$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Binomijakauma

Palataan sitten tutkimaan tärkeimpiä diskreettejä ja jatkuvia todennäköisyysjakaumia. Niistä ensimmäinen muodostuu seuraavan Bernoullin kokeen toistona. Oletetaan, että satunnaiskokeen tulosvaihtoehdot (koodattuna) ovat $0$ ja $1$, eli tarkastelun kohteena oleva tapahtuma joko ei realisoidu tai realisoituu. Ensimmäistä vaihtoehtoa kutsutaan myös epäonnistumiseksi ja jälkimmäistä onnistumiseksi. Kiinnitetään onnistumisen todennäköisyydeksi $p$, jolloin epäonnistumisen todennäköisyys on $1 - p$.

Määritelmä 4.2.1

Diskreetti satunnaismuuttuja $X$ noudattaa Bernoullin jakaumaa (Bernoulli distribution) parametrilla $p$, $X \sim \Ber(p)$, jos sen otosavaruus $\Omega = \{0, 1\}$ ja tiheysfunktio

$$\begin{split}f(x) = \begin{cases} p, & \text{kun } x = 1 \\ 1 - p, & \text{kun } x = 0. \end{cases}\end{split}$$

Bernoullin jakauman kuvaama satunnaiskoe voidaan yleistää toistamalla sitä $n$ kertaa siten, että jokainen toisto on toisista riippumaton. Onnistumisien lukumäärä tässä $n$-toistokokeessa on uusi diskreetti satunnaismuuttuja $X$, jonka mahdolliset arvot ovat kokonaislukuja $0,1,\ldots,n$. Siihen liittyvät alkeistapaukset ovat nollista ja ykkösistä koostuvia jonoja, joissa on $x$ kappaletta onnistumisia ja $n - x$ kappaletta epäonnistumisia jossakin järjestyksessä. Koska onnistumisen todennäköisyys on $p$ ja toistot ovat riippumattomia toisistaan, yksittäinen alkeistapaus realisoituu todennäköisyydellä $p^{x}(1 - p)^{n - x}$. Vaihtoehtoja alkeistapahtumiksi, joihin liittyy $x$ onnistumista, on $\binom{n}{x}$ erilaista, joten

$$P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}.$$

Määritelmä 4.2.2

Diskreetti satunnaismuuttuja $X$ noudattaa binomijakaumaa (binomial distribution) parametrein $n$ ja $p$, $X\sim\Bin(n,p)$, jos sen otosavaruus

$$\Omega=\{0,1,\ldots,n\}$$

ja tiheysfunktio

$$f(x)=b(x; n, p)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x},\qquad\text{kun }x \in \Omega.$$

Question 1

Mitä seuraavista satunnaismuuttujista voitaisiin kuvata luotettavimmin binomijakaumalla?

Punaisten pallojen lukumäärää palauttamatta nostetussa kymmenen pallon otoksessa, kun alkuun nostettavana on $10$ sinistä ja $10$ punaista palloa.

Satunnaisesti valitun henkilön sukupuolta.

Nopanheitossa ensimmäisen ykkösen saamiseen vaadittujen heittojen lukumäärää.

Punaisten pallojen lukumäärää palauttamatta nostetussa kymmenen pallon otoksessa, kun alkuun nostettavana on $10~000$ sinistä ja $10~000$ punaista palloa.

Binomijakauman tiheysfunktion $f$ arvoja $f(x) = b(x; n, p)$ otosavaruuden pisteissä sanotaan binomitodennäköisyyksiksi. Käyttämällä binomikaavaa

$$\sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x}a^xb^{n-x}=(a+b)^n$$

binomitodennäköisyyksiin saadaan

$$\sum_{x=0}^{n}b(x; n, p) = \sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}=(p+1-p)^n = 1.$$

Satunnaismuuttujan $X\sim\Bin(n,p)$ kertymäfunktio on

$$F(x)=P(X\leq x)=\sum_{t=0}^{\lfloor x\rfloor}b(t; n, p),$$

missä $\lfloor x\rfloor = \max\{n \in \Z : n \leq x\}$ on suurin kokonaisluku $n$, jolle $n \leq x$. Taulukoista löytyy ja valmisohjelmilla (Matlab, R) voi laskea binomijakautuneen muuttujan kertymäfunktion ja sen käänteisfunktion arvoja.

Lause 4.2.3

Jos satunnaismuuttuja $X\sim\Bin(n,p)$, niin sen momentit generoiva funktio

$$M(t)=(pe^t+1-p)^n,$$

sekä odotusarvo ja varianssi

$$\rE(X)=np \qquad\text{ja}\qquad \Var(X)=np(1-p).$$

Näytä/piilota todistus

Satunnaismuuttujan $X$ momentit generoivaksi funktioksi saadaan binomikaavan avulla

$$M(t) = \rE(e^{tX}) = \sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x(1 - p)^{n-x} = \sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x}(pe^t)^x(1 - p)^{n-x} = (pe^t + 1 - p)^n,$$

kuten väitettiin. Nyt

$$M'(t) = np(pe^t + 1 - p)^{n - 1}e^t \qquad\text{ja}\qquad M''(t) = np(pe^t + 1 - p)^{n - 2}e^t(npe^t + 1 - p),$$

jolloin

$$\rE(X) = M'(0) = np(p + 1 - p)^{n - 1} = np$$

ja

$$\begin{split}\begin{aligned} \Var(X) &= M''(0) - M'(0)^2 = np(p + 1 - p)^{n - 2}(np + 1 - p) - n^2p^2 \\ &= np(np + 1 - p - np) = np(1 - p). \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki 4.2.4

Tavallista kolikkoa heitetään $5$ kertaa. Tuloksena saatujen kruunujen lukumäärää kuvaava satunnaismuuttuja $X$ noudattaa binomijakaumaa parametrein $n=5$ ja $p=0{,}5$, eli $X \sim \Bin(5, 0{,}5)$ tiheysfunktionaan

$$f(x)=\binom{5}{x}0{,}5^x(1-0{,}5)^{5-x}=\binom{5}{x}0{,}5^5,\qquad\text{kun } x\in\{0,1,\ldots,5\}$$

Esimerkki 4.2.5

Erään tuottajan transistoreista $5~\%$ on viallisia. Asiakas ostaa $6$ transistoria ja kuvaa viallisten laitteiden lukumäärää otoksessaan satunnaismuuttujalla $X$. Laske todennäköisyys sille, että asiakas saa

1. yksi tai kaksi viallista transistoria,
2. vähintään yhden viallisen transistorin.

Näytä/piilota ratkaisu

Kyseessä on $6$-toistokoe, jossa onnistumisen, eli viallisen transistorin saamisen todennäköisyys yksittäisellä toistolla on $0{,}05$. Täten satunnaismuuttuja $X\sim\Bin(6, 0{,}05)$ tiheysfunktionaan

$$f(x)=\binom{6}{x}0{,}05^x\cdot 0{,}95^{6-x},\qquad\text{kun }x\in\{0,1,\ldots,6\}.$$

1. Todennäköisyys sille, että asiakas saa yhden tai kaksi viallista transistoria on

   $$P(1 \leq X \leq 2) = \binom{6}{1}\cdot0{,}05\cdot0{,}95^5+\binom{6}{2}\cdot0{,}05^2\cdot0{,}95^4\approx0{,}2627.$$

   Matlabin komennot binopdf ja binocdf laskevat binomijakauman tiheys- ja kertymäfunktioiden arvoja, jolloin edelliset voitaisiin laskea myös komennoilla

   sum(binopdf([1 2], 6, 0.05))
   

   tai

   binocdf(2, 6, 0.05) - binocdf(0, 6, 0.05)
   

   R-ohjelman vastaavat komennot tiheys- ja kertymäfunktioille ovat dbinom ja pbinom, ja ratkaisu saataisiin laskulla

   dbinom(1, 6, 0.05) + dbinom(2, 6, 0.05)
   

   tai

   pbinom(2, 6, 0.05) - pbinom(0, 6, 0.05)
   

2. Todennäköisyys sille, että asiakas saa vähintään yhden viallisen transistorin on

   $$P(X\geq1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0{,}95^6\approx0{,}2649.$$

   Matlab- ja R-komennot

   1 - binopdf(0, 6, 0.05)
   

   ja

   1 - dbinom(0, 6, 0.05)
   

   antavat saman tuloksen.

Tarkastellaan seuraavassa binomijakaumaa $\Bin(n, p)$.

Question 1

Mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein?

1. Kun $p = 0{,}5$, jakauma on symmetrinen luvun $np$ ympärillä.
2. Kun $p < 0{,}5$, suurin osa todennäköisyydestä keskittyy keskikohdan $n/2$ oikealle puolelle.
3. Kun $p < 0{,}5$, suurin osa todennäköisyydestä keskittyy keskikohdan $n/2$ vasemmalle puolelle.

Ei mitkään

Vain väite 1

Vain väite 2

Vain väite 3

Vain väitteet 1 ja 2

Vain väitteet 1 ja 3

Vain väitteet 2 ja 3

Kaikki

Palautusta lähetetään...