$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Varianssien testaus

Olkoon $X_1,X_2,\ldots,X_n$ otos satunnaismuuttujasta $X\sim\rN(\mu, \sigma^2)$, jonka odotusarvo ja varianssi ovat tuntemattomia. Varianssin nollahypoteesin

$$H_0 : \sigma^2=\sigma_0^2$$

testaaminen lähtee liikkeelle havainnosta, että sen sisältävä otossuure

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$$

Nollahypoteesin ollessa voimassa siis testisuureeksi saadaan

$$W=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1),$$

missä $n$ on otoskoko ja $S^2$ muuttujan $X$ otosvarianssi. Riippuen vaihtoehtoisesta hypoteesista merkitsevyystasoa $\alpha$ vastaava kriittinen alue valitaan yksi- tai kaksiosaisena ei-symmetrisen $\chi^2$-jakauman toisesta tai molemmista reunoista. Kriittisen alueen muodot ja $p$-arvot on tiivistetty seuraavaan taulukkoon, jossa testisuureelle $W$ realisoitunutta arvoa merkitään symbolilla $w$, ja merkinnöillä $w_{1, \gamma}$ ja $w_{2, \gamma}$ tarkoitetaan lukuja, joille $P(W < w_{1, \gamma}) = \gamma$ ja $P(W < w_{2, \gamma}) = 1 - \gamma$.

$$\begin{split}\begin{array}{c c c}\hline H_1 & \text{kriittinen alue} & p\text{-arvo} \\\hline \sigma^2 < \sigma_0^2 & {[0, w_{1, \alpha})} & P(W < w) \\ \sigma^2 > \sigma_0^2 & (w_{2, \alpha}, \infty) & 1 - P(W < w) \\ \sigma^2 \not= \sigma_0^2 & {[0, w_{1, \alpha/2})} \cup (w_{2, \alpha/2}, \infty) & 2\min\{P(W < w), 1 - P(W < w)\} \\\hline \end{array}\end{split}$$

Esimerkki 6.3.1

Oletetaan, että mittaustulos $X$ on normaalijakaumasta $X\sim\rN(\mu, \sigma^2)$ ja että aikaisempien tulosten perusteella varianssiksi on arvioitu $\sigma^2=1100$. Nyt halutaan tietää, onko varianssi pysynyt ennallaan ja suoritetaan $11$ mittausta ja saadaan mittaustulokset $453, 460, 351, 421, 339, 439, 402, 422, 470, 310, 416$. Suorita hypoteesin testaus $1~\%$:n merkitsevyystasolla.

Näytä/piilota ratkaisu

Nyt nollahypoteesi on muotoa $H_0 : \sigma^2=1100$ ja $\alpha = 0{,}01$. Realisoitunut otosvarianssi $s^2 \approx 2761{,}1$ (esimerkiksi Matlabin funktio var). Tämän perusteella näyttäisi siltä, että jos varianssi on muuttunut, se on kasvanut. Valitaan vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi siis $H_1 : \sigma^2>1100$.

Testisuure ja sen jakauma on

$$W = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(10),$$

ja testisuureelle realisoituu arvo $w \approx 25{,}1007$. Kriittinen alue on jakauman oikeassa reunassa, ja taulukon vapausastelukua $10$ vastaavalta riviltä, tai Matlabin komennolla chi2inv(1 - 0.01, 10) (R-komennolla qchisq(1 - 0.01, 10)) arvioidaan, että $w_{2, \alpha} \approx 23{,}2093$. Kriittinen alue on siis väli $(23{,}2093, \infty)$ ja testisuureen realisoitunut arvo kuuluu sille. Nollahypoteesi hylätään ja päätellään, että todellinen varianssi on todennäköisesti suurempi kuin $1100$. Testin $p$-arvoksi voidaan laskea Matlab-komennolla

1 - chi2cdf(25.1007, 10)

tai R-komennolla

1 - pchisq(25.1007, 10)

$p = 1 - P(W < w) \approx 0{,}0052$, mikä luonnollisesti johtaa samaan johtopäätökseen.

Tehtävää ladataan...

Kahden varianssin yhtäsuuruuden testaus

Myös kahden populaation varianssien yhtäsuuruutta voidaan testata, mutta sitä varten tarvitaan uusi jakauma.

Määritelmä 6.3.2

Jatkuva satunnaismuuttuja $F$ noudattaa $\rF$-jakaumaa vapausasteluvuin $n_1$ ja $n_2$ ($\rF$ distribution with parameters $n_1$ and $n_2$), $F \sim \rF(n_1, n_2)$, jos sen tiheysfunktio

$$f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n_1 + n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}}x^{\frac{n_1-2}{2}}\left(1 + \frac{n_1}{n_2}x\right)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}, \qquad\text{kun } x \in \Omega = \R_{+},$$

missä $\Gamma(t) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{t - 1}\,\rd x$ on Eulerin gammafunktio. $\rF$-jakaumaa kutsutaan myös Fisherin tai Snedecorin jakaumaksi.

Liitetaulukoista löytyy tai valmisohjelmien (Matlab, R) funktioilla voi laskea muuttujan $F \sim \rF(n_1, n_2)$ kertymäfunktion $F(x)=P(F\leq x)$ ja sen käänteisfunktion arvoja.

Esimerkki 6.3.3

Oletetaan, että $F \sim \rF(10, 15)$ ja tutkitaan mitä ovat luvut $f_1$ ja $f_2$, kun $P(F \leq f_1) = 0{,}95$ ja $P(F \geq f_2) = 0{,}01$. Taulukoiden arvot on rajattu kertymäfunktioiden arvoihin $0{,}95$, $0{,}975$ ja $0{,}99$, jolloin ensimmäisestä taulukosta luetaan, että $f_1 \approx 2{,}54$ ja kolmannesta että $f_2 \approx 3{,}80$. Matlabin komentojen

finv(0.95, 10, 15), finv(1 - 0.01, 10, 15)

tai R-ohjelmiston komentojen

qf(0.95, 10, 15), qf(1 - 0.01, 10, 15)

avulla saadaan tarkemmat likiarvot $f_1 \approx 2{,}5437$ ja $f_2 \approx 3{,}8049$.

Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa, että jos $F \sim \rF(n_1, n_2)$, niin

$$\frac{1}{F} \sim \rF(n_2, n_1).$$

Sen seurauksena ehto $P(F \leq x) = \alpha$ on yhtäpitävää ehdon $P\left(\frac{1}{F} \geq \frac{1}{x}\right) = \alpha$, eli

$$P\left(\frac{1}{F}\leq\frac{1}{x}\right)=1-\alpha.$$

Tämä laajentaa $\rF$-jakauman taulukoiden käyttökelpoisuutta myös tapauksiin, joissa kertymäfunktion arvo $P(F \leq x) \in \{0{,}05, 0{,}025, 0{,}01\}$. Yksinkertaisempaa, tarkempaa ja yleisemmin toimivaa on kuitenkin hyödyntää esimerkiksi ohjelmistoihin toteutettuja kertymäfunktion käänteisfunktioita.

Erityisesti kahden $\chi^2$-jakautuneen satunnaismuuttujan sopivasti painotettu osamäärä on $\rF$-jakautunut.

Lause 6.3.4

Oletetaan, että satunnaismuuttujat $W_1\sim\chi^2(n_1)$ ja $W_2\sim\chi^2(n_2)$ ovat riippumattomia. Tällöin satunnaismuuttuja

$$F = \frac{W_1/n_1}{W_2/n_2} \sim \rF(n_1, n_2).$$

$\rF$-jakaumaa käytetään normaalijakautuneiksi oletettujen satunnaismuuttujien varianssien yhtäsuuruuden testaamiseen seuraavan tuloksen perusteella.

Lause 6.3.5

Olkoot $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ja $Y_1, Y_2, \ldots, Y_m$ otoksia riippumattomista satunnaismuuttujista $X \sim \rN(\mu_X, \sigma_X^2)$ ja $Y \sim \rN(\mu_Y, \sigma_Y^2)$. Tällöin

$$F = \frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} \sim \rF(n-1,m-1),$$

missä $S_X^2$ ja $S_Y^2$ ovat muuttujien $X$ ja $Y$ otosvarianssit.

Näytä/piilota todistus

Koska muuttujat $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia, myös $S_X^2$ ja $S_Y^2$ ovat riippumattomia. Lauseen 5.3.8 mukaan

$$\frac{(n - 1)S_X^2}{\sigma_X^2} \sim \chi^2(n - 1) \qquad\text{ja}\qquad \frac{(m - 1)S_Y^2}{\sigma_Y^2} \sim \chi^2(m - 1),$$

joten edellisen lauseen nojalla

$$\frac{\frac{(n-1)S_X^2/\sigma_X^2}{n-1}}{\frac{(m-1)S_Y^2/\sigma_Y^2}{m-1}}=\frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} \sim F(n-1,m-1),$$

kuten väitettiinkin.

Jos nyt $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ja $Y_1, Y_2, \ldots, Y_m$ ovat otoksia riippumattomista normaalijakautuneista muuttujista $X$ ja $Y$, joiden tuntemattomat varianssit ovat $\sigma_X^2$ ja $\sigma_Y^2$, niin

$$\frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} \sim \rF(n - 1, m - 1),$$

missä $S_X^2$ ja $S_Y^2$ ovat muuttujien $X$ ja $Y$ otosvarianssit. Yhtäsuuruustestin nollahypoteesiksi asetetaan $H_0 : \sigma_X^2 = \sigma_Y^2$, ja sen voimassa ollessa

$$F = \frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} = \frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim \rF(n - 1, m - 1),$$

joten valitaan se testisuureeksi. Riippuen vaihtoehtoisesta hypoteesista merkitsevyystasoa $\alpha$ vastaava kriittinen alue valitaan yksi- tai kaksiosaisena epäsymmetrisen $\rF$-jakauman toisesta tai molemmista reunoista. Kriittisten alueiden muodot ja $p$-arvot on tiivistetty seuraavaan taulukkoon, jossa testisuureelle $F$ realisoitunutta arvoa merkitään symbolilla $f$, ja merkinnöillä $f_{1, \gamma}$ ja $f_{2, \gamma}$ tarkoitetaan lukuja, joille $P(F < f_{1, \gamma}) = \gamma$ ja $P(F < f_{2, \gamma}) = 1 - \gamma$.

$$\begin{split}\begin{array}{c c c}\hline H_1 & \text{kriittinen alue} & p\text{-arvo} \\\hline \sigma_X^2 < \sigma_Y^2 & {[0, f_{1, \alpha})} & P(F < f) \\ \sigma_X^2 > \sigma_Y^2 & (f_{2, \alpha}, \infty) & 1 - P(F < f) \\ \sigma_X^2 \not= \sigma_Y^2 & {[0, f_{1, \alpha/2})} \cup (f_{2, \alpha/2}, \infty) & 2\min\{P(F < f), 1 - P(F < f)\} \\\hline \end{array}\end{split}$$

Esimerkki 6.3.6

Kurssin A tenttiin osallistui $51$ opiskelijaa ja tulosten otosvarianssi $s_A^2=478$. Rinnakkaisen kurssin B tenttiin osallistui $26$ opiskelijaa otosvarianssin ollessa $s_B^2=372$. Voidaanko näitä havaintoja pitää näyttönä siitä, että tenttitulosten varianssit rinnakkaisilla kursseilla ovat erisuuret? Pistemäärien jakaumat oletetaan normaaleiksi.

Näytä/piilota ratkaisu

Testataan siis hypoteesiparia $H_0: \sigma_A^2=\sigma_B^2$ ja $H_1: \sigma_A^2\neq \sigma_B^2$. Valitaan merkitsevyystasoksi $\alpha=0{,}05$, ja testisuureeksi

$$F = \frac{S_A^2}{S_B^2} \sim \rF(50,25),$$

jolle realisoituu arvo $f = \frac{478}{372} \approx 1{,}2849$. Kriittinen alue on $[0, f_{1, \alpha/2}) \cup (f_{2, \alpha/2}, \infty)$, missä päätepisteiksi ratkaistaan Matlabin komennolla

finv([0.05/2, 1 - 0.05/2], 50, 25)

tai R-ohjelmiston komennoilla

qf(0.05/2, 50, 25), qf(1 - 0.05/2, 50, 25)

arvot $f_{1, \alpha/2} \approx 0{,}5212$ ja $f_{2, \alpha/2} \approx 2{,}0787$. Testisuureelle realisoitunut arvo jää siis kriittisen alueen $[0, 0{,}5212) \cup (2{,}0787, \infty)$ ulkopuolelle, joten nollahypoteesi jää voimaan. Vastaavasti $p$-arvoksi lasketaan Matlab-komennolla

2 * min([fcdf(1.2849, 50, 25), 1 - fcdf(1.2849, 50, 25)])

tai R-komennolla

2 * min(pf(1.2849, 50, 25), 1 - pf(1.2849, 50, 25))

arvo $p \approx 0{,}5033$, joka on selvästi suurempi kuin riskitaso $\alpha$. Tulosten valossa kurssien tenttien variansseja voidaan siis pitää yhtä suurina.

Palautusta lähetetään...