$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Odotusarvojen testaus

Odotusarvon testaus, varianssi tunnettu

Olkoon $X_1,X_2,\ldots,X_n$ on otos muuttujasta $X\sim\rN(\mu,\sigma^2)$, missä varianssi $\sigma^2$ tunnetaan, ja asetetaan nollahypoteesiksi $H_0: \mu=\mu_0$. Tällöin otoskeskiarvo $\overline{X} \sim \rN\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ ja erityisesti

$$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \rN(0, 1),$$

joten nollahypoteesin ollessa voimassa

$$Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \rN(0, 1).$$

Valitaan siis testisuureeksi $Z$. Vaihtoehtoisen hypoteesin muodosta riippuen kriittinen alue on standardinormaalijakauman toisessa tai molemmissa reunoissa oleva joukko, johon liittyvä todennäköisyys on valitun merkitsevyystason $\alpha$ suuruinen. Eri vaihtoehtoisia hypoteeseja vastaavat kriittiset alueet ja $p$-arvot on tiivistetty seuraavaan taulukkoon. Siinä testisuureelle $Z$ realisoitunutta arvoa merkitään symbolilla $z$, ja merkinnöillä $z_{\alpha}$ ja $z_{\alpha/2}$ tarkoitetaan lukuja, joille $\Phi(z_{\alpha}) = 1 - \alpha$ ja $\Phi(z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$.

$$\begin{split}\begin{array}{c c c}\hline H_1 & \text{kriittinen alue} & p\text{-arvo} \\\hline \mu < \mu_0 & (-\infty, -z_{\alpha}) & \Phi(z) \\ \mu > \mu_0 & (z_{\alpha}, \infty) & 1 - \Phi(z) \\ \mu \not= \mu_0 & (-\infty, -z_{\alpha/2}) \cup (z_{\alpha/2}, \infty) & 2\min\{\Phi(z), 1 - \Phi(z)\} \\\hline \end{array}\end{split}$$

Esimerkki 6.2.1

Seudun vuotuisen sademäärän $X$ (cm) keskiarvoksi $100$ vuoden ajalta on saatu $106{,}0$ ja keskihajonnaksi $15{,}3$, ja oletetaan, että $X\sim\rN(106{,}0, 15{,}3^2)$. Viimeisen $5$ vuoden sademäärän keskiarvoksi on saatu $89{,}3$. Millä todennäköisyydellä tällainen tulos olisi odotettavissa, jos keskisademäärissä ei ole tapahtunut muutosta? Onko syytä epäillä, että seudun sääolosuhteissa on tapahtunut pysyvänluonteinen muutos?

Näytä/piilota ratkaisu

On testattava nollahypoteesia $H_0 : \mu = 106{,}0$, missä $\mu$ on sademäärän $X$ todellinen odotusarvo viimeisen viiden vuoden ajalta. Mittaustulos $\overline{x} = 89{,}3$ viittaisi siihen, että mahdollinen muutos olisi sademäärän pienentyminen, joten asetetaan vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi $H_1: \mu < 106{,}0$. Valitaan testin merkitsevyystasoksi $\alpha = 0{,}01$.

Nollahypoteesin ollessa voimassa vuoden sademäärä $X\sim\rN(106{,}0, 15{,}3^2)$, joten viiden vuoden sademäärän standardoitu otoskeskiarvo

$$Z = \frac{\overline{X} - 106{,}0}{15{,}3/\sqrt{5}} \sim \rN(0, 1),$$

jolle realisoituu arvo $z \approx -2{,}4407$. Valitaan testisuureeksi $Z$. Kysytty todennäköisyys on testin $p$-arvo

$$p = P(\overline{X} < \overline{x}) = \Phi(-2{,}4407),$$

jolle lasketaan komennolla normcdf(-2.4407) (Matlab), qnorm(-2.4407) (R) tai taulukosta katsomalla likiarvo $p \approx 0{,}0073$. Koska $p < 0{,}01$, nollahypoteesi hylätään ja vaihtoehtoinen hypoteesi $\mu < 106{,}0$ astuu voimaan. Johtopäätöksenä todetaan, että seudun keskisademäärä on vähentynyt.

Tarkastellaan saman hypoteesin testaamista vielä kriittisen alueen avulla. Vaihtoehtoisen hypoteesin muodon vuoksi kriittinen alue on jakauman $\rN(0, 1)$ vasemmassa reunassa oleva reaalilukuväli $(-\infty, -z_{\alpha})$, jonka ylärajassa $z_{\alpha}$ toteuttaa ehdon

$$P(Z < z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 0{,}99 \approx \Phi(2{,}3263),$$

missä yhteys $\Phi(2{,}3263) \approx 0{,}99$ ratkaistaan komennolla norminv(0.99) tai luetaan karkeampi likiarvo taulukosta. Testisuureen $Z$ kriittiseksi alueeksi saadaan siis $(-\infty, -2{,}3263)$, ja koska realisoitunut testisuureen arvo $z$ on tällä välillä, nollahypoteesi on hylättävä.

Huomautus 6.2.2

Keskeinen raja-arvolause takaa, että vain harvoin poikkeuksin riittävän suurilla otoksilla minkä tahansa satunnaismuuttujan $X$ otoskeskiarvo $\overline{X}$ noudattaa likimain normaalijakaumaa. Tämän vuoksi edellinen menetelmä soveltuu rajoitetusti myös muille kuin normaalijakaumaa noudattaville satunnaismuuttujille.

Odotusarvoa testattaessa käytetään standardinormaalijakautunutta satunnaismuuttujaa $Z=\overline{X}/0{,}6$ ja otoskokoa $25$.

Question 1

Anna testin nollahypoteesin $\mu = a$ lukuarvo $a$ alla olevassa tekstikentässä kolmen desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, ei pilkkua.

Question 2

Anna testauksessa käytetty tunnettu varianssi $\sigma^2$ alla olevassa tekstikentässä kolmen deimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, ei pilkkua.

Odotusarvon testaus, varianssi tuntematon

Kun normaalijakauman varianssi on tuntematon, joudutaan sen sijaan käyttämään otosvarianssia ja luottamusvälin konstruoimisessa $t$-jakaumaa. Satunnaismuuttuja

$$T = \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n - 1),$$

ja nollahypoteesin $\mu = \mu_0$ ollessa voimassa

$$T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n - 1),$$

joten valitaan testisuureeksi $T$. Vaihtoehtoisen hypoteesin muodosta riippuen kriittinen alue on $t(n-1)$-jakauman toisessa tai molemmissa reunoissa oleva joukko, johon liittyvä todennäköisyys on valitun merkitsevyystason $\alpha$ suuruinen. Eri vaihtoehtoisia hypoteeseja vastaavat kriittiset alueet ja $p$-arvot on tiivistetty seuraavaan taulukkoon. Siinä testisuureelle $T$ realisoitunutta arvoa merkitään symbolilla $t$, ja merkinnöillä $t_{\alpha}$ ja $t_{\alpha/2}$ tarkoitetaan lukuja, joille $P(T < t_{\alpha}) = 1 - \alpha$ ja $P(T < t_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$.

$$\begin{split}\begin{array}{c c c}\hline H_1 & \text{kriittinen alue} & p\text{-arvo} \\\hline \mu < \mu_0 & (-\infty, -t_{\alpha}) & P(T < t) \\ \mu > \mu_0 & (t_{\alpha}, \infty) & 1 - P(T < t) \\ \mu \not= \mu_0 & (-\infty, -t_{\alpha/2}) \cup (t_{\alpha/2}, \infty) & 2\min\{P(T < t), 1 - P(T < t)\} \\\hline \end{array}\end{split}$$

Esimerkki 6.2.3

Tehtaan ilmoituksen mukaan venttiilivarren halkaisija noudattaa normaalijakaumaa ja on keskimäärin $8{,}040$ mm. Tehdas ottaa uudesta tuotantoerästään $40$ kappaleen otoksen tutkiakseen, onko tuotantoerän laatu yhtä hyvä kuin alkuperäisillä. Otoskeskiarvoksi saatiin $\overline{x}=8{,}038$ mm ja otoskeskihajonnaksi $s=0{,}006$ mm. Pitäisikö erä päästää markkinoille, jos väärän hylkäyspäätöksen riskiksi sallitaan $5~\%$?

Näytä/piilota ratkaisu

Testataan nollahypoteesia $H_0: \mu = 8{,}040$ riskitasolla (merkitsevyystasolla) $\alpha = 0{,}05$. Koska halutaan selvittää, onko halkaisija muuttunut, mutta muutoksen suunta on epäselvä, valitaan vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi $H_1 : \mu \neq 8{,}040$.

Varianssi on tuntematon, joten käytetään testisuuretta

$$T = \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(39),$$

jolle nollahypoteesin ollessa voimassa realisoituu arvo

$$t = \frac{8{,}038 - 8{,}040}{0{,}006/\sqrt{40}} \approx -2{,}108.$$

Testi on kaksisuuntainen, joten kriittinen alue koostuu kahdesta osasta. Taulukkoon ei ole merkitty riviä vapausasteluvulle $39$, joten sitä käytettäessä testisuureen $T$ oikeaa jakaumaa joudutaan approksimoimaan jakaumalla $t(40)$. Matlabin komennolla

tinv(1 - 0.05/2, 39)

tai R-komennolla

qt(1 - 0.05/2, 39)

ratkaistaan $t_{\alpha/2} \approx 2{,}0227$, joten $t$-jakauman symmetrisyyden perusteella kriittinen alue on $(-\infty, -2{,}0227) \cup (2.0227, \infty)$. Testisuureelle realisoitunut arvo osuu kriittiselle alueelle, joten hylätään nollahypoteesi ja todetaan, että venttiilivarren halkaisija on muuttunut ilmoitetusta. Varovaisena toimijana tehtaan ei siis tulisi päästää erää markkinoille.

Tutkitaan sitten vielä $p$-arvon avulla pienintä riskitasoa, jolla nollahypoteesi hylättäisiin. Kaksisuuntaiselle testille

$$p = 2\min\{P(T < t), 1 - P(T < t)\},$$

jolle Matlabin

2 * min([tcdf(-2.108, 39), 1 - tcdf(-2.108, 39)])

ja R-ohjelmiston

2 * min(pt(-2.108, 39), 1 - pt(-2.108, 39))

antavat arvoksi $p \approx 0{,}0415$. Siis esimerkiksi merkitsevyystasolla $\alpha = 0{,}01$ nollahypoteesia ei hylätä, ja erä voitaisiin antaa myyntiin! Tämä ei silti kerro koko totuutta, sillä riskitason (tyypin I virheen todennäköisyyden) pienentyessä tyypin II virheen todennäköisyys kasvaa. Sallimalla vain pienempi $1~\%$ väärän hylkäyksen riski onnistutaan kasvattamaan väärän hyväksynnän riskiä.

Odotusarvoa testattaessa käytetään satunnaismuuttujaa $T=(\overline{X}-3)/0{,}1$, joka noudattaa jakaumaa $t(8)$. Testissä käytettävän otoksen otoskeskiarvo on $3{,}4$.

Question 1

Mikä arvo testisuureelle $T$ realisoituu? Anna vastaus alla olevaan tekstikenttään yhden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, ei pilkkua.

Question 2

Mikä on testattavan otoksen otoskeskihajonta? Anna vastaus alla olevaan tekstikenttään yhden desimaalin tarkkuudella. Käytä desimaalierottimena pistettä, ei pilkkua.

Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaus

Olkoot $X_1,X_2,\dots,X_n$ ja $Y_1,Y_2,\dots,Y_m$ otoksia satunnaismuuttujista $X\sim\rN(\mu_X,\sigma_X^2)$ ja $Y\sim\rN(\mu_Y,\sigma_Y^2)$, ja pyritään vertailemaan odotusarvoja $\mu_X$ ja $\mu_Y$ tilastollisen testauksen keinoin. Kun tarkoitus on tutkia, ovatko populaatioiden odotusarvot yhtäsuuret, testataan nollahypoteesia

$$H_0: \mu_X=\mu_Y, \qquad\text{eli}\qquad H_0 : \mu_X-\mu_Y=0.$$

Otoskeskiarvot $\overline{X}$ ja $\overline{Y}$ ovat normaalijakautuneita, joten lauseen 5.1.3 mukaan

$$\overline{X}-\overline{Y}\sim\rN\left(\mu_X-\mu_Y,\frac{\sigma_X^2}{n}+\frac{\sigma_Y^2}{m}\right).$$

Kun varianssit oletetaan tunnetuiksi, nollahypoteesin testaamiseksi saadaan testisuure

$$Z = \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\sigma_X^2/n+\sigma_Y^2/m}}\sim\rN(0,1).$$

Jos varianssit $\sigma_X^2$ ja $\sigma_Y^2$ ovat tuntemattomia, mutta ne voidaan olettaa yhtä suuriksi, eli $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$, voidaan satunnaismuuttujien $X$ ja $Y$ otosvarianssien $S_X^2$ ja $S_Y^2$ avulla muodostaa niin sanottu yhteisotosvarianssi

$$S^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2},$$

joka on yhteisen varianssin $\sigma^2$ harhaton estimaattori. Korvaamalla tunnettujen varianssien testisuureen $Z$ lausekkeessa varianssit $\sigma_X^2$ ja $\sigma_Y^2$ yhteisotosvarianssilla saadaan $t$-jakautunut testisuure

$$T = \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{S^2/n+S^2/m}}\sim t(n+m-2).$$

Molempien testisuureiden jakaumat ovat symmetrisiä, joten merkitsevyystasoa $\alpha$ vastaava kriittinen alue määräytyy vaihtoehtoisen hypoteesin mukaisesti samaan tapaan kuin yksittäisen odotusarvon testeissä jakauman toisesta tai molemmista reunoista.

Esimerkki 6.2.4

Olkoon $4{,}1, 4{,}2, 4{,}8, 4{,}6, 4{,}9$ otos muuttujasta $X\sim\rN(\mu_X,\sigma_X^2)$ ja olkoon $3{,}9, 5{,}1, 4{,}4, 4{,}2$ otos muuttujasta $Y\sim\rN(\mu_Y,\sigma_Y^2)$. Testaa hypoteesiparia

$$H_0 : \mu_X = \mu_Y \qquad\text{ja}\qquad H_1 : \mu_X \neq \mu_Y$$

$5~\%$:n riskitasolla, kun varianssit $\sigma_X^2$ ja $\sigma_Y^2$ oletetaan yhtä suuriksi.

Näytä/piilota ratkaisu

Otosten perusteella lasketaan (Matlab/R, mean ja var), että

$$\begin{split}\begin{aligned} &\overline{x}=4{,}52, && s_X^2=0{,}127, && n = 5 \\ &\overline{y}=4{,}40, && s_Y^2=0{,}260, && m = 4. \end{aligned}\end{split}$$

Koska todellisia variansseja ei tunneta, lasketaan yhteisotosvarianssi

$$S^2=\frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{n+m-2}) = \frac{4 \cdot 0{,}127 + 3 \cdot 0{,}260}{5+4-2} = 0{,}184.$$

Tällöin testisuure

$$T = \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{S^2/n+S^2/m}} \sim t(5 + 4 - 2) = t(7),$$

ja sille realisoituu arvo $t \approx 0{,}417$. Kriittisen alueen rajaksi määritetään $t_{\alpha/2} \approx 2{,}3646$ komennolla tinv(1 - 0.05/2, 7) (Matlab) tai qt(1 - 0.05/2, 7) (R), jolloin kriittinen alue on kaksiosainen $(-\infty, -2{,}3646) \cup (2{,}3646, \infty)$. Testisuureen arvo ei kuulu kriittiselle alueelle, joten $H_0$ jää voimaan ja testin perusteella satunnaismuuttujilla $X$ ja $Y$ on sama odotusarvo.

Kaksisuuntaisen testin $p$-arvoksi saadaan Matlab-komennolla

2 * min([tcdf(0.417, 7), 1 - tcdf(0.417, 7)])

tai R-komennolla

2 * min(pt(0.417, 7), 1 - pt(0.417, 7))

varsin korkea $p \approx 0{,}6891 \geq \alpha$, missä $\alpha$ on mikä vain tyypillinen merkitsevyystaso.

Palautusta lähetetään...