\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Funktion polynomiapproksimaatio
Lauseen 6.3.6 Taylorin kaava on tärkeä työkalu funktion approksimoinnissa. Funktiota \(f(x)\) arvioidaan Taylorin polynomilla \(P_n(x)\) ja arviossa tehdyn virheen suuruutta jäännöstermin \(R_n(x)\) avulla.
Huomautus 6.4.1
Jatkossa sanonnalla ”kahden desimaalin tarkkuudella” tarkoitetaan sitä, että virhe on korkeintaan \(0{,}005\). Tämä ei tarkoita välttämättä sitä, että saataisiin oikea kaksidesimaalinen likiarvo (tästä on esimerkki), mutta likiarvon toinen desimaali on kuitenkin korkeintaan ykkösen verran väärä. Vastaavasti määritellään yleisesti ilmaus ”\(n\):n desimaalin tarkkuudella” tarkoittamaan sitä, että virhe on korkeintaan \(0{,}5 \cdot 10^{-n}\).
Esimerkki 6.4.2
Laske \(e\) neljän desimaalin tarkkuudella.
Piilota/näytä ratkaisu
Käytetään Taylorin kaavaa. Funktiolle \(e^x\) pisteessä \(1\) on
\[e=e^1=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+R_n(1)=P_n(1)+R_n(1).\]
Koska \(f^{(n+1)}(z)=e^z\le e\), kun \(0<z<1\), niin jäännöstermille on voimassa
\[|R_n(1)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right|1^{n+1}
\le\frac{e}{(n+1)!}\le\frac{3}{(n+1)!}.\]
On löydettävä \(n\) siten, että \(|R_n(1)|<0{,}5 \cdot 10^{-4} = \frac{1}{20~000}\). Esimerkiksi riittää valita niin suuri \(n\), että
\[\frac{3}{(n+1)!}<\frac{1}{20~000}\Leftrightarrow(n+1)!>60~000.\]
Kokeilemalla havaitaan, että pienin epäyhtälön toteuttava \(n\) on \(n=8\). Täten luvun \(e\) arvo kysytyllä tarkkuudella on
\[e\approx1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{8!}\approx2{,}7183.\]
Esimerkki 6.4.3
Hae polynomi, joka approksimoi funktiota \(\sin x\) yhden desimaalin tarkkuudella välillä
- \(\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\),
- \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
- Minkälainen tarkkuus saavutetaan, kun sinifunktiota approksimoidaan \(7\). asteen Taylorin polynomilla välillä \([-\pi,\pi]\)?
Piilota/näytä ratkaisu
Koska \(\left|\sin z\right| \leq 1\) ja \(\left|\cos z\right| \leq 1\), Taylorin kaavan
\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+1}(x)=P_{2n+1}(x)+R_{2n+1}(x)\]
jäännöstermiä voidaan arvioida
\[|R_{2n+1}(x)|=\frac{|f^{(2n+2)}(z)||x|^{2n+2}}{(2n+2)!}
\le\frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}.\]
Nyt \(|x|<\frac{\pi}{4}<1\), joten \(|R_{2n+1}(x)|\le\dfrac{1}{(2n+2)!}\). Vaaditaan, että
\[\frac{1}{(2n+2)!}<0{,}05=\frac{1}{20}\Leftrightarrow(2n+2)!>20.\]
Riittää valita \(n=1\), jolloin sinifunktion Taylorin polynomi on astetta \(2n + 1 = 3\). Siis
\[\sin x\approx P_3(x)=x-\frac{x^3}{3!}\]
yhden desimaalin tarkkuudella välillä \(\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\).
Nyt \(|x|<\frac{\pi}{2}<2\), joten \(|R_{2n+1}(x)|\le\dfrac{2^{2n+2}}{(2n+2)!}\). Vaaditaan, että
\[\frac{2^{2n+2}}{(2n+2)!}<0{,}05.\]
Kokeilemalla havaitaan, että riittää valita \(n=3\), jolloin sinifunktion Taylorin polynomi on astetta \(2n + 1 = 7\). Siis
\[\sin x\approx P_7(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\]
yhden desimaalin tarkkuudella välillä \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
Seitsemännen asteen Taylorin polynomia vastaa indeksin arvo \(n=3\), joten
\[|R_7(x)|\le\frac{\pi^8}{8!}=0{,}235\cdots.\]
Approksimoitaessa funktiota \(\sin x\) välillä \([-\pi,\pi]\) polynomilla
\[P_7(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\]
tehdään siis korkeintaan noin \(0{,}24\) yksikön suuruinen virhe.
Seuraavassa kuvassa havainnollistetaan Esimerkin 6.4.3 approksimaatioita. Ensimmäisen asteen Taylorin polynomi
\[P_1(x)=f(c)+f'(c)(x-c)\]
on lineaarinen approksimaatio, joka tässä esimerkissä on
\[\sin x\approx P_1(x)=x.\]
Korkeamman asteen termien mukaan ottaminen parantaa arviota, kuten kuvastakin selvästi nähdään.
Esimerkki 6.4.4
Tarkastellaan kuvan mukaista mallia heilurista, jossa massattoman langan (pituus \(L\)) päässä oleva punnus (massa \(m\)) vapautetaan kulmasta \(\theta_0\in[0,\pi]\) (jolloin \(-\theta_0\le\theta\le\theta_0\)). Arvioidaan heilurin heilahdusaikaa eli jaksoa \(T\).
Jätetään ilmanvastus huomiotta, jolloin punnukseen vaikuttaa liikkeen suunnassa ainoastaan painovoiman \(\mathbf{F}=m\mathbf{g}\) liikkeen suuntainen komponentti \(\mathbf{F}_\theta\), jonka suuruus on
\[F_\theta=mg\sin\theta.\]
Käytetään sinille Esimerkissä 6.3.11 johdettua Maclaurinin kehitelmää, eli
\[\sin\theta=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots,\]
ja tehdään ensimmäisen asteen arvio \(\sin\theta\approx\theta\). Kyseessä on vuorotteleva sarja, joten arviossa tehdään virhe, joka on korkeintaan \(\left|\frac{\theta^3}{3!}\right|\) (katso Leibnizin testi). Jos esimerkiksi \(|\theta|\le10^\circ\approx0{,}17\) rad, niin suhteellisen virheen maksimiksi voidaan arvioida \((0{,}{17}^3/6)/0{,}{17}\approx0{,}5~\%\). Merkitään kijaimella \(x\) punnuksen kulkemaa matkaa tasapainotilasta (\(\theta=0\)) kulmaan \(\theta\), eli \(x=L\theta\). Nyt
\[F_\theta\approx mg\theta=\frac{mg}{L}x,\]
eli \(F_\theta\) on likimain suoraan verrannollinen poikkeamaan \(x\) tasapainoasemasta, verrannollisuuskertoimena (”jousivakiona”) \(k=mg/L\). Pienillä kulmilla heiluri siis käyttäytyy kuten vaimentamaton vapaa värähtelijä, jonka kulmanopeus on \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{L}}\). Jaksolle \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) saadaan siten arvio
\[T\approx2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},\]
kun \(\theta_0\) on pieni. Erityisesti nähdään, että pienillä \(\theta_0\) jakso ei riipu heilahduksen amplitudista \(\theta_0\), vaan ainoastaan heilurin pituudesta \(L\). Tämän vuoksi heilurikello näyttää hyvin tarkasti oikeaa aikaa, vaikka heiluriliikkeen amplitudi pienenisi ajan kuluessa.
Taylorin kaavalla voidaan myös arvioida monia hankalia integraaleja.
Esimerkki 6.4.5
Arvioi integraalia \(\displaystyle\int_0^1\sin(x^2)\,\d x\) kolmen desimaalin tarkkuudella.
Piilota/näytä ratkaisu
Funktion \(\sin x\) sarjakehitelmästä saadaan
\[\sin(x^2)=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^nx^{4n+2}}{(2n+1)!}+\cdots.\]
Integroidaan termeittäin pitkin väliä \([0,1]\), jolloin
\[\int_0^1\sin(x^2)\,\d x=\frac13-\frac{1}{7\cdot3!}+\frac{1}{11\cdot5!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(4n+3)(2n+1)!}+\cdots.\]
Funktion \(\sin x\) Taylorin sarjaa on jo käsitelty Esimerkissä 6.3.11. Nyt voitaisiinkin soveltaa tämän esimerkin virhearviota funktiolle \(\sin(x^2)\) ja arvioida sillä integraalin virhettä, mutta koska integraalin sarjakehitelmä on vuorotteleva sarja ja toteuttaa Leibnizin testin oletukset, niin on yksinkertaisempaa käyttää Leibnizin testiä. Pienin \(n\), joka toteuttaa epäyhtälön
\[\frac{1}{(4n+3)(2n+1)!}<0{,}0005\]
on \(n=3\). Haluttuun tarkkuuteen riittää siis ottaa termit indeksiin \(n=2\) saakka, eli
\[\int_0^1\sin(x^2)\,\d x\approx\frac13-\frac{1}{7\cdot3!}+\frac{1}{11\cdot5!}\approx0{,}310.\]
Tämä keino on huomattavasti tehokkaampi kuin ”numeronmurskaaminen” esimerkiksi jollakin numeerisen integroinnin menetelmällä, jossa jouduttaisiin ottamaan kymmeniä tai satoja osavälejä samaan tarkkuuteen pääsemiseksi.
