\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Marginaalijakaumat

Oletetaan, että satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) yhteisjakauman, eli satunnaisvektorin \((X, Y)\) tiheysfunktio \(f(x, y)\) tunnetaan. Usein halutaan tutkia tapahtumia, joissa vain toisen muuttujan arvoja rajoitetaan. Tällöin siis tarkkaillaan satunnaiskokeen tuloksia vain muuttujan \(X\) osalta, ja ollaan siis kiinnostuneita siihen liittyvästä jakaumasta. Tälle satunnaisvektorin \((X, Y)\) komponentin \(X\) marginaalijakaumalle (marginal distribution) voidaan muodostaa tiheysfunktio, ja sitä merkitään \(f_1(x)\). Vastaavasti myös komponentin \(Y\) marginaalijakaumalle löytyvää tiheysfunktiota merkitään \(f_2(y)\). Kyseessä on yhden satunnaismuuttujan tiheysfunktio, joka muodostetaan yhteisjakauman perusteella.

Äärellisen otosavaruuden diskreetin satunnaisvektorin tapauksessa marginaalijakaumat saadaan taulukoimalla ja laskemalla todennäköisyyksien rivi- ja sarakesummia seuraavan esimerkin mukaan.

Esimerkki 2.5.1

Aikaisemman esimerkin 2.4.1 satunnaisvektorissa \((X, Y)\) molempien komponenttien omat otosavaruudet ovat \(\Omega_X = \Omega_Y = \{0, 1, 2\}\). Merkitään taulukkoon muuttujan \(X\) mahdolliset arvot riveille, muuttujan \(Y\) mahdolliset arvot sarakkeisiin, sekä satunnaisvektorin \((X, Y)\) tiheysfunktion \(f(x, y) = \frac{1}{12}(x + 2y)\) arvot risteämäkohtiin.

\[\begin{split}\begin{array}{cc|ccc|c} & & & x & & \\ & & 0 & 1 & 2 & \sum \\\hline & 0 & 0 & \frac{1}{12} & \frac{2}{12} & \frac{3}{12} \\ y & 1 & \frac{2}{12} & \frac{3}{12} & 0 & \frac{5}{12} \\ & 2 & \frac{4}{12} & 0 & 0 & \frac{4}{12} \\\hline & \sum & \frac{6}{12} & \frac{4}{12} & \frac{2}{12} & \frac{12}{12} = 1 \end{array}\end{split}\]

Muuttujan \(X\) marginaalijakaumassa \(Y\) voi saada mitä tahansa arvoja, joten sen tiheysfunktio \(f_1 : \Omega_X \rightarrow [0, 1]\) saadaan taulukon sarakesummista, jolloin

\[f_1(0) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \qquad f_1(1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \qquad\text{ja}\qquad f_1(2) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.\]

Vastaavasti muuttujan \(Y\) marginaalijakauman tiheysfunktio \(f_2 : \Omega_Y \rightarrow [0, 1]\) saadaan taulukon rivisummista, jolloin

\[f_2(0) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}, \qquad f_2(1)=\frac{5}{12} \qquad\text{ja}\qquad f_2(2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.\]

Question 1

Mikä seuraavassa diskreetin satunnaisvektorin marginaalijakauman muodostamista kuvaavassa taulukossa on väärin? Käytetty tiheysfunktio on \(f(x, y) = 2x^3 + y\) ja \(\Omega_X = \{0,2,4\}\) sekä \(\Omega_Y = \{1,3\}\).

\[\begin{split}\begin{array}{c|cc|c} x\backslash y & 1 & 3 & \sum \\\hline 0 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 17 & 19 & 36 \\ 4 & 129 & 131 & 260 \\\hline \sum & 147 & 153 & 300 \end{array}\end{split}\]

Muuttujat \(x\) ja \(y\) on esitetty taulukossa väärin päin.

Jokin rivi- tai sarakesummista on laskettu väärin.

Laskennossa käytetty tiheysfunktio ei ole tiheysfunktio ensinkään.

Jatkuvan satunnaisvektorin kohdalla marginaalijakaumien tiheysfunktiot saadaan “integroimalla toisen muuttujan vaikutus pois” seuraavan lauseen mukaisesti.

Lause 2.5.2

Jatkuvan satunnaisvektorin \((X, Y)\), jonka tiheysfunktio on \(f(x, y)\), komponenttien \(X\) ja \(Y\) marginaalijakaumien tiheysfunktiot ovat

\[f_1(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y\qquad\text{ja}\qquad f_2(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd x.\]

Näytä/piilota todistus

Satunnaismuuttujaan \(X\) liittyvä tapahtuma \(A \subseteq \R\) voidaan esittää myös satunnaisvektorin tapahtumana \(\{(x, y) : x \in A, y \in \R\} \subseteq \R^2\), joten

\[\begin{aligned} P(X \in A) &= P(X \in A, Y \in \R) = \int_A\left(\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y\right)\rd x = \int_A f_1(x)\,\rd x, \end{aligned}\]

missä \(f_1(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y\) on tiheysfunktion määritelmän nojalla muuttujan \(X\) marginaalijakauman tiheysfunktio. Toinen väite todistuu vastaavasti.

Määritelmä 2.5.3

Satunnaisvektorin \((X, Y)\) sanotaan olevan tasajakautunut (uniformly distributed) joukossa \(\Omega \subset \R^2\), \((X,Y)\sim\Tas(\Omega)\), jos sen tiheysfunktio

\[f(x, y) = \frac{1}{a(\Omega)}, \qquad\text{kun } (x, y) \in \Omega,\]

missä \(a(\Omega) = \iint_{\Omega} 1\,\rd x\rd y\) on joukon \(\Omega\) pinta-ala. Jos tapahtuma \(A\subseteq\Omega\), niin

\[P(A) = \frac{a(A)}{a(\Omega)} = \frac{\iint_A 1\,\rd x\rd y}{\iint_{\Omega} 1\,\rd x\rd y}.\]

Esimerkki 2.5.4

Olkoon satunnaisvektori \((X, Y)\) tasajakautunut pisteiden \((0, 0)\), \((1, 0)\) ja \((0, 1)\) rajaamaan kolmioon. Kolmion ala on \(\frac{1}{2}\), joten satunnaisvektorin \((X, Y)\) tiheysfunktio

\[f(x,y)=2,\qquad\text{kun } (x, y) \in \Omega = \{(x, y) \in \R^2 : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}\]

Vektorin komponenttien marginaalijakaumien tiheysfunktiot ovat

\[f_1(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y = \int_0^{x}2\,\rd y = 2x, \qquad\text{kun } x \in \Omega_X = [0, 1]\]

ja

\[f_2(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd x = \int_{y}^1 2\,\rd x = 2(1 - y), \qquad\text{kun } y \in \Omega_Y = [0, 1].\]

Palautusta lähetetään...