- MATH.APP.210
- 2. Satunnaismuuttuja
- 2.3 Satunnaismuuttujan funktiot
Satunnaismuuttujan funktiot¶
Täsmällisesti määriteltynä satunnaismuuttuja X on kuvaus eli funktio otosavaruudesta \Omega reaalilukujen joukkoon. Jos muodostetaan satunnaismuuttujan reaaliarvoinen funktio h, niin Y=h(X) on yhdistetty funktio, joka on myös satunnaismuuttuja. Tällä uudella satunnaismuuttujalla on oma otosavaruutensa ja tiheysfunktionsa.
Uusia satunnaismuuttujia voidaan luoda satunnaismuuttujan funktioina. Olkoon X diskreettiä tasajakaumaa \Tasd(1,n) noudattava satunnaismuuttuja. Jos diskreetin satunnaismuuttujan Y otosavaruudessa on n alkeistapausta, niin on olemassa funktio h : h(X)=Y. Jokainen tällainen Y voidaan siis muodostaa muuttujan X funktiona. Samoin jokainen jatkuva satunnaismuuttuja voidaan esittää jatkuvan satunnaismuuttujan X\sim\Tas(0,1) funktiona.
Katsotaan diskreetin satunnaismuuttujan funktion muodostumista esimerkin avulla.
Esimerkki 2.3.1
Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on
Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja Y = X^2 + 1 = h(X), eli jos satunnaiskokeessa X saa arvon x, niin satunnaismuuttuja Y saa tällöin arvon h(x) = x^2 + 1. Muuttujan Y mahdolliset arvot, eli sen otosavaruus saadaan kuvajoukkona
Satunnaismuuttujan Y otosavaruuden arvojen todennäköisyydet saadaan niitä vastaavien muuttujan X arvojen avulla:
Nämä todennäköisyydet voidaan esittää myös funktiona
joka on siis satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio.
Yleisessä tapauksessa jos X on diskreetti, myös Y on diskreetti. Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio g(y) määrätään tavallisesti siten, että lasketaan todennäköisyydet muuttujan Y otosavaruuden pisteissä. Jos merkitään arvoon y \in \Omega_Y alkukuvina liittyvien alkioiden x \in \Omega_X joukkoa h^{-1}(y) = \{x \in \Omega_X : h(x) = y\}, niin
Siinä erikoistapauksessa, että funktiolla y=h(x) on käänteisfunktio, on voimassa seuraava tulos.
Lause 2.3.2
Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(x), ja olkoon satunnaismuuttuja Y=h(X). Jos funktiolla h on käänteisfunktio h^{-1}, niin satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on
Funktion h kääntyvyydestä seuraa, että h(X) = y jos ja vain jos X = h^{-1}(y). Tällöin satunnaisfunktion Y tiheysfunktio saa arvon
mielivaltaisessa otosavaruuden \Omega_Y pisteessä y.
Esimerkki 2.3.3
Olkoon satunnaismuuttujan X tiheysfunktio
eli X \sim \Geom\left(\frac{3}{4}\right). Määritä satunnaismuuttujan Y=X^2 tiheysfunktio g(y).
Satunnaismuuttujan Y otosavaruus on \Omega_Y=\{1,4,9,\dots\}. Jos x \in \Z_+, niin y = x^2 täsmälleen silloin, kun x = \sqrt{y}, joten satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio
Tutkitaan seuraavaksi jatkuvaa satunnaismuuttujaa X. Nyt satunnaismuuttuja Y=h(X) voi olla diskreetti, jatkuva tai ei kumpaakaan. Tilanteessa, jossa Y on jatkuva ja funktio h aidosti monotoninen saadaan seuraava tulos
Lause 2.3.4
Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(x), ja olkoon satunnaismuuttuja Y=h(X). Jos funktio h on derivoituva ja aidosti monotoninen, niin satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on
Tiheysfunktio g(y) voidaan määrittää siten, että lasketaan ensin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio G(y), joka sitten derivoidaan. Koska h on aidosti monotoninen, sille on olemassa käänteisfunktio h^{-1}.
Oletetaan ensin, että funktio h on aidosti kasvava, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti kasvava. Nyt satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio voidaan esittää satunnaismuuttujan X kertymäfunktion F avulla muodossa
Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi
koska aidosti kasvavan funktion h^{-1} derivaatta \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)>0.
Oletetaan sitten, että funktio h on aidosti vähenevä, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti vähenevä. Vastaavasti kuin edellä soveltamalla vähenevyyttä nähdään, että
Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi
sillä aidosti vähenevän funktion derivaatta \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)<0 ja \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)=-\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|.
Esimerkki 2.3.5
Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on
Määritä satunnaismuuttujan Y=X^2 tiheysfunktio g(y).
Koska y = x^2 = h(x) määrittelee puoliavoimella välillä [0, \infty) derivoituvan aidosti kasvavan funktion, niin h^{-1}(y) = \sqrt{y} ja tiheysfunktio
Esimerkki 2.3.6
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio
Mikä on uuden satunnaismuuttujan Y=2X-3 tiheysfunktio g(y)?
Koska y=2x-3=h(x) määrittelee välillä [1, 5] derivoituvan aidosti kasvavan funktion, niin h^{-1}(y)=\frac{1}{2}(y+3) ja tiheysfunktio
missä \Omega_Y = [h(1), h(5)] = [-1, 7] muunnosfunktion h kasvavuuden vuoksi.