$

niin

$$0\le|a_k|+a_k\le|a_k|+|a_k|=2|a_k|$$

aina, kun $k\in\N$. Niinpä sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(|a_k|+a_k\right)$ on positiiviterminen ja sillä on majoranttina sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}2|a_k|$. Oletuksen mukaan tämä sarja kuitenkin suppenee, joten myös sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(|a_k|+a_k\right)$ suppenee. Nyt sarja

$$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\big(\left(|a_k|+a_k\right)-|a_k|\big)=\sum_{k=1}^{\infty}(|a_k|+a_k)-\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$$

voidaan esittään kahden suppenevan sarjan erotuksena, joten suppenevien sarjojen lineaarisuuden vuoksi se suppenee.

Käänteinen tulos ei ole voimassa, sillä esimerkiksi vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, mutta sen itseisarvosarja on harmoninen sarja, joka hajaantuu. Tällaista sarjaa, joka suppenee, mutta ei suppene itseisesti, sanotaan ehdollisesti suppenevaksi (conditionally convergent).

Esimerkki 5.5.7

Suppeneeko $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kk}{2^k}$?

Piilota/näytä ratkaisu

Tutkitaan itseistä suppenemista suhdetestillä. Nyt

$$\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\frac{\frac{k+1}{2^{k+1}}}{\frac{k}{2^k}}=\frac{k+1}{2k}=\frac12\left(1+\frac1k\right)\to\frac12 < 1,$$

kun $k\to\infty$, joten kyseinen sarja suppenee itseisesti, ja siten suppenee.

Muokataan suhdetesti muotoon, jota voidaan käyttää suoraan kaikille, myös ei-positiivitermisille sarjoille.

Lause 5.5.8 (Suhdetesti)

Olkoon $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ sarja ja olkoon

$$L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$$

olemassa äärellisenä tai $L=\infty$.

1. Jos $L<1$, niin sarja suppenee itseisesti.
2. Jos $L>1$, niin sarja hajaantuu.

Tapauksessa $L=1$ voi käydä kummin vain.

Piilota/näytä todistus

Sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ on positiiviterminen, joten väite 1 seuraa suoraan aiemmasta suhdetestin versiosta. Kohdassa 2 sovelletaan samaa päättelyä kuin aiemmin sarjalle $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$, joten ei ole $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$. Siten ei myöskään ole $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$, joten sarja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ hajaantuu.

Palautusta lähetetään...