$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Marginaalijakaumat

Oletetaan, että satunnaismuuttujien $X$ ja $Y$ yhteisjakauman, eli satunnaisvektorin $(X, Y)$ tiheysfunktio $f(x, y)$ tunnetaan. Usein halutaan tutkia tapahtumia, joissa vain toisen muuttujan arvoja rajoitetaan. Tällöin siis tarkkaillaan satunnaiskokeen tuloksia vain muuttujan $X$ osalta, ja ollaan siis kiinnostuneita siihen liittyvästä jakaumasta. Tälle satunnaisvektorin $(X, Y)$ komponentin $X$ marginaalijakaumalle (marginal distribution) voidaan muodostaa tiheysfunktio, ja sitä merkitään $f_1(x)$. Vastaavasti myös komponentin $Y$ marginaalijakaumalle löytyvää tiheysfunktiota merkitään $f_2(y)$. Kyseessä on yhden satunnaismuuttujan tiheysfunktio, joka muodostetaan yhteisjakauman perusteella.

Äärellisen otosavaruuden diskreetin satunnaisvektorin tapauksessa marginaalijakaumat saadaan taulukoimalla ja laskemalla todennäköisyyksien rivi- ja sarakesummia seuraavan esimerkin mukaan.

Esimerkki 2.5.1

Aikaisemman esimerkin 2.4.1 satunnaisvektorissa $(X, Y)$ molempien komponenttien omat otosavaruudet ovat $\Omega_X = \Omega_Y = \{0, 1, 2\}$. Merkitään taulukkoon muuttujan $X$ mahdolliset arvot riveille, muuttujan $Y$ mahdolliset arvot sarakkeisiin, sekä satunnaisvektorin $(X, Y)$ tiheysfunktion $f(x, y) = \frac{1}{12}(x + 2y)$ arvot risteämäkohtiin.

$$\begin{split}\begin{array}{cc|ccc|c} & & & x & & \\ & & 0 & 1 & 2 & \sum \\\hline & 0 & 0 & \frac{1}{12} & \frac{2}{12} & \frac{3}{12} \\ y & 1 & \frac{2}{12} & \frac{3}{12} & 0 & \frac{5}{12} \\ & 2 & \frac{4}{12} & 0 & 0 & \frac{4}{12} \\\hline & \sum & \frac{6}{12} & \frac{4}{12} & \frac{2}{12} & \frac{12}{12} = 1 \end{array}\end{split}$$

Muuttujan $X$ marginaalijakaumassa $Y$ voi saada mitä tahansa arvoja, joten sen tiheysfunktio $f_1 : \Omega_X \rightarrow [0, 1]$ saadaan taulukon sarakesummista, jolloin

$$f_1(0) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \qquad f_1(1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \qquad\text{ja}\qquad f_1(2) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.$$

Vastaavasti muuttujan $Y$ marginaalijakauman tiheysfunktio $f_2 : \Omega_Y \rightarrow [0, 1]$ saadaan taulukon rivisummista, jolloin

$$f_2(0) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}, \qquad f_2(1)=\frac{5}{12} \qquad\text{ja}\qquad f_2(2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.$$

Question 1

Mikä seuraavassa diskreetin satunnaisvektorin marginaalijakauman muodostamista kuvaavassa taulukossa on väärin? Käytetty tiheysfunktio on $f(x, y) = 2x^3 + y$ ja $\Omega_X = \{0,2,4\}$ sekä $\Omega_Y = \{1,3\}$.

$$\begin{split}\begin{array}{c|cc|c} x\backslash y & 1 & 3 & \sum \\\hline 0 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 17 & 19 & 36 \\ 4 & 129 & 131 & 260 \\\hline \sum & 147 & 153 & 300 \end{array}\end{split}$$

Muuttujat $x$ ja $y$ on esitetty taulukossa väärin päin.

Jokin rivi- tai sarakesummista on laskettu väärin.

Laskennossa käytetty tiheysfunktio ei ole tiheysfunktio ensinkään.

Jatkuvan satunnaisvektorin kohdalla marginaalijakaumien tiheysfunktiot saadaan “integroimalla toisen muuttujan vaikutus pois” seuraavan lauseen mukaisesti.

Lause 2.5.2

Jatkuvan satunnaisvektorin $(X, Y)$, jonka tiheysfunktio on $f(x, y)$, komponenttien $X$ ja $Y$ marginaalijakaumien tiheysfunktiot ovat

$$f_1(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y\qquad\text{ja}\qquad f_2(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd x.$$

Näytä/piilota todistus

Satunnaismuuttujaan $X$ liittyvä tapahtuma $A \subseteq \R$ voidaan esittää myös satunnaisvektorin tapahtumana $\{(x, y) : x \in A, y \in \R\} \subseteq \R^2$, joten

$$\begin{aligned} P(X \in A) &= P(X \in A, Y \in \R) = \int_A\left(\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y\right)\rd x = \int_A f_1(x)\,\rd x, \end{aligned}$$

missä $f_1(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y$ on tiheysfunktion määritelmän nojalla muuttujan $X$ marginaalijakauman tiheysfunktio. Toinen väite todistuu vastaavasti.

Määritelmä 2.5.3

Satunnaisvektorin $(X, Y)$ sanotaan olevan tasajakautunut (uniformly distributed) joukossa $\Omega \subset \R^2$, $(X,Y)\sim\Tas(\Omega)$, jos sen tiheysfunktio

$$f(x, y) = \frac{1}{a(\Omega)}, \qquad\text{kun } (x, y) \in \Omega,$$

missä $a(\Omega) = \iint_{\Omega} 1\,\rd x\rd y$ on joukon $\Omega$ pinta-ala. Jos tapahtuma $A\subseteq\Omega$, niin

$$P(A) = \frac{a(A)}{a(\Omega)} = \frac{\iint_A 1\,\rd x\rd y}{\iint_{\Omega} 1\,\rd x\rd y}.$$

Esimerkki 2.5.4

Olkoon satunnaisvektori $(X, Y)$ tasajakautunut pisteiden $(0, 0)$, $(1, 0)$ ja $(0, 1)$ rajaamaan kolmioon. Kolmion ala on $\frac{1}{2}$, joten satunnaisvektorin $(X, Y)$ tiheysfunktio

$$f(x,y)=2,\qquad\text{kun } (x, y) \in \Omega = \{(x, y) \in \R^2 : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}$$

Vektorin komponenttien marginaalijakaumien tiheysfunktiot ovat

$$f_1(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd y = \int_0^{x}2\,\rd y = 2x, \qquad\text{kun } x \in \Omega_X = [0, 1]$$

ja

$$f_2(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\rd x = \int_{y}^1 2\,\rd x = 2(1 - y), \qquad\text{kun } y \in \Omega_Y = [0, 1].$$

Palautusta lähetetään...