\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Normaalijakauman varianssin luottamusväli¶

Olkoon \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) otos satunnaismuuttujasta \(X\sim\rN(\mu, \sigma^2)\), jonka odotusarvo ja varianssi ovat tuntemattomia. Nyt lauseen 5.3.8 mukaan

\[W = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\]

Olkoon \(1-\alpha\) valittu luottamustaso. \(\chi^2-\)jakauma on epäsymmetrinen, joten todennäköisyyden tasapainottamiseksi tarvitaan kaksi sellaista lukua \(w_1\) ja \(w_2\), että

\[P(W<w_1)=\frac{\alpha}{2} \qquad\text{ja}\qquad P(W>w_2)=\frac{\alpha}{2}.\]

Tällöin

\[P\left(w_1<\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}<w_2\right)=1-\alpha,\]

tai kun varianssi \(\sigma^2\) ratkaistaan epäyhtälöparista, niin

\[P\left(\frac{(n-1)S^2}{w_2} <\sigma^2 < \frac{(n-1)S^2}{w_1} \right) = 1-\alpha.\]

Lause 5.6.1

Olkoon \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) otos satunnaismuuttujasta \(X\sim\rN(\mu, \sigma^2)\). Varianssin \(\sigma^2\) \(100(1-\alpha)~\%\):n väliestimaattori on

\[\left[\frac{(n-1)S^2}{w_2}, \frac{(n-1)S^2}{w_1}\right],\]

missä luvut \(w_1\) ja \(w_2\) on valittu siten, että \(P(W<w_1)=\frac{\alpha}{2}\) ja \(P(W>w_2)=\frac{\alpha}{2}\), kun \(W\sim\chi^2(n-1)\). Jos otosvarianssille realisoituu arvo \(s^2\), niin varianssin \(100(1-\alpha)~\%\):n luottamusväli on

\[\left[\frac{(n-1)s^2}{w_2}, \frac{(n-1)s^2}{w_1}\right].\]

Esimerkki 5.6.2

Kolmenkymmenen lasilevyn otoksessa saatiin paksuuden otosvarianssiksi \(0{,}0645\). Paksuuden oletetaan olevan normaalijakautunut. Laske paksuuden varianssille \(95~\%\):n luottamusväli.

Näytä/piilota ratkaisu

Luottamustasoa \(95~\%\) vastaa \(\alpha = 0{,}05\). Luvut \(w_1 \approx 16{,}0471\) ja \(w_2 \approx 45{,}7223\) varianssin luottamusvälin kaavassa

\[\left[\frac{(n-1)s^2}{w_2}, \frac{(n-1)s^2}{w_1}\right]\]

saadaan taulukosta vapausastelukua \(30 - 1 = 29\) vastaavalta riviltä, tai esimerkiksi Matlabilla komennoilla chi2inv(0.05/2, 29) ja chi2inv(1 - 0.05/2, 29) (R-komennoilla qchisq(0.05/2, 29) ja qchisq(1 - 0.05/2, 29)). Nyt sijoittamalla saadaan varianssin \(95~\%\):n luottamusväliksi

\[\left[\frac{29 \cdot 0{,}0645}{45{,}7223}, \frac{29 \cdot 0{,}0645}{16{,}0471}\right] \approx [0{,}0409, 0{,}1166].\]

Huomaa, kuinka varianssin luottamusväli ei ole symmetrinen otosvarianssille realisoituneen arvon ympärillä.