\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\renewcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\]
Satunnaismuuttujan funktiot
Täsmällisesti määriteltynä satunnaismuuttuja \(X\) on kuvaus eli funktio otosavaruudesta \(\Omega\) reaalilukujen joukkoon. Jos muodostetaan satunnaismuuttujan reaaliarvoinen funktio \(h\), niin \(Y=h(X)\) on yhdistetty funktio, joka on myös satunnaismuuttuja. Tällä uudella satunnaismuuttujalla on oma otosavaruutensa ja tiheysfunktionsa.
Uusia satunnaismuuttujia voidaan luoda satunnaismuuttujan funktioina. Olkoon \(X\) diskreettiä tasajakaumaa \(\Tasd(1,n)\) noudattava satunnaismuuttuja. Jos diskreetin satunnaismuuttujan \(Y\) otosavaruudessa on \(n\) alkeistapausta, niin on olemassa funktio \(h : h(X)=Y\). Jokainen tällainen \(Y\) voidaan siis muodostaa muuttujan \(X\) funktiona. Samoin jokainen jatkuva satunnaismuuttuja voidaan esittää jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\sim\Tas(0,1)\) funktiona.
Katsotaan diskreetin satunnaismuuttujan funktion muodostumista esimerkin avulla.
Esimerkki 2.3.1
Olkoon \(X\) diskreetti satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on
\[f(x)=\frac{x^2}{10},\qquad\text{kun } x\in\Omega_X=\{-2,-1,1,2\}.\]
Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja \(Y = X^2 + 1 = h(X)\), eli jos satunnaiskokeessa \(X\) saa arvon \(x\), niin satunnaismuuttuja \(Y\) saa tällöin arvon \(h(x) = x^2 + 1\). Muuttujan \(Y\) mahdolliset arvot, eli sen otosavaruus saadaan kuvajoukkona
\[h(\Omega_X) = \{h(-2), h(-1), h(1), h(2)\} = \{2, 5\} = \Omega_Y.\]
Satunnaismuuttujan \(Y\) otosavaruuden arvojen todennäköisyydet saadaan niitä vastaavien muuttujan \(X\) arvojen avulla:
\[\begin{split}\begin{aligned}
P(Y=2) &= P(\{X = -1\} \cup \{X = 1\}) = P(X=-1)+P(X=1)=\frac{(-1)^2}{10}+\frac{1^2}{10}=\frac{1}{5},\\
P(Y=5) &= P(\{X = -2\} \cup \{X = 2\}) = P(X=-2)+P(X=2)=\frac{(-2)^2}{10}+\frac{2^2}{10}=\frac{4}{5}.
\end{aligned}\end{split}\]
Nämä todennäköisyydet voidaan esittää myös funktiona
\[g(y)=\frac{y-1}{5},\qquad\text{kun } y\in\Omega_Y,\]
joka on siis satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio.
Yleisessä tapauksessa jos \(X\) on diskreetti, myös \(Y\) on diskreetti. Satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio \(g(y)\) määrätään tavallisesti siten, että lasketaan todennäköisyydet muuttujan \(Y\) otosavaruuden pisteissä. Jos merkitään arvoon \(y \in \Omega_Y\) alkukuvina liittyvien alkioiden \(x \in \Omega_X\) joukkoa \(h^{-1}(y) = \{x \in \Omega_X : h(x) = y\}\), niin
\[g(y) = P(Y=y)=P(h(X)=y)=\sum_{x \in h^{-1}(y)}P(X=x) = \sum_{x \in h^{-1}(y)} f(x).\]
Siinä erikoistapauksessa, että funktiolla \(y=h(x)\) on käänteisfunktio, on voimassa seuraava tulos.
Lause 2.3.2
Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio \(f(x)\), ja olkoon satunnaismuuttuja \(Y=h(X)\). Jos funktiolla \(h\) on käänteisfunktio \(h^{-1}\), niin satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio on
\[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right).\]
Näytä/piilota todistus
Funktion \(h\) kääntyvyydestä seuraa, että \(h(X) = y\) jos ja vain jos \(X = h^{-1}(y)\). Tällöin satunnaisfunktion \(Y\) tiheysfunktio saa arvon
\[g(y)=P(Y=y)=P(h(X)=y)=P(X=h^{-1}(y))=f\left(h^{-1}(y)\right)\]
mielivaltaisessa otosavaruuden \(\Omega_Y\) pisteessä \(y\).
Esimerkki 2.3.3
Olkoon satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio
\[f(x)=\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1},\qquad\text{kun } x \in \Z_+ = \{1,2,3,\ldots\},\]
eli \(X \sim \Geom\left(\frac{3}{4}\right)\). Määritä satunnaismuuttujan \(Y=X^2\) tiheysfunktio \(g(y)\).
Näytä/piilota ratkaisu
Satunnaismuuttujan \(Y\) otosavaruus on \(\Omega_Y=\{1,4,9,\dots\}\). Jos \(x \in \Z_+\), niin \(y = x^2\) täsmälleen silloin, kun \(x = \sqrt{y}\), joten satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio
\[g(y)=f\left(\sqrt{y}\right)=\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{y}-1},\qquad\text{kun }y \in \Omega_Y.\]
Tutkitaan seuraavaksi jatkuvaa satunnaismuuttujaa \(X\). Nyt satunnaismuuttuja \(Y=h(X)\) voi olla diskreetti, jatkuva tai ei kumpaakaan. Tilanteessa, jossa \(Y\) on jatkuva ja funktio \(h\) aidosti monotoninen saadaan seuraava tulos
Lause 2.3.4
Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio \(f(x)\), ja olkoon satunnaismuuttuja \(Y=h(X)\). Jos funktio \(h\) on derivoituva ja aidosti monotoninen, niin satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio on
\[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|.\]
Näytä/piilota todistus
Tiheysfunktio \(g(y)\) voidaan määrittää siten, että lasketaan ensin satunnaismuuttujan \(Y\) kertymäfunktio \(G(y)\), joka sitten derivoidaan. Koska \(h\) on aidosti monotoninen, sille on olemassa käänteisfunktio \(h^{-1}\).
Oletetaan ensin, että funktio \(h\) on aidosti kasvava, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti kasvava. Nyt satunnaismuuttujan \(Y\) kertymäfunktio voidaan esittää satunnaismuuttujan \(X\) kertymäfunktion \(F\) avulla muodossa
\[G(y)=P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P(X\leq h^{-1}(y))=F(h^{-1}(y)).\]
Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi
\[g(y) = \frac{\rd}{\rd y}G(y) = \frac{\rd}{\rd y}F(h^{-1}(y)) = F'(h^{-1}(y))\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) = f(h^{-1}(y))\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|,\]
koska aidosti kasvavan funktion \(h^{-1}\) derivaatta \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)>0\).
Oletetaan sitten, että funktio \(h\) on aidosti vähenevä, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti vähenevä. Vastaavasti kuin edellä soveltamalla vähenevyyttä nähdään, että
\[G(y)=P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P(X\geq h^{-1}(y))=1-F(h^{-1}(y)).\]
Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi
\[g(y) = \frac{\rd}{\rd y}G(y) = \frac{\rd}{\rd y}\left(1-F(h^{-1}(y)\right) = -f(h^{-1}(y))\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) = f(h^{-1}(y))\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|,\]
sillä aidosti vähenevän funktion derivaatta \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)<0\) ja \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)=-\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|\).
Esimerkki 2.3.5
Satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio on
\[f(x)=e^{-x},\qquad\text{kun } x\in\Omega_X=[0,\infty).\]
Määritä satunnaismuuttujan \(Y=X^2\) tiheysfunktio \(g(y)\).
Näytä/piilota ratkaisu
Koska \(y = x^2 = h(x)\) määrittelee puoliavoimella välillä \([0, \infty)\) derivoituvan aidosti kasvavan funktion, niin \(h^{-1}(y) = \sqrt{y}\) ja tiheysfunktio
\[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|=e^{-\sqrt{y}}\frac{1}{2\sqrt{y}},\qquad\text{kun } y\in\Omega_Y=(0,\infty).\qedhere\]
Esimerkki 2.3.6
Olkoon \(X\) jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio
\[f(x)=\frac{x}{12}, \qquad\text{kun } x\in\Omega_X=[1,5].\]
Mikä on uuden satunnaismuuttujan \(Y=2X-3\) tiheysfunktio \(g(y)\)?
Näytä/piilota ratkaisu
Koska \(y=2x-3=h(x)\) määrittelee välillä \([1, 5]\) derivoituvan aidosti kasvavan funktion, niin \(h^{-1}(y)=\frac{1}{2}(y+3)\) ja tiheysfunktio
\[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right| = \frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2}(y+3)\cdot\frac{1}{2}=\frac{y+3}{48}, \qquad\text{kun } y \in \Omega_Y,\]
missä \(\Omega_Y = [h(1), h(5)] = [-1, 7]\) muunnosfunktion \(h\) kasvavuuden vuoksi.