\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi¶

Lauseessa 6.2.9 todettiin, että jokainen potenssisarja esittää suppenemisvälillään derivoituvaa funktiota \(f(x)\). Kääntäen voidaan kysyä, että jos funktio \(f(x)\) on annettu, niin millä ehdoilla löydetään sellainen potenssisarja \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k\), että \(f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k\). Käytännössä tulee siis selvittää, miten kertoimet \(a_k\) löydetään ja suppeneeko saatu sarja pisteittäin kohti annetun funktion vastaavia arvoja. Lause 6.2.9 antaa välttämättömän ehdon, eli sarja on olemassa jos funktiolla \(f(x)\) on kaikkien kertalukujen derivaatat.

Hieman toisesta suunnasta tarkasteltuna ideana on approksimoida funktiota jonkun pisteen ympäristössä polynomeilla siten, että approksimaatio suppenee kohti funktiota polynomien asteen kasvaessa rajatta. Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa interpolaatio-ongelmaa.

Esimerkki 6.3.1

Olkoon \(n\in\mathbb{N}\) ja \(a_0,a_1,...,a_{n-1}\in\mathbb{R}\) ja \(x=c\) jokin piste. Etsi \(n-1\)-asteen polynomi \(P\), joka toteuttaa ehdot

\[P(c)=a_0,\ P'(c)=a_1,...,P^{(n-1)}(c)=a_{n-1}.\]

Piilota/näytä ratkaisu

Etsitään polynomia muodossa \(P(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{n-1}x^n\), jolloin \(P^{(k)}(x)=0\) kun \(k\ge n\). Sijoitetaan polynomiin \(x=c+(x-c)\), jolloin se voidaan kirjoittaa muodossa

\[P(x)=d_0+d_1(x-c)+d_2(x-c)^2+\cdots+d_{n-1}(x-c)^{n-1}.\]

Pisteessä \(x=c\) saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} P(c)&=d_0=a_0,\\ P'(c)&=d_1=a_1,\\ P''(c)&=2d_2=a_2,\\ \vdots &\\ P^{(n-1)}(c)&=(n-1)!d_{n-1}=a_{n-1}. \end{aligned}\end{split}\]

Etsitty polynomi on siis muotoa

\[P(x)=a_0+a_1(x-c)+\frac{a_2}{2}(x-c)^2+\cdots\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{k!}(x-c)^k.\]

Edellinen esimerkki kertoo meille, että jokainen \(n-1\)-asteen polynomi voidaan yksikäsitteisesti määrätä antamalla sen nollasta poikkeavat derivaatat yhdessä pisteessä. Yleiselle funktiolle tilanne ei ole näin yksinkertainen, sillä tilannetta vastaa ”interpolaatio-ongelma”, missä \(n\to\infty\). Aloitetaan ongelman tarkastelu antamalla seuraava määritelmä. Etsitään potenssisarjaa, jossa sekä funktion \(f\) että sarjan kaikki derivaatat ovat samoja yhdessä pisteessä.

Määritelmä 6.3.2

Jos funktiolla \(f(x)\) on pisteessä \(x=c\) kaikkien kertalukujen derivaatat \(f^{(k)}(c)\), niin potenssisarjaa

(1)¶\[\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\]

kutsutaan funktion \(f\) Taylorin sarjaksi (Taylor series) pisteen \(c\) suhteen. Jos \(c=0\), niin sarjasta käytetään myös nimitystä Maclaurinin sarja (Maclaurin series).

Todistetaan seuraavaksi, että funktioon \(f\) assosioitu Taylorin sarja on yksikäsitteinen, joten ei ole väliä millä menetelmällä se on löydetty.

Lause 6.3.3

Taylorin sarja on yksikäsittäinen suppenemisvälillään. Tarkemmin sanottuna, jos \(f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k\) välillä \((c-R,c+R)\), niin

\[a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}\]

aina, kun \(n\) on ei-negatiivinen kokonaisluku.

Piilota/näytä todistus

Sovelletaan potenssisarjan derivointisääntöä \(n\) kertaa.

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=1}^\infty ka_k(x-c)^{k-1}\\ f''(x)&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_k(x-c)^{k-2}\\ &\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(n)}(x)&=\sum_{k=n}^\infty k(k-1)(k-2)\cdots(k-(n-1))a_k(x-c)^{k-n} \end{aligned}\end{split}\]

Asetetaan viimeisessä yhtälössä \(x=c\), jolloin sarjasta jää jäljelle vain indeksiä \(k=n\) vastaava termi \(n!a_n=f^{(n)}(c)\).

Vaikka Taylorin sarja (??) suppenisi pisteessä \(x\), niin se ei välttämättä suppene kohti funktion arvoa \(f(x)\).

Esimerkki 6.3.4

Määritellään funktio \(f : \R\to\R\) asettamalla

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2},&\text{kun }x\ne0,\\ 0,&\text{kun }x=0.\\ \end{cases}\end{split}\]

Funktio \(f\) on jatkuva myös pisteessä \(0\), sillä

\[\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}e^{-1/x^2}=0.\]

Kun \(x\ne0\), niin

\[f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}.\]

Muuttujanvaihdolla \(t=1/x^2\) nähdään, että

(2)¶\[\lim_{x\to0}f'(x) =2\lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^3} =2\lim_{t\to\infty}\frac{t^{3/2}}{e^t} =0,\]

sillä eksponenttifunktio voittaa kasvussa potenssifunktion. Derivaatan raja-arvoja koskevan lauseen mukaan funktion \(f\) jatkuvuudesta ja äskeisestä yhtälöstä seuraa, että \(f'(0)=0\). Derivaattafunktio \(f'(x)\) on täten kaikkialla jatkuva, ja kun \(x\ne0\), niin vastaavasti kuin edellä saadaan

\[f''(x)=\left(-\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^6}\right)e^{-1/x^2}\to0,\]

kun \(x\to0\). Siten on olemassa \(f''(0)=0\). Näin jatkaen nähdään, että funktiolla \(f\) on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat ja että \(f^{(k)}(0)=0\) kaikilla \(k \ge 0\). Niinpä funktiolla \(f\) on kaikilla reaaliluvuilla \(x\) suppeneva Maclaurinin sarja

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=0.\]

Kuitenkin \(f(x)\ne0\) aina, kun \(x\ne0\), joten sarja esittää funktiota \(f\) vain pisteessä \(0\).

Edellinen esimerkki osoitaa, että vaikka funktiolla olisi kaikki derivaatat jatkuvina olemassa annetun pisteen ympäristössä, sitä ei välttämättä voida esittää potenssisarjana. Koska tämä on tärkeä ominaisuus, annetaan edellä mainitulla tavalla esitettäville funktioille seuraava nimitys.

Määritelmä 6.3.5

Funktiota \(f:I\to\mathbb{R}\) kutsutaan reaalianalyyttiseksi, jos se voidaan esittää suppenevana potenssisarjana jokaisen pisteen \(c\in I\) jossakin ympäristössä, kun \(I\) on avoin väli.

Kappaleen alussa esitetyn interpolaatio-ongelman perusteella huomataan, että polynomit ovat reaalianalyyttisiä funktioita. Käy ilmi, että kaikki tunnetut alkeisfunktiot ovat reaalianalyyttisiä. Karakterisoidaan seuraavaksi, milloin Taylorin sarja suppenee kohti annettua funktiota. Seuraava klassinen lause on keskeinen työkalu ongelman tarkastelussa.

Lause 6.3.6 (Taylorin lause)

Olkoon funktiolla \(f : I\to\R\) kaikkien kertalukujen derivaatat avoimella välillä \(I\) ja olkoon \(c\) välin \(I\) piste. Silloin Taylorin kaava

\[f(x)=P_n(x)+R_n(x),\]

on voimassa aina, kun \(x \in I\) missä

\[P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\]

on Taylorin sarjan \(n\):s osasumma eli \(n\). asteen Taylorin polynomi ja

(3)¶\[ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1},\quad\text{missä }z\in[c,x)\text{ tai }z\in(x,c]\]

on Taylorin sarjan jäännöstermi.

Piilota/näytä todistus

Määritelmän mukaan

\[R_n(x)=f(x)-P_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k.\]

Olkoon \(t\) pisteiden \(x\) ja \(c\) välillä ja merkitään

\[F(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k.\]

Tällöin \(F(c)=R_n(x)\). Lisäksi \(F(t) = f(x) - f(t) - \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} F'(t) &= -f'(t) +D_t\left(-\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right) \\ &= -f'(t) -\sum_{k=1}^n D_t\left( \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k \right) \\ &= -f'(t) -\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k + \frac{f^{(k)}(t)}{k!}k(x-t)^{k-1}\cdot(-1) \\ &= -f'(t) -\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{((k-1)+1)!}(x-t)^{(k-1)+1} - \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}. \end{aligned}\end{split}\]

Alimman rivin summasta kumoutuvat kaikki muut termit paitsi yksi, eli

(4)¶\[F'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n.\]

Määritellään

\[G(t)=F(t)-\Big(\frac{x-t}{x-c}\Big)^{n+1}F(c).\]

Näin ollen \(G(x)=G(c)=0\), jolloin Rollen lauseen perusteella derivoituvalle funktiolle löytyy pisteiden \(x\) ja \(c\) välistä sellainen piste \(z\), että derivaatta \(G'(z)=0\). Tästä seuraa, että

\[F'(z)+(n+1)\frac{(x-z)^n}{(x-c)^{n+1}}F(c)=0,\]

joten ottamalla huomioon \(F(c)=R_n(x)\) ja kaava (??) saadaan

\[-\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n+(n+1)\frac{(x-z)^n}{(x-c)^{n+1}}R_n(x)=0.\]

Tästä muodosta saadaan

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.\]

Funktion \(f\) Taylorin sarja esittää funktiota itseään niillä reaaliluvuilla \(x\), joilla jäännöstermin raja-arvo on nolla. Toisin sanoen

\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k,\]

jos ja vain jos

(5)¶\[\lim_{n\to\infty}R_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}=0.\]

Korostettakoon, että Taylorin jäännöstermissä (??) \(z\) riippuu pisteen \(x\) lisäksi myös kokonaisluvusta \(n\), eli \(z=z(x,n)\). Erityisesti edellä mainittua raja-arvoa (??) laskettaessa ei voida olettaa, että \(z\) olisi vakio. Vertaa tätä Esimerkkiin 1.9 eksponenttifuntiosta, jossa ongelma hoidetaan arvioimalla \(e^z<e^{|x|}\), missä \(e^{|x|}\) on luvun \(n\) suhteen vakio.

Huomautus 6.3.7

Taylorin lauseessa jäännöstermi esitettiin differentiaalimuodossa (tai Lagrangen muodossa)

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.\]

Kirjallisuudesta löytyy myös muita muotoja jäännöstermille. Toinen yleinen tapa on esittää jäännöstermi integraalimuodossa

\[R_n(x)=\int_c^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\,\d t,\]

joka on helppo todistaa induktiolla \(n\):n suhteen soveltamalla osittaisintegrointikaavaa oikealla puolella olevaan integraaliin.

Esimerkissä 6.2.10 saatiin johdettua funktioiden \((1-x)^{-2}\) ja \(\ln(1+x)\) potenssisarjaesitykset ikään kuin sattumalta derivoimalla ja integroimalla funktion \((1-x)^{-1}\) potenssisarjaa. Taylorin kaavalla saadaan (ainakin periaatteessa) potenssisarjaesitys mille tahansa funktiolle, jolla sellainen on olemassa. Yksikäsitteisyyslause takaa, että saatu potenssisarja on aina Taylorin sarja, olipa se saatu millä (kelvollisella) menetelmällä tahansa.

Seuraava tulos antaa helpon tavan tutkia milloin Taylorin sarja esittää funktiota.

Lause 6.3.8

Oletetaan, että on olemassa vakio \(M>0\), jolle \(|f^{(n+1)}(z)|\le M\) kaikilla \(n\ge 0\) ja kun \(z\) on pisteiden \(x\) ja \(c\) välillä. Tällöin

\[|R_n(x)|\le M \frac{|x-c|^{n+1}}{(n+1)!}\]

\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\]

suppenemisvälillään.

Piilota/näytä todistus

Jos \(|f^{(n+1)}(z)|\le M\) kaikilla \(n\ge 0\) ja kun \(z\) on pisteiden \(x\) ja \(c\) välillä, niin Taylorin lauseesta seuraa

\[|R_n(x)|\le M \frac{|x-c|^{n+1}}{(n+1)!}.\]

Merkitään \(d=|x-c|\), jolloin

\[|R_n(x)|\le M \frac{d^{n+1}}{(n+1)!}.\]

Todistetaan, että lukujono \((\tfrac{d^n}{n!})_{n=0}^\infty\) on vähenevä, kun \(n\ge d-1\). Tämä on helppo havaita, sillä

\[\displaystyle\frac{\frac{d^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{d^n}{n!}}=\frac{d}{n+1}\le1,\]

kun \(n\ge d-1\).

Todistetaan sitten, että \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{d^n}{n!}=0\). Tätä varten olkoon \(m=\lfloor d\rfloor\) luvun \(d\) desimaaliesityksen kokonaisosa. Nyt aina, kun \(n>m\),

\[\begin{aligned} \frac{d^n}{n!}=\underbrace{\frac{d}{1}\frac{d}{2}\cdots\frac{d}{m}}_{=:A}\underbrace{\frac{d}{m+1}}_{\le1}\underbrace{\frac{d}{m+2}}_{\le1}\cdots\underbrace{\frac{d}{n-1}}_{\le1}\frac{d}{n} \le A\frac{d}{n}\to0, \end{aligned}\]

kun \(n\to\infty\).

Näin ollen saadaan, että

\[|R_n(x)|\le M \frac{d^{n+1}}{(n+1)!}\to 0,\]

kun \(n\to\infty\) ja

\[\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0.\]

Seuraavissa esimerkeissä muodostetaan Taylorin sarjat eri funktioille. Tämän kurssin kannalta tärkeintä on osata muodostaa tämä sarja, eli jäännöstermin \(R_n(x)\) suppenemistarkastelut ovat jo selvästi edistyneempää osaamista. Luvussa ?? Taylorin sarjaa hyödynnetään lisää arvioimalla eri funktioita jättämällä sarjan viimeisiä termejä huomiotta. Sarjaa voidaan myös käyttää avuksi, kun halutaan määrittää hankalia raja-arvoja, kuten esimerkissä 1.15 on tehty.

Esimerkki 6.3.9

Etsi funktion \(f(x)=e^x\) potenssisarjaesitys pisteen \(x=0\) suhteen.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska \(D(e^x)=e^x\), niin \(f^{(k)}(0)=e^0=1\) kaikilla \(k\) ja täten eksponenttifunktion Maclaurinin sarja on

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.\]

Olkoon \(x\) reaaliluku. Jos \(x<0\), niin aina, kun \(x<z\leq 0\), on voimassa \(z<|x|\). Jos taas \(x>0\), niin aina, kun \(0<z<x=|x|\), on voimassa \(z<|x|\). Löydetään siis reaaliluku \(z<|x|\), ja siten \(f^{(n+1)}(z)=e^z\le e^{|x|}\). Valitaan \(M:=e^{|x|}\) ja edellisen lauseen nojalla

\[e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\]

aina, kun \(x\in\R\).

Joskus tunnettuja sarjoja voidaan käyttää apuna potenssisarjaesitystä muodostettaessa.

Esimerkki 6.3.10

Määritä funktion \(f(x)=e^{x^2}\) Maclaurinin sarja.

Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään \(t=x^2\) ja käytetään funktion \(e^t\) tunnettua Maclaurinin sarjaa. Saadaan siis

\[\begin{aligned} e^{x^2}&=e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{k!} \end{aligned}\]

aina, kun \(x\in\R\).

Esimerkki 6.3.11

Etsi sini- ja kosinifunktioiden potenssisarjaesitys pisteessä \(x=0\).

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan funktion \(f\) derivaattoja pisteessä \(x=0\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=\sin x, & f(0)&=0.\\ f'(x)&=\cos x, & f'(0)&=1.\\ f''(x)&=-\sin x, & f''(0)&=0,\\ f^{(3)}(x)&=-\cos x, & f^{(3)}(0)&=-1,\\ f^{(4)}(x)&=\sin x, & f^{(4)}(0)&=0. \end{aligned}\end{split}\]

Neljäs derivaatta on \(\sin x\), joten funktiot ja arvot alkavat toistua syklisesti. Nyt \(|f^{(n)}(z)|\le 1\) kaikilla \(z\), joten edellisen lauseen nojalla Maclaurinin sarja esittää funktiota. Niinpä

(6)¶\[\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]

aina, kun \(x\in\R\). Tässä potenssisarjaesityksen

\[\sin x=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\]

parillisten potenssien kerroin on siis \(0\). Toisin sanoen

\[\begin{split}a_n= \begin{cases} 0,&\text{kun }n=2k,\\ \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!},&\text{kun }n=2k+1. \end{cases}\end{split}\]

Vastaavalla tavoin voidaan johtaa kaava

\[\cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]

aina, kun \(x\in\R\).

Seuraavan funktion Taylorin sarjaa ei voida kehittää pisteessä \(x=0\), sillä funktio ei ole määritelty siinä. Kehitetään sarja sen sijaan pisteessä \(x=2\).

Esimerkki 6.3.12

Etsi funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) potenssisarjaesitys pisteessä \(x=2\).

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan funktion \(f\) derivaattoja pisteessä \(x=2\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x) &= x^{-1}, & f(2) &= \frac{1}{2} \\ f'(x) &= -x^{-2}, & f'(2) &= -\frac{1}{2^2} \\ f''(x) &= 2x^{-3}, & f''(2) &= 2\cdot\frac{1}{2^3} \\ f'''(x) &= -3\cdot2x^{-4}, & f'''(2) &= -3\cdot2\cdot\frac{1}{2^4} \\ &\mspace{9mu}\vdots & &\mspace{9mu}\vdots \\ f^{(n)}(x) &= (-1)^n n!x^{-(n+1)}, \qquad & \qquad f^{(n)}(2) &= \frac{(-1)^n n!}{2^{n+1}}. \\ \end{aligned}\end{split}\]

Funktion \(f\) Taylorin sarja on nyt muotoa

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k &= f(2) + f'(2)(x-2) + \frac{f''(2)}{2!}(x-2)^2 + \ldots \\ &= \frac{1}{2} -\frac{1}{2^2}(x-2) + \frac{2}{2^3\cdot 2!}(x-2)^2 + \ldots + \frac{(-1)^n n!}{2^{n+1}n!}(x-2)^n + \ldots \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^{k+1}}(x-2)^k. \end{aligned}\end{split}\]

Suppenemissäteeksi saadaan

\[R = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right| = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{(-1)^k}{2^{k+1}}\cdot \frac{2^{k+2}}{(-1)^{k+1}}\right| = 2,\]

eli reunapisteet \(x=0\) ja \(x=4\) pitää tarkastella erikseen. Kun \(x=0\), saadaan

\[\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^{k+1}}(0-2)^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(-1)^k2^k}{2^{k+1}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2},\]

ja koska \(\lim_{k\to\infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \not= 0\), yllä oleva sarja hajaantuu. Kun \(x=4\), saadaan

\[\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^{k+1}}(4-2)^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^k}{2^{k+1}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2}.\]

Nyt \(\lim_{k\to\infty} \frac{(-1)^k}{2}\) ei ole olemassa, joten yllä oleva sarja hajaantuu. Siispä Taylorin sarjan suppenemisväli on \((0,4)\).

Tarkastellaan jäännöstermiä huomatuksessa 6.3.7 ilmaistun integraalimuodon avulla:

\[R_n(x) = \int_2^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^n \,\d t = \int_2^x \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{t^{n+2}} (x-t)^n \,\d t.\]

Selvästi \(R_n(2) = 0\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), joten \(R_n(2) \to 0\), kun \(n\to\infty\). Jos \(x\in(0,2)\), saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} |R_n(x)| &= \left| \int_2^x \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{t^{n+2}} (x-t)^n \,\d t \right| = \left| -\int_x^2 \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{t^{n+2}} (x-t)^n \,\d t \right| \\ &\leq \int_x^2 \left| \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{t^{n+2}} (x-t)^n \right| \,\d t = \int_x^2 \frac{n+1}{t^{n+2}} (t-x)^n \,\d t \\ &\leq \int_x^2 \frac{n+1}{x^2 t^n} (t-x)^n \,\d t \leq \frac{2n}{x^2} \int_x^2 \left(\frac{t-x}{t}\right)^n \,\d t, \end{aligned}\end{split}\]

sillä nyt \(0<x\leq t \leq 2\). Koska \(\frac{t-x}{t}\) on näillä oletuksilla aidosti kasvava funktio, voidaan sitä arvioida yhä ylöspäin termillä \(\frac{2-x}{2}\), jolle \(0<\frac{2-x}{2}<1\). Siispä

\[|R_n(x)| \leq \frac{2n}{x^2}\int_x^2 \left(\frac{2-x}{2}\right)^n \,\d t = \frac{2n}{x^2}\left(\frac{2-x}{2}\right)^n(2-x) \to 0,\]

kun \(n\to\infty\). Siispä myös \(R_n(x)\to 0\), kun \(n\to\infty\). Vastaava tulos voidaan osoittaa samaan tapaan, kun \(x\in(2,4)\). Näin ollen \(\lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0\) kaikilla \(x\in(0,4)\), eli saatu Taylorin sarja esittää funktiota \(f\) suppenemisvälillä.

Esimerkki 6.3.13

Etsi funktion \(f(x)=(1+x)^n\) potenssisarjaesitys pisteen \(x=0\) suhteen, kun \(n\in\R\).

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan funktion \(f\) derivaattoja pisteessä \(x=0\), jolloin saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=(1+x)^n, & f(0)&=1,\\ f'(x)&=n(1+x)^{n-1}, & f'(0)&=n,\\ f''(x)&=n(n-1)(1+x)^{n-2}, & f''(0)&=n(n-1),\\ f^{(3)}(x)&=n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-3}, & f^{(3)}(0)&=n(n-1)(n-2),\\ &\mspace{9mu}\vdots &&\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(k)}(x)&=n(n-1)\cdots(n-k+1)(1+x)^{n-k}, & f^{(k)}(0)&=n(n-1)\cdots(n-k+1). \end{aligned}\end{split}\]

Niinpä Maclaurinin sarja on

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k =\sum_{k=0}^\infty\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}x^k =\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k,\]

missä sarjan kerrointa kutsutaan binomikertoimeksi (binomial coefficient) ja merkitään

\[\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!},\qquad\text{kun }k\ge1\qquad\text{ja}\qquad\binom{n}{0}=1.\]

Merkintä \(\displaystyle\binom{n}{k}\) luetaan ”\(n\) yli \(k\)”. Tutkitaan sarjan suppenemista suhdetestillä. Nyt

\[\begin{aligned} \left|\frac{\binom{n}{k+1}x^{k+1}}{\binom{n}{k}x^k}\right| =\frac{|n-k|}{k+1}|x| =\frac{\left|\frac{n}{k}-1\right|}{1+\frac{1}{k}}|x| \to|x|, \end{aligned}\]

kun \(k\to\infty\). Sarja siis suppenee itseisesti, kun \(|x|<1\) ja hajaantuu, kun \(|x|>1\). Osoitetaan, että sarja suppenee kohti funktiota \(f(x)\). Jäännöstermin (3) käyttäminen osoittautuu tässä hankalaksi, joten menetellään seuraavasti. Merkitään

\[g(x)=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k\]

ja derivoidaan termeittäin välillä \(|x|<1\). Siis

\[\begin{aligned} g'(x)=\sum_{k=1}^\infty k\binom{n}{k}x^{k-1}. \end{aligned}\]

Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} (1+x)g'(x) &=\sum_{k=1}^\infty k\binom{n}{k}x^{k-1}+\sum_{k=1}^\infty k\binom{n}{k}x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty(k+1)\binom{n}{k+1}x^k+\sum_{k=0}^\infty k\binom{n}{k}x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left((k+1)\frac{n(n-1)\cdots(n-k)}{(k+1)!}+k\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\right)x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)}{k!}+k\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\right)x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty(n-k+k)\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}x^k\nonumber\\ &=n\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k=ng(x). \end{aligned}\end{split}\]

Merkitään edelleen \(h(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x)^n}\), derivoidaan ja otetaan huomioon edellinen yhtälö.

\[h'(x)=\frac{-ng(x)}{(1+x)^{n+1}}+\frac{g'(x)}{(1+x)^n}=0,\]

joten \(h(x)\) on vakiofunktio \(h(x) = h(0)=g(0)=1\) kaikilla \(|x|<1\). Niinpä täytyy olla \(g(x)=(1+x)^n\). Saatiin todistettua binomisarjaesitys

(7)¶\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k,\]

missä \(n\in\R\) ja \(-1 < x < 1\).

Huomautus 6.3.14 (Binomikaava)

Jos \(n\in\mathbb{N}\) binomisarja pelkistyy äärelliseksi summaksi

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k.\]

Tästä muodosta saadaan klassinen binomikaava

\[\begin{split}\begin{aligned} (a+b)^n &= a^n(1+\frac{b}{a})^n\\ &=a^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\Big(\frac{b}{a}\Big)^k\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k. \end{aligned}\end{split}\]

Binomikerroin on tällöin klassisessa muodossa

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Binomikertoimet muodostavat Pascalin kolmion:

\[\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \cr & & & & 1 & & 1 & & & & \cr & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \cr & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \cr & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \cr 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \cr \dots \cr \end{array}\]

Tästä saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2,\\ (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\\ (a+b)^4&=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4,\\ (a+b)^5&=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5, \end{aligned}\end{split}\]

ja niin edelleen.

Joskus sarjoja voidaan hyödyntää muotoa \(\frac00\) tai \(\frac\infty\infty\) olevien raja-arvojen laskemisessa esimerkiksi tapauksissa, joissa l’Hôpital’n sääntö ei tuota tulosta tai sitä ei haluta käyttää.

Esimerkki 6.3.15

Laske \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1-x)^2}{x^2-\ln(1+x^2)}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Kyseessä on muotoa \(\frac00\) oleva raja-arvo. Funktioiden \(e^x\) ja \(\ln(1+x^2)\) sarjakehitelmiä hyödyntäen nähdään, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{(e^x-1-x)^2}{x^2-\ln(1+x^2)} &=\frac{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots-1-x\right)^2}{x^2-\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}-\cdots\right)}\\ &=\frac{\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots\right)^2}{\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{3}+\cdots} \\ &=\frac{\frac{x^4}{4}\left(1+\frac{x}{3}+\cdots\right)^2}{\frac{x^4}{2}\left(1-\frac{2x^2}{3}+\cdots\right)} \\ &\to\frac{\frac14}{\frac12}=\frac12, \end{aligned}\end{split}\]

kun \(x\to0\).