- MATH.APP.160
- 6. Potenssisarjat ja Taylorin sarja
- 6.3 Taylorin sarja ja Taylorin polynomi
Taylorin sarja ja Taylorin polynomi¶
Lauseessa 6.2.9 todettiin, että jokainen potenssisarja esittää suppenemisvälillään derivoituvaa funktiota f(x). Kääntäen voidaan kysyä, että jos funktio f(x) on annettu, niin millä ehdoilla löydetään sellainen potenssisarja \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k, että f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k. Käytännössä tulee siis selvittää, miten kertoimet a_k löydetään ja suppeneeko saatu sarja pisteittäin kohti annetun funktion vastaavia arvoja. Lause 6.2.9 antaa välttämättömän ehdon, eli sarja on olemassa jos funktiolla f(x) on kaikkien kertalukujen derivaatat.
Hieman toisesta suunnasta tarkasteltuna ideana on approksimoida funktiota jonkun pisteen ympäristössä polynomeilla siten, että approksimaatio suppenee kohti funktiota polynomien asteen kasvaessa rajatta. Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa interpolaatio-ongelmaa.
Esimerkki 6.3.1
Olkoon n\in\mathbb{N} ja a_0,a_1,...,a_{n-1}\in\mathbb{R} ja x=c jokin piste. Etsi n-1-asteen polynomi P, joka toteuttaa ehdot
Etsitään polynomia muodossa P(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{n-1}x^n, jolloin P^{(k)}(x)=0 kun k\ge n. Sijoitetaan polynomiin x=c+(x-c), jolloin se voidaan kirjoittaa muodossa
Pisteessä x=c saadaan
Etsitty polynomi on siis muotoa
Edellinen esimerkki kertoo meille, että jokainen n-1-asteen polynomi voidaan yksikäsitteisesti määrätä antamalla sen nollasta poikkeavat derivaatat yhdessä pisteessä. Yleiselle funktiolle tilanne ei ole näin yksinkertainen, sillä tilannetta vastaa ”interpolaatio-ongelma”, missä n\to\infty. Aloitetaan ongelman tarkastelu antamalla seuraava määritelmä. Etsitään potenssisarjaa, jossa sekä funktion f että sarjan kaikki derivaatat ovat samoja yhdessä pisteessä.
Määritelmä 6.3.2
Jos funktiolla f(x) on pisteessä x=c kaikkien kertalukujen derivaatat f^{(k)}(c), niin potenssisarjaa
kutsutaan funktion f Taylorin sarjaksi (Taylor series) pisteen c suhteen. Jos c=0, niin sarjasta käytetään myös nimitystä Maclaurinin sarja (Maclaurin series).
Todistetaan seuraavaksi, että funktioon f assosioitu Taylorin sarja on yksikäsitteinen, joten ei ole väliä millä menetelmällä se on löydetty.
Lause 6.3.3
Taylorin sarja on yksikäsittäinen suppenemisvälillään. Tarkemmin sanottuna, jos f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k välillä (c-R,c+R), niin
aina, kun n on ei-negatiivinen kokonaisluku.
Sovelletaan potenssisarjan derivointisääntöä n kertaa.
Asetetaan viimeisessä yhtälössä x=c, jolloin sarjasta jää jäljelle vain indeksiä k=n vastaava termi n!a_n=f^{(n)}(c).
Vaikka Taylorin sarja (??) suppenisi pisteessä x, niin se ei välttämättä suppene kohti funktion arvoa f(x).
Esimerkki 6.3.4
Määritellään funktio f : \R\to\R asettamalla
Funktio f on jatkuva myös pisteessä 0, sillä
Kun x\ne0, niin
Muuttujanvaihdolla t=1/x^2 nähdään, että
sillä eksponenttifunktio voittaa kasvussa potenssifunktion. Derivaatan raja-arvoja koskevan lauseen mukaan funktion f jatkuvuudesta ja äskeisestä yhtälöstä seuraa, että f'(0)=0. Derivaattafunktio f'(x) on täten kaikkialla jatkuva, ja kun x\ne0, niin vastaavasti kuin edellä saadaan
kun x\to0. Siten on olemassa f''(0)=0. Näin jatkaen nähdään, että funktiolla f on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat ja että f^{(k)}(0)=0 kaikilla k \ge 0. Niinpä funktiolla f on kaikilla reaaliluvuilla x suppeneva Maclaurinin sarja
Kuitenkin f(x)\ne0 aina, kun x\ne0, joten sarja esittää funktiota f vain pisteessä 0.
Edellinen esimerkki osoitaa, että vaikka funktiolla olisi kaikki derivaatat jatkuvina olemassa annetun pisteen ympäristössä, sitä ei välttämättä voida esittää potenssisarjana. Koska tämä on tärkeä ominaisuus, annetaan edellä mainitulla tavalla esitettäville funktioille seuraava nimitys.
Määritelmä 6.3.5
Funktiota f:I\to\mathbb{R} kutsutaan reaalianalyyttiseksi, jos se voidaan esittää suppenevana potenssisarjana jokaisen pisteen c\in I jossakin ympäristössä, kun I on avoin väli.
Kappaleen alussa esitetyn interpolaatio-ongelman perusteella huomataan, että polynomit ovat reaalianalyyttisiä funktioita. Käy ilmi, että kaikki tunnetut alkeisfunktiot ovat reaalianalyyttisiä. Karakterisoidaan seuraavaksi, milloin Taylorin sarja suppenee kohti annettua funktiota. Seuraava klassinen lause on keskeinen työkalu ongelman tarkastelussa.
Lause 6.3.6 (Taylorin lause)
Olkoon funktiolla f : I\to\R kaikkien kertalukujen derivaatat avoimella välillä I ja olkoon c välin I piste. Silloin Taylorin kaava
on voimassa aina, kun x \in I missä
on Taylorin sarjan n:s osasumma eli n. asteen Taylorin polynomi ja
on Taylorin sarjan jäännöstermi.
Määritelmän mukaan
Olkoon t pisteiden x ja c välillä ja merkitään
Tällöin F(c)=R_n(x). Lisäksi F(t) = f(x) - f(t) - \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k, jolloin
Alimman rivin summasta kumoutuvat kaikki muut termit paitsi yksi, eli
Määritellään
Näin ollen G(x)=G(c)=0, jolloin Rollen lauseen perusteella derivoituvalle funktiolle löytyy pisteiden x ja c välistä sellainen piste z, että derivaatta G'(z)=0. Tästä seuraa, että
joten ottamalla huomioon F(c)=R_n(x) ja kaava (??) saadaan
Tästä muodosta saadaan
Funktion f Taylorin sarja esittää funktiota itseään niillä reaaliluvuilla x, joilla jäännöstermin raja-arvo on nolla. Toisin sanoen
jos ja vain jos
Korostettakoon, että Taylorin jäännöstermissä (??) z riippuu pisteen x lisäksi myös kokonaisluvusta n, eli z=z(x,n). Erityisesti edellä mainittua raja-arvoa (??) laskettaessa ei voida olettaa, että z olisi vakio. Vertaa tätä Esimerkkiin 1.9 eksponenttifuntiosta, jossa ongelma hoidetaan arvioimalla e^z<e^{|x|}, missä e^{|x|} on luvun n suhteen vakio.
Huomautus 6.3.7
Taylorin lauseessa jäännöstermi esitettiin differentiaalimuodossa (tai Lagrangen muodossa)
Kirjallisuudesta löytyy myös muita muotoja jäännöstermille. Toinen yleinen tapa on esittää jäännöstermi integraalimuodossa
joka on helppo todistaa induktiolla n:n suhteen soveltamalla osittaisintegrointikaavaa oikealla puolella olevaan integraaliin.
Esimerkissä 6.2.10 saatiin johdettua funktioiden (1-x)^{-2} ja \ln(1+x) potenssisarjaesitykset ikään kuin sattumalta derivoimalla ja integroimalla funktion (1-x)^{-1} potenssisarjaa. Taylorin kaavalla saadaan (ainakin periaatteessa) potenssisarjaesitys mille tahansa funktiolle, jolla sellainen on olemassa. Yksikäsitteisyyslause takaa, että saatu potenssisarja on aina Taylorin sarja, olipa se saatu millä (kelvollisella) menetelmällä tahansa.
Seuraava tulos antaa helpon tavan tutkia milloin Taylorin sarja esittää funktiota.
Lause 6.3.8
Oletetaan, että on olemassa vakio M>0, jolle |f^{(n+1)}(z)|\le M kaikilla n\ge 0 ja kun z on pisteiden x ja c välillä. Tällöin
ja
suppenemisvälillään.
Jos |f^{(n+1)}(z)|\le M kaikilla n\ge 0 ja kun z on pisteiden x ja c välillä, niin Taylorin lauseesta seuraa
Merkitään d=|x-c|, jolloin
Todistetaan, että lukujono (\tfrac{d^n}{n!})_{n=0}^\infty on vähenevä, kun n\ge d-1. Tämä on helppo havaita, sillä
kun n\ge d-1.
Todistetaan sitten, että \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{d^n}{n!}=0. Tätä varten olkoon m=\lfloor d\rfloor luvun d desimaaliesityksen kokonaisosa. Nyt aina, kun n>m,
kun n\to\infty.
Näin ollen saadaan, että
kun n\to\infty ja
Seuraavissa esimerkeissä muodostetaan Taylorin sarjat eri funktioille. Tämän kurssin kannalta tärkeintä on osata muodostaa tämä sarja, eli jäännöstermin R_n(x) suppenemistarkastelut ovat jo selvästi edistyneempää osaamista. Luvussa ?? Taylorin sarjaa hyödynnetään lisää arvioimalla eri funktioita jättämällä sarjan viimeisiä termejä huomiotta. Sarjaa voidaan myös käyttää avuksi, kun halutaan määrittää hankalia raja-arvoja, kuten esimerkissä 1.15 on tehty.
Esimerkki 6.3.9
Etsi funktion f(x)=e^x potenssisarjaesitys pisteen x=0 suhteen.
Koska D(e^x)=e^x, niin f^{(k)}(0)=e^0=1 kaikilla k ja täten eksponenttifunktion Maclaurinin sarja on
Olkoon x reaaliluku. Jos x<0, niin aina, kun x<z\leq 0, on voimassa z<|x|. Jos taas x>0, niin aina, kun 0<z<x=|x|, on voimassa z<|x|. Löydetään siis reaaliluku z<|x|, ja siten f^{(n+1)}(z)=e^z\le e^{|x|}. Valitaan M:=e^{|x|} ja edellisen lauseen nojalla
aina, kun x\in\R.
Joskus tunnettuja sarjoja voidaan käyttää apuna potenssisarjaesitystä muodostettaessa.
Esimerkki 6.3.10
Määritä funktion f(x)=e^{x^2} Maclaurinin sarja.
Merkitään t=x^2 ja käytetään funktion e^t tunnettua Maclaurinin sarjaa. Saadaan siis
aina, kun x\in\R.
Esimerkki 6.3.11
Etsi sini- ja kosinifunktioiden potenssisarjaesitys pisteessä x=0.
Lasketaan funktion f derivaattoja pisteessä x=0, jolloin
Neljäs derivaatta on \sin x, joten funktiot ja arvot alkavat toistua syklisesti. Nyt |f^{(n)}(z)|\le 1 kaikilla z, joten edellisen lauseen nojalla Maclaurinin sarja esittää funktiota. Niinpä
aina, kun x\in\R. Tässä potenssisarjaesityksen
parillisten potenssien kerroin on siis 0. Toisin sanoen
Vastaavalla tavoin voidaan johtaa kaava
aina, kun x\in\R.
Seuraavan funktion Taylorin sarjaa ei voida kehittää pisteessä x=0, sillä funktio ei ole määritelty siinä. Kehitetään sarja sen sijaan pisteessä x=2.
Esimerkki 6.3.12
Etsi funktion f(x)=\frac{1}{x} potenssisarjaesitys pisteessä x=2.
Lasketaan funktion f derivaattoja pisteessä x=2, jolloin
Funktion f Taylorin sarja on nyt muotoa
Suppenemissäteeksi saadaan
eli reunapisteet x=0 ja x=4 pitää tarkastella erikseen. Kun x=0, saadaan
ja koska \lim_{k\to\infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \not= 0, yllä oleva sarja hajaantuu. Kun x=4, saadaan
Nyt \lim_{k\to\infty} \frac{(-1)^k}{2} ei ole olemassa, joten yllä oleva sarja hajaantuu. Siispä Taylorin sarjan suppenemisväli on (0,4).
Tarkastellaan jäännöstermiä huomatuksessa 6.3.7 ilmaistun integraalimuodon avulla:
Selvästi R_n(2) = 0 kaikilla luonnollisilla luvuilla n, joten R_n(2) \to 0, kun n\to\infty. Jos x\in(0,2), saadaan
sillä nyt 0<x\leq t \leq 2. Koska \frac{t-x}{t} on näillä oletuksilla aidosti kasvava funktio, voidaan sitä arvioida yhä ylöspäin termillä \frac{2-x}{2}, jolle 0<\frac{2-x}{2}<1. Siispä
kun n\to\infty. Siispä myös R_n(x)\to 0, kun n\to\infty. Vastaava tulos voidaan osoittaa samaan tapaan, kun x\in(2,4). Näin ollen \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0 kaikilla x\in(0,4), eli saatu Taylorin sarja esittää funktiota f suppenemisvälillä.
Esimerkki 6.3.13
Etsi funktion f(x)=(1+x)^n potenssisarjaesitys pisteen x=0 suhteen, kun n\in\R.
Lasketaan funktion f derivaattoja pisteessä x=0, jolloin saadaan
Niinpä Maclaurinin sarja on
missä sarjan kerrointa kutsutaan binomikertoimeksi (binomial coefficient) ja merkitään
Merkintä \displaystyle\binom{n}{k} luetaan ”n yli k”. Tutkitaan sarjan suppenemista suhdetestillä. Nyt
kun k\to\infty. Sarja siis suppenee itseisesti, kun |x|<1 ja hajaantuu, kun |x|>1. Osoitetaan, että sarja suppenee kohti funktiota f(x). Jäännöstermin (3) käyttäminen osoittautuu tässä hankalaksi, joten menetellään seuraavasti. Merkitään
ja derivoidaan termeittäin välillä |x|<1. Siis
Nyt
Merkitään edelleen h(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x)^n}, derivoidaan ja otetaan huomioon edellinen yhtälö.
joten h(x) on vakiofunktio h(x) = h(0)=g(0)=1 kaikilla |x|<1. Niinpä täytyy olla g(x)=(1+x)^n. Saatiin todistettua binomisarjaesitys
missä n\in\R ja -1 < x < 1.
Huomautus 6.3.14 (Binomikaava)
Jos n\in\mathbb{N} binomisarja pelkistyy äärelliseksi summaksi
Tästä muodosta saadaan klassinen binomikaava
Binomikerroin on tällöin klassisessa muodossa
Binomikertoimet muodostavat Pascalin kolmion:
Tästä saadaan
ja niin edelleen.
Joskus sarjoja voidaan hyödyntää muotoa \frac00 tai \frac\infty\infty olevien raja-arvojen laskemisessa esimerkiksi tapauksissa, joissa l’Hôpital’n sääntö ei tuota tulosta tai sitä ei haluta käyttää.
Esimerkki 6.3.15
Laske \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1-x)^2}{x^2-\ln(1+x^2)}.
Kyseessä on muotoa \frac00 oleva raja-arvo. Funktioiden e^x ja \ln(1+x^2) sarjakehitelmiä hyödyntäen nähdään, että
kun x\to0.